Проект "Лента Мебиуса"

МУНИЦИПАЛЬНОЕ  БЮЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 22» УЧРЕЖДЕНИЕ   Научно­практическая конференция «Старт в науку». Тема проекта «Лента Мебиуса» Автор: Леншина Александра, 8 класс МБОУ «СОШ № 22» Научный руководитель: Крымкина Наталья Васильевна учитель математики высшей категории г. Сергиев Посад 2018 год. Оглавление. 1. 2. Введение…………………………………………………………….3 Основная часть. …………………..…………….………………….4  2.1.     Август Фердинанд Мёбиус………………………………………4 2.2.      Изготовление и знакомство с лентой Мёбиуса.…………………5 2.3. Свойства ленты Мёбиуса……………………………………………5­6 2.4. Применение листа Мебиуса ……………………….………………6­7 3. Заключение………………………………………………………….8 4. Список  литературы ………………………………………………..9 В наше время актуально изучение различных свойств   и нестандартных применений.  В своем проекте я хотела бы исследовать необычные свойства удивительного изобретения, ленты 1.Введение Мёбиуса. ( приложение № 1) Это   так называемый «лист Мёбиуса», или «лента Мёбиуса» – весьма   простая   и   в   то   же   время   весьма   странная   конструкция    была   открыта   немецким математиком Августом Фердинандом Мебиусом во второй половине 19 века и, естественно, была названа в его честь. Ходит молва, что Мёбиусу пришла в голову идея об этой необычной геометрической фигуре,   когда   он   увидел   горничную,   неправильно   повязавшую   свой   шейный   платок. Справедливости   ради,   надо   заметить,   что   сама   фигура,   называемая   всеми   лентой   Мёбиуса, одновременно   и   независимо   в   том   же   1858   году   была   построена   и   другим   немецкими математиком   Иоганном   Бенедиктом   Листингом   (1808­1882),   который,   кстати,   пустил   в математический обиход и термин «топология». Я     рассмотрела     применение   листа   Мёбиуса   в   науке,   технике   и   изучении   свойств Вселенной. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различные применение  в быту: абразивные ремни для  заточки  инструментов,  красящие  ремни  для  печатающих устройств,  ременные  передачи, магнитофонные ленты и т.д. Мною была проделана работа по рассмотрению  некоторых свойств ленты Мёбиуса. Для этого были использованы  свойства развёртывающихся поверхностей. Изучались свойства ленты на наглядных примерах. Кроме того, существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же ленту согласно теории относительности ­ чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более  того,  эта  теория  полностью согласуется  с  теорией  относительности  Эйнштейна  и  его предположением, что космический корабль, все время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность  и конечность Вселенной. Из этого можно сделать вывод о реальности теории зеркальных миров ­ ведь астронавты, совершившие путешествия по ленте Мёбиуса и вернувшиеся в исходную точку, превратятся в зеркальных своих двойников. Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому  генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того, такая   структура   вполне   логично   объясняет   причину   наступления   биологической   смерти   ­ спираль   замыкается   сама   на   себя   и   происходит   самоуничтожение.   Или     аннигиляция,   как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают  также, что все оптические  законы основаны на свойствах ленты Мёбиуса, в частности   отражение в зеркале ­ это своеобразный перенос   во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника. Цель работы: Исследование поверхности ленты Мебиуса и её свойств. Задачи работы: • Познакомиться с историей появления ленты Мебиуса. • • Выявить и исследовать свойства ленты Мебиуса. Установить области применения ленты Мебиуса. 2.   Основная часть. 2.1.Август Фердинанд Мёбиус 17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик Август Фердинанд Мебиус – здоровый и   крепкий   малыш.   Все   шло   и   г   своим   чередом.   Школа,   университет.   Мальчику   повезло: астрономию   ему   преподавал   сам   Гаусс,   математику   –   Пфафф.   Как­то   незаметно   для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете. Научные статьи, лекции, работа. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил удивлять их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы   показать   ночное   небо   во   всей   его   красе.   Возможно,   имя   этого   человека   за   220   лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро… На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как­то ничего особенного не приходило на ум. На пороге комнаты появилась любимая жена. Она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этой ленте. Семь лет он дожидался   рассмотрения   своей   работы,   и,   не   дождавшись,   опубликовал   её   результаты. Справедливости ради, надо отметить, что почти в это же  время предложил в качестве первого примера односторонней поверхности  этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг,профессор  Геттингенского  Университета.  Свою работу  он опубликовал  на  три  года раньше, чем Мёбиус, ­ в 1862 году, но лента все­таки носит имя Мебиуса. 2.2.  Изготовление и знакомство с лентой Мёбиуса. Лента Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить ленту Мёбиуса, возьмем бумажный лист АВСD. Прикладываем ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Перед склейкой перекручиваем ленту один раз (на 180).Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть даже особое название ­ "Лента Мёбиуса". ВС АD Сколько сторон у ленты Мёбиуса? У листа, из которого сделана лента Мёбиуса, две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона! Получим перекрученное кольцо.  И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите? Хотите   ­   проверьте.  Убедимся   в   этом:   возьмём   кисти   и   краски,   начнём   постепенно окрашивать его  в  какой­нибудь цвет,  начиная   с  любого  места.  После  окончания  лист  у  нас полностью будет окрашен. 2.3. Свойства ленты Мёбиуса  Непрерывность.  На ленте Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.  Связность.  Лента Мёбиуса двусвязана, т.к. если разрезать ее вдоль, она превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.  Ориентированность  – свойство  отсутствующее  у ленты Мёбиуса . Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.  «Хроматический номер» ­ максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер ленты Мёбиуса равен шести. 2.4. Применение листа Мебиуса. Уже сегодня удивительные свойства ленты Мёбиуса используются в самых различных изобретениях.   Многие   ученые   в   своих   изобретениях   использовали   принцип   ленты   Мебиуса. Всего в разных странах за последние годы выдано более ста патентов и авторских свидетельств на использование этой удивительной ленты. Пружинный механизм детских заводных игрушек чаще всего выходит из строя, потому, что дети нередко пытаются заводить пружину, когда она и так закручена до предела. Кольцевая перекрученная пружина может стать "вечным двигателем" для детских игрушек.  Еще один пример возможного использования нового механизма ­ щелевой затвор фото­ или кинокамеры (не цифровой). В традиционных конструкциях после спуска затвора необходимо закрыть щель шторки затвора, а затем только вернуть его в исходное положение, одновременно взведя пружину. Иначе кадр засветится при прохождении щели затвора в обратном направлении. Устройство   затвора   получается   весьма   сложным.   Применение   ленты   Мёбиуса   позволило упростить конструкцию, повысило ее надежность, долговечность и быстродействие.   Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности ∞, т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Сейчас выясняли, что это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.    Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в Нью­ йоркском метро, когда потерялся во  времени поезд, отправившийся в путь по пути, замкнутом в ленту   Мебиуса.   Оказалось,   что   автор   не   так   далек   от   истины.   Физики­теоретики   пришли   к выводу, что наша Вселенная вполне вероятна замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности.  Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.  Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась   в   виде   ленты   Мёбиуса,   что  позволяло   ему   работать  дольше,   потому,     что  вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную плёнку применялись   ленты   Мёбиуса   (чтобы   удвоить   время   записи).   В   виде   парадоксальной геометрической фигуры можно, оказывается, изготовить лопасти бетономешалки или обычного бытового   миксера   —   энергозатраты   снизятся   на   одну   пятую,   а   качество   бетона   (или кондитерского   крема)   улучшится.   Скольких   людей   приводили   в   восторг   аттракционы “Американские горки”.  Есть предположение, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса   и   только   поэтому   генетический   код   так   сложен   для   расшифровки   и   восприятия. Больше того ­ такая структура объясняет причину наступления биологической смерти ­ спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.  Мёбиусовая     лента   понравилась   не   только   физикам,   математикам,   но   и   фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений.   Если попробовать   разрезать   ленту   вдоль   по   линии,   равноудалённой   от   краёв,   вместо   двух   лент Мёбиуса   получится   одна   длинная   двухсторонняя   (вдвое   больше   закрученная,   чем   лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента».    Удивительные   свойства   листа   демонстрировались   даже   в   цирке,   где   подвешивались яркие   ленты,   склеенные   в   виде   листов   Мёбиуса.   Фокусник   закуривал   сигарету   и   горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую ­ в две ленты, продетая одна в другую.  Чудесные ее свойства тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных   фантастических   рассказов.   Лист   Мёбиуса   был   эмблемой   известной   серии научно­популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты».  Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса.   Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:   У математиков ­ идут дальнейшие исследования;   У школьников ­ очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;   У учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;   В технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.    Мёбиус   повлиял   не   только   на   математиков,   но   и   на   художников,   скульпторов, архитекторов и многих, многих, многих…   В результате появились картины, скульптуры, марки, другие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса.   Я думаю, что следов Мёбиуса в искусстве будет ещё много. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на   пьедестале стальная   лента,   закрученная   на   полвитка.   В   1967   году,   когда   в   Бразилии   состоялся международный   математический   конгресс,   его   устроители   выпустили   памятную   марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета. 3.Заключение Лента Мебиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыли ученые. Позже математики   открыли   еще   целый   ряд   односторонних   поверхностей.   Но   эта   –   самая   первая положила  начало целому направлению в геометрии «топологии». Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие давно, оно очень популярно и в наши дни.  В   ходе   данного   проекта­исследования   была   прочитана   и   переработана   большая разнообразная   информация,   посвященная   объекту   моего   исследования,   различные   источники сети Интернет.   Я   познакомилась с историей создания ленты Мёбиуса.   В своей работе я   попыталась описать свойства этой прекрасной поверхности – листа Мебиуса, показать его значимость на практике,   доказать,   что   лента   Мебиуса   –   топологическая   фигура.   Для   доказательств   были использованы   свойства   развертывающихся   поверхностей.   Изучались   свойства   ленты   на наглядных примерах. Этот интересный математический материал   будет интересен любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе. Не исчерпаны опыты с лентой Мебиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.   4.Список литературы 1. Барр С. Россыпи головоломок. Москва, Мир, 1987 2. Величко М.В. «Проектная деятельность учащихся «математика 9­11 классы».  Издательство «Учитель» Волгоград,2007 г. 3. Гарднер М.Математические досуги. М. Мир,1972. 4. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Наука, 1978. 5. Левитин К. Геометрическая рапсодия. Издательство «Знание», Москва,1984 6. Смирнова Е.С. «Курс наглядной геометрии» 6 класс. 7. Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г., стр. 111­112. 8.  http://ru.wikipedia.org/wiki/ 9. http://uchebniy­school.ucoz.ru/load/