Проект «Устные решения квадратных уравнений»

Муниципальное образование город Армавир Краснодарского края

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение-

основная общеобразовательная средняя школа №25

Проект

«Изучение устных решений квадратных уравнений»

         Научный руководитель: Оганесян Валентина Ашотовна

          Подготовила: ученица  9 Б  Егиазарян Надежда Давидовна

Армавир, 2019 г

Оглавление

1. Обоснование ………………………………………………………………

2. Цель изучения устных решений квадратных уравнений ………………

3. Методы изучения решений квадратных уравнений, решаемых по теореме Виета…………… ……………………………………………………………………….

4. Содержание

1). Историческая часть ………………………………………………………………….

2). Приведённые квадратные уравнения………………………………………………

3). Не приведённые квадратные уравнения……………………………………………..

4). Составление уравнений по его корням………………………………………………

5). Алгоритм устного решения квадратных уравнений……………………………….

6). Примеры для самостоятельной работы…………………………………………….

5. Практическая значимость проекта………………………………………………....

6. Выводы……………………………………………………………………………….

7. Список литературы……………..…………………….………………………..……

1.                 Обоснование.

Различные приёмы  решения квадратных уравнений с помощью теоремы Виета заслуживают внимания,  поскольку они не отражены в школьных учебниках математики.

 Овладение данными приёмами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения.

 Потребность в быстром решении уравнений обусловлена применением тестовой системы выпускных и вступительных экзаменов.

2.                 Цель изучения устных решений квадратных уравнений

Многие задачи в математике связаны с решением квадратных уравнений; часто при решении одной задачи встречаются несколько таких уравнений, поэтому   полезно знать метод устного решения квадратных уравнений, который не только помогает экономить время, но и  развивает навыки в разложении чисел на множители, что бывает полезно при устных вычислениях громоздких арифметических выражений.

Попытаемся составить алгоритм решения  различных квадратных уравнений.

3.                 Методы изучения решений квадратных уравнений, решаемых по теореме Виета

·                 сравнение результатов самостоятельной работы до проекта, и после тренировки решение квадратных уравнений применяя теорему Виета;

·                 изучение и анализ электронных источников и литературы;

·                 самостоятельная работа по составлению блока уравнений и тренажера.

4. Содержание

1). Историческая часть.

Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт.

Отец Виета был прокурором. Сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату. В 1560 году двадцатилетний адвокат начал свою карьеру в родном городе, но через три года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал секретарем хозяина дома и учителем его дочери двенадцатилетней Екатерины. Именно преподавание пробудило в молодом юристе интерес к математике.

Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему было легче узнать о достижениях ведущих математиков Европы. Он общался с видным профессором Сорбонны Рамусом, с крупнейшим математиком Италии Рафаэлем Бомбелли вел дружескую переписку.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.

В 1580 году Генрих III назначил Виета на важный государственный пост рекетмейстера, который давал право контролировать выполнение распоряжений в стране и приостанавливать приказы крупных феодалов.

В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Обретя покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи.

Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом "Введение в аналитическое искусство". Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему "видов". В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато-квадраты и т. д. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных - согласные.

Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: "Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D".

В трактате "Дополнения к геометрии" он стремился создать некую геометрическую алгебру, используя геометрические методы для решения уравнений третьей и четвертой степеней. Любое уравнение третьей и четвертой степени, утверждал Виет, можно решить геометрическим методом трисекции угла или построением двух средних пропорциональных.

Математиков столетиями интересовал вопрос решения треугольников, так как он диктовался нуждами астрономии, архитектуры, геодезии. Виет первым явно сформулировал в словесной форме теорему косинусов, хотя положения, эквивалентные ей, эпизодически применялись с первого века до нашей эры. Известный ранее своей трудностью случай решения треугольника по двум данным сторонам и одному из противолежащих им углов получил у Виета исчерпывающий разбор. Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.

В мемуарах некоторых придворных Франции есть указание, что Виет был женат, что у него была дочь, единственная наследница имения, по которому Виет звался Сеньор ДеЛаБиготье. В придворных новостях маркиз Летуаль писал: "...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже. Ему было более шестидесяти лет

2).Приведённые квадратные уравнения

Наиболее распространенно устное решение приведенных квадратных уравнений, но и оно у многих учеников вызывает затруднение из-за  отсутствия жесткого алгоритма действий, особенно в случаях, когда корни имеют разные знаки. Напомним,теоретические сведения, используемые для решения приведенного квадратного уравнения и попытаемся составить алгоритм его решения.

Как  известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая приа=1,  имеет вид

Отсюда можно сделать следующие выводы.

Если в уравнении последним знаком является «минус», то корни имеют разные знаки, причем знак меньшего корня совпадает со знаком второго коэффициента в уравнении (в дальнейшем будем называть его вторым  знаком уравнения, а числа p и q будем называть модули коэффициента)

Зная, что при сложении чисел с разными знаками их модули вычитаются, заметим: для нахождения корней приведенного уравнения необходимо  выполнить следующие действия:

1) Найти такие множители  числа q, чтобы их разность была равна числуp;

2)Поставит передменьшим из найденных чисел второй знак уравнения, другой корень будет иметь противоположный знак.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

Решение. Из всех множителей числа 15 (1 и 15, 3 и 5) выбираем те, разность которых равна 2.Это числа 3 и 5. Перед меньшим числом ставим второй знак уравнения, т.е. «минус». Таким образом, ,-корни уравнения

Такой алгоритм помогает очень быстро решать уравнения тем учащимся, у которых имеются проблемы с подбором знаков в теореме Виета.

Рассмотрим еще несколько примеров с поэтапной записью рассуждений.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

Решение. Так как

ПРИМЕР 3. Решить уравнения

Решение. Имеем

Составим четыре произвольных уравнения с целыми корнями, имеющими разные знаки.

1.Если в уравнении  последним знаком является «плюс», то оба корня имеют одинаковые знаки, противоположенные второму знаку уравнения. Полезно иметь ввиду следующее правило:

2. Если в уравнении два знака «плюс», то оба корня имеют знак «минус». Чтобы найти корни, нужно найти такие множители свободного члена, чтобы их сумма была равна р.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

Решение. Так как ,а в уравнении два «плюса» то ответом является

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

Решение. Имеем  Значит ,

3). Неприведенные  квадратные уравнения

Устное решение уравнений вида

Практически незнакомо учащимся, хотя алгоритм решения немногим отличается от алгоритма решения приведенного квадратного уравнения. Мы рассмотрим сначала этот алгоритм, а затем для интересующихся приведем его доказательство. Для того, чтобы пользоваться алгоритмом, условимся рассматривать уравнения с положительным коэффициентом а.

Корни уравнения имеют вид

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

Решение. Найдем числа, произведение которых  равно .

Поскольку в уравнении два «плюса»,  искомые числители дробей отрицательны: -2 и -10. Знаменателем дробей является первый коэффициент 5. Итак,

Ответ:

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

Решение. Найдем числа, произведение которых равно , а разность равна 4. Это числа 7 и 11. Меньшее из них должно иметь знак «минус», т.е искомые числители дробей равны -7 и 11, а в знаменателе первый коэффициент 7. Таким образом,

Ответ:

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

Решение. Зачем, что 67+8=75, следовательно,.

ПРИМЕР 4. Решить уравнение.

Решение. Так как 34-19=15, то искомые числители дробей равны 19 и -34, тогда

Небольшие тренировочные упражнения помогут тебе обрести опыт в решении любых уравнений, имеющих рациональные корни, а в дальнейшем можно позволить себе получить удовольствие от устного решения некоторых уравнений, содержащих параметры или имеющих иррациональные коэффициенты.

ПРИМЕР 1.Решить уравнение

Решение. Так как разность (последний знак уравнения «минус») последнего и первого коэффициентов равны 1, т.е. второму коэффициенту, то

.

ПРИМЕР 2.Решить уравнение

Решение. Имеем , a

ПРИМЕР 3. Решить уравнение

Решение. Поскольку ,   находим

ПРИМЕР 4. Решить уравнение

Решение. Так как , то

4). Составление квадратных уравнений по его корням.

Если два числа итаковы, что их сумма равна,  а произведение равно,  то эти числа являются корнями квадратного уравнения .

Для уравнения  теорема Виета имеет вид

Пример: Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа -11 и 23.

Решение. Обозначим  х₁=-11  и х₂=23.  Вычисляем сумму и произведение данных чисел: х₁ + х₂= -12  и   х₁ * х₂ = -253. Следовотельно, указынне числа являются корнями  уравнения со  вторым коэффицентом -12 и свободным членом -253.  То есть,  – искомое уравнение.

Ответ:

5).Алгоритм решения квадратных уравнений.

Таким образом, к любому приведенному квадратному уравнению  можно применить следующий алгоритм отыскания корней :

1)    Найти множители свободного члена, для которых действие, указанное последним знаком уравнения, дает второй коэффициент ;

2)    Расставить знаки у найденных множителей по следующим правилам

-если последний знак «минус», то меньшему корню присваивается второй знак уравнения (больший корень имеет противоположный знак).

-если в уравнении два «плюса», то в ответе два «минуса».

ПРИМЕР 1. Решить уравнение

Решение. Среди множителей числа 30 ищем такие, разность которых равна 7. Это числа 3 и 10. Меньшему числу присваиваем знак «минус»; Таким образом,

Ответ:

ПРИМЕР 2.Решить уравнение

Решение. Среди множителей числа 6 ищем такие, сумма которых равна 7. Это числа 1 и 6. Таким образом ,

После небольшой тренировки этот алгоритм позволяет очень быстро решать любые приведенные квадратные уравнения с целыми коэффициентами, имеющие целые корни.

Для не приведённого квадратного уравнения

корни уравнения имеют вид

Где m и n находиться по следующему правилу:

 равно произведению , а действие указанное последним знаком уравнения, для чисел m и n дает второй коэффициент b;

2) Знаки m и n определяются следующим образом:

-если в уравнение два знака «плюс», то тип отрицательный;

- если в уравнение последний знак «минус», то меньшему из чисел m и n присваивают второй знак уравнения .

6).  Примеры для самостоятельной работы.

1. Решите самостоятельно уравнения:

1)       

2)       

3)                   

4)       

1.                 Составьте уравнение, корнями которого являются числа:

1)                6 и -7

2)                13 и -9

3)                -1 и 24

4)                -5 и 4

2.                 Решите самостоятельно уравнения:

1)       

2)       

3)       

4)       

3.                 Составьте уравнение, корнями которого являются числа:

1)                5 и 7

2)                -1 и -6

3)                11 и 8

4)           -4 и -20

4.            Решите самостоятельно уравнения

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

6)     

7)     

8)     

9)     

10)   

11)   

12)   

13)   

14)   

15)   

16)   

5.            Практическая значимость проекта

Применение  на уроках алгебры 8 класса и при итоговом повторении при подготовке к ОГЭ.

6.                 Выводы:

Тема "Квадратные уравнения" является одной из важнейших в курсе алгебры. Во-первых, она находит широкое применение в алгебре, так как многие уравнения сводятся к квадратным. Во-вторых, есть задачи, решение которых сводится к решению квадратных уравнений. В-третьих, эта тема широко используется при решении квадратных неравенств.  Теорема Виета и обратная теорема дают возможность очень быстро решать квадратные уравнения, эта особенность дает возможность для проведения мотивации к теме.

Результат моего труда – создан блок квадратных уравнений решаемых по теореме Виета.

Я увлеклась работой, проще всего было составить квадратные уравнения, в которых свободный член находится по таблице умножения. Теперь я не только безошибочно нахожу корни уравнения по теореме Виета, но и применяю ее при проверке решения любого квадратного уравнения.

7.                 Список литературы

1.     Алгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова

2.     Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. В.И.Жохов, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. М.: Просвещение, 2012.

3.     Алгебра 9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк.,  К. И. Нешков, С. Б. Суворова, под ред. С. А. Теляковского М.: Просвещение, 2014.

4.     Дидактические материалы по алгебре для 8 класса. В.И.Жохов, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. М.: Просвещение, 2013

5.     Математика. 8 класс: дидактические материалы к учебнику «Математика 8. Алгебра» / под ред. Г. В. Дорофеева. – М. : Дрофа, 2012г.\

6.     Государственная итоговая аттестация. 9 класс. Математика. Тематические тестовые задания./Л.Д. Лаппо, М.А. Попов/-М.: Издательство « Экзамен », 2011

7.     ФИПИ Математика, типовые экзаменационные варианты под редакцией И. В. Ященко, 36 вариантов

Интернет ресурсы

1.            http://festival.1september.ru/articles/530928/

2.             http://fcior.edu.ru/card/3726/kvadratnoe-uravnenie.html

3.             http://kopilkaurokov.ru/matematika/uroki/107955

4.  http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2012/12/10/razrabotki-urokov-po- teme-teorema-vieta

5.  http://gigabaza.ru/doc/40685.html

Скачано с www.znanio.ru