Приёмы,упрощающие решение рациональных уравнений.

МКОУ "Специальная школа № 106" Самоподготовка учителя Приёмы,упрощающие решение рациональных уравнений. учитель математики Колесник ова Жанна Вал ентиновна г Новокузнецк Уравнение p(x) = 0, где p(x) — рациональное выражение, называется рациональным. Их решение сводится к упрощению рационального выражения или сведению его к другому виду и нахождению корней полученного уравнения. - Если получили уравнение,в котором левая часть является произведением,то пользуемся условием,что произведение равно нулю,если один из множителей равен нулю. - Если в результате упрощения в левой части получается алгебраическая дробь, то исходим из того, что дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Рассмотрим случаи,упрощающие решение рациональных уравнений. Считаю важным для учащихся знать формулы Виета.Они во многом упрощают решение уравнений квадратных,не обязательно с коэффициентом при x2 равным единице. Пример 1.Решить уравнение: 2x2 - 5x + 2 = 0 Чтобы решить его с помощью формул Виета,умножим уравнение на 2: 4x2 - 5 ·2 x + 4=0 или (2х)2-5(2х) +4=0 Произведём замену 2х=a а2 - 5а+4=0 а1+а2=5 а1 ·а2=4 Имеем: а1=1,а2=4 Возвращаемся к первоначальной переменной х1=0,5;х2=2 Пример 2.Решить уравнение: 6x2 - 5x + 1 = 0 Разделим уравнение на x2,не равный нулю.При этом корни не теряем,т к х=0 не корень уравнения. Получим 6-5(1:х)+(1:х)2=0 Произведём замену 1:х=а а2 - 5а+6=0 Корни уравнения а1=2,а2=3,откуда х1=1/2,х2=1/3 Есть уравнения высших степеней,которые тоже можно решить с помощью формул Виета или дискриминанта для квадратного уравнения. Уравнения вида ах4+вх3+сх2+кх+р=0 где х=0 называются возвратными уравнениями четвёртой степени,если их можно решить,заменив выражение х+ новой неизвестной. Уравнения вида ах4+вх3+сх2+вх+а=0 где х=0 называются симметричными уравнениями четвёртой степени.Это частный случай возвратного уравнения.Решается уравнение заменой выражения х+ Пример 2.Решить уравнение: х4-3х3+4х2-3х+1=0 Так как x=0 не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на x2. Получим: х2-3х+4-3 + =0 Замена: х+ =а,тогда а2=х2+2+ ,откуда х2+ =а2-2 Получим уравнение: или а2-3а+2=0 По формулам Виета получаем корни а1=2,а2=1 Возвращаемся к первоначальной переменной. Корней это уравнение не имеет,т к является неполным квадратом.Ответ: х=1 Используемая литература: 1.М.И.Сканави ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА 2.Колесникова Ж.В.,Осипова Л.А.,Полещук Г.Г. Методическое пособие "Лабораторные работы по теории многочленов" 3.Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010. 4. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просве- щение, 2006.