Проект «Подготовка к ЕГЭ»
Обучающихся 10А класса
Востриковой Алёны
Агапова Данилы
Учитель Зарьянцева Виктория Павловна
Тождества с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
· Тождества, связывающие обратные тригонометрические функции и тождества, связывающие тригонометрические и обратные тригонометрические функции
· Применение тождеств на несложных примерах и для вычисления выражений, включающих арккосинус, арксинус, арктангенс и арккотангенс
· Применение тождеств с арккосинусом, арксинусом, арктангенсом и арккотангенсом для преобразования выражений.
Глоссарий по теме
Арккосинусом числа m называется
такое число α, что:
и
.
Арккосинус числа m обозначают:
.
Арксинусом числа m называется
такое число α, что:
и
.
Арксинус числа m обозначают:
.
Арктангенсом числа m называется такое число α,
что: и
.
Арктангенс числа m обозначают:
Арккотангенсом числа n называется такое число
α, что: и
.
Арккотангенс числа n обозначают: .
Основная литература:
Фёдорова Н.Е., Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Шабунин М.И. под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2020г. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс. 310-322.
Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО: СПб.: «Петроглиф»: «Виктория плюс», 2019. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс. сс. 286-321, 327-354.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На предыдущих уроках мы познакомились с понятиями арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса и с самыми простыми тождествами, которые связывают их с тригонометрическими функциями:
для
любого значения m:
;
для
любого значения m;
1.
для
любого α:
2.
для
любого α:
.
3.
для
любого α:
.
4.
для
любого α:
Однако, эти тождества не позволяют вычислять значения более сложных выражений, например, таких:
1)
2)
3)
На этом уроке мы рассмотрим несколько тождеств, которые позволят нам вычислять значения выражений и преобразовывать достаточно сложные выражения с обратными тригонометрическими функциями.
Задание.
Попробуйте вычислить значение выражения:
Решение:
В этом случае мы не можем воспользоваться тождеством, так
как .
Но в этом случае мы имеем табличные значения:
Ответ:
Задание
Вычислим значение выражения
Решение:
В этом случае мы также имеем табличные значения:
Ответ:
1. Рассмотрим сначала задачи, связанные с вычислением табличных значений обратных тригонометрических функций.
Пример 1.
Найдите значение: .
Решение:
При решении данной задачи будем пользоваться табличными значениями аркфункций тождеством:
Ответ: .
Пример 2.
Вычислить:
Решение:
На первый взгляд, использование тождества приводит к получению
ответа:.
Но заметим, что аргумент синуса не удовлетворяет промежутку
.
Поэтому ответ является неверным. Таким образом, нужно найти такое
значение a , что:
.
Таким значением является
.
Значит, ответом является число
.
2 вариант. Найдем численное значение .
Оно равно
.
Теперь найдем
.
Оно равно
.
Заметим, что второй вариант решения возможен в том случае, когда мы имеем дело с табличными значениями тригонометрических функций.
Ответ: .
Пример 3.
Вычислить:
Решение:
В этом примере возможен только ход рассуждений по первому
варианту, так как мы имеем дело не с табличными значениями косинуса. Очевидно,
что число 10 не является правильным ответом, поскольку оно не принадлежит
промежутку .
Таким образом, нам нужно найти такое число a из
промежутка
,
косинус которого равен косинусу 10. Таким значением a является
число
,
так как
значит,
и,
с учетом формул приведения:
.
Ответ: 1
Тождества, связывающие тригонометрические и обратные тригонометрические функции |
|
2. Рассмотрим некоторые тождества
С использованием тождеств, связывающих тригонометрические и обратные тригонометрические функции, рассмотрим решение некоторых примеров:
Пример 4.
Вычислите: .
Решение:
При решении этой задачи используется только знание табличных значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций:
.
Ответ: 0.
Пример 5.
Вычислить:
Решение:
Для вычисления значения данного выражения воспользуемся тождеством (22):
Ответ: -3
Пример 6.
Вычислить:
Решение:
Сначала воспользуемся табличными значениями обратных
тригонометрических функций и заменим .
Теперь воспользуемся для преобразования формулой тангенса двух аргументов:
. Теперь,
используя тождества для арктангенса и табличные значения тангенса, получим
результат:
Ответ:
Решение задачи 2
Вычислить: .
Решение:
Данное выражение вообще не содержит табличных значений тригонометрических функций, поэтому при решении этой задачи будем использовать тождества второй группы. Но сначала воспользуемся формулой косинуса суммы аргументов. Таким образом, получим:
Ответ:.
Решение задачи 3
Вычислить
Решение:
Воспользуемся для начала формулой синуса двойного аргумента и получим:
.
Теперь, используя тождества и преобразуя полученное выражение, получим окончательный результат:
Ответ:
3. Рассмотрим более сложные задачи.
Пример 7
Вычислить: .
Решение:
Найдем .
Для этого воспользуемся формулой тангенса суммы аргументов:
Поэтому сумма арктангенсов – это такое число, тангенс которого
равен -1. Для того чтобы найти окончательно это число, определим, какому
промежутку оно должно принадлежать. и
принадлежат
промежутку
,
поскольку в силу монотонности функции арктангенс (он монотонно возрастает)
каждый из рассматриваемых арктангенсов больше чем
,
который равен
.
А в силу ее ограниченности каждый из них меньше чем
.
Поэтому сумма этих арктангенсов принадлежит промежутку
.
В этом промежутке содержится единственное число, тангенс которого равен -1.
Это
.
Таким образом значение выражения равно:
.
Ответ: 0,75
Пример 8
Найдите в
виде целого числа, если
.
Решение:
Сначала воспользуемся формулой, связывающей значения тангенса и котангенса одного аргумента:
. Это
позволяет вычислить
.
Теперь, подставив найденное значение в выражение, значение которого нужно
найти, получим искомый результат:
Ответ: 5.
Пример 9
Вычислить:
Решение:
При вычислении значения данного выражения прежде всего воспользуемся формулами синуса двойного аргумента, выражающего его через тангенс, и тангенса половинного аргумента:
.
Теперь воспользуемся тождеством (19) и получим окончательный результат:
Пример 10
Вычислить:
Решение:
Заметим, что при вычислении значения данного выражения можно
использовать формулы котангенса суммы и разности аргументов, а затем формулы
котангенса половинного аргумента. Но мы будем использовать другой путь. Один из
аргументов и
другой
.
Сумма и разность аргументов представляют собой очень привлекательные
выражения:
и
.
Попробуем это использовать. Преобразуем данное выражение, воспользовавшись
формулой суммы котангенсов:
.
И далее используя в знаменателе формулу преобразования произведения синусов в
разность косинусов:
.
Таким образом получим:
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
1. Упростить выражение: ,
где
Решение:
При выполнении преобразования данного выражения воспользуемся
формулой синуса двойного аргумента, а также тождествами, позволяющими
выразить и
.
В результате получим:
.
Ответ: 2.
2. Упростите выражение: .
Решение:
Воспользуемся формулой преобразования косинуса суммы аргументов, а затем тождествами:
Ответ:
.
3. Найдите значение выражения:
Решение:
С одной стороны, можно попытаться воспользоваться
тождеством: .
Но в этом случае мы получим в качестве значения выражения:
,
значение которого вычислять не очень удобно. Поэтому мы будем действовать
другим способом: сначала вычислим значение
,
а затем – значение косинуса в найденной точке.
Для вычисления воспользуемся
выражением косинуса через котангенс половинного аргумента:
.
Используя этот результат, получим:
Теперь найдем ,
Ответ:
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.