Проект по математике "Лист Мёбиуса".

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Белебеевский Министерство образования Республики Башкортостан колледж механизации и электрификации  ПРОЕКТ по  дисциплине «Математика» тема: «Лист Мёбиуса» Выполнили студенты Э11 группы  специальности 35.02.08 Электрификация и  автоматизация сельского хозяйства  Козлов Никита Вячеславович Преподаватель  Шайдуллина Елена Рифовна   г. Белебей, 2018 год 1 Оглавление 1. Введение.......................................................................................................................2 2. Что такое лист Мёбиуса и его применение................................................................5 3. Топологические свойства листа Мёбиуса...................................................................7 4. Лента Мёбиуса и гипотезы..........................................................................................9 5.Эксперименты с листом Мёбиуса...............................................................................11 6.1. Применение листа Мёбиуса в технике..................................................................12 6.2.Лист Мёбиуса в литературе.....................................................................................14 6.3.Графическое искусство............................................................................................15 6.4.Скульптура................................................................................................................15 6.5.Лист Мёбиуса в повседневной жизни.....................................................................16 7. Заключение.................................................................................................................18 8. Приложения................................................................................................................19 9. Литература..................................................................................................................29 1. Введение Тема   исследования   листа   Мёбиуса,   является   актуальной,   так   как   в последнее   столетие   большое   влияние   на   ряд   совершенно   различных   областей 2 знания приобрела ветвь геометрии ­ топология.  На основе этих секретов создано много   полезных   вещей   и   изобретений,   поэтому   изучение   этих   секретов   просто необходимо. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая   представить   сложные   математические   модели.   Бумажное моделирование   развивает   умственные   способности   и   пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность. И это полезно  тем студентам, у которых недостаточно развито пространственное воображение.  Я выбрал тему проекта «Лист Мёбиуса», потому что считаю что она имеет наиболее   важное   научное   и   практическое   значение   и   просто   интересна   для студента. В своей работе я рассмотрел ленту Мёбиуса и её применение в науке, технике.   Уже   сейчас   лента   Мёбиуса   находит   различное   применение   в   быту: абразивные ремни для заточки инструментов, красящие ремни для печатающих устройств,   ременные   передачи   и   т.д.   Самое   интересное   когда   мы   начинаем разрезать ленту Мёбиуса. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Меня  так заинтересовал этот лист, что я  стал искать про него различную информацию и проводить с ним разные опыты, о результатах которых  вам расскажу в своей работе. Объект   исследования:   лист   Мёбиуса   как   модель   односторонней поверхности.  Гипотеза: односторонние поверхности существуют.  Цель работы: изучить разнообразные свойства ленты Мёбиуса. В   соответствии   с   поставленной   целью   и   выдвинутой   гипотезой определились следующие Задачи: ­ раскрыть  понятие  топологии; ­ изучить вклад А.Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии; ­ описать  лист  Мёбиуса  и  процесс  его изготовления; ­ проверить опытно­экспериментальным путём  свойства листа Мёбиуса; 3 ­ показать  использование  листа  Мёбиуса. Методы исследования:   ­работа с литературой; ­поиск информации во всемирной сети Интернет. 4 2. Что такое лист Мёбиуса и его применение. Лист   Мёбиуса —   топологический   простейшая   односторонняя объект, неориентируемая   поверхность,   которая имеет  один край и одну сторону.  Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую   можно,   не   пересекая   края.   Все   эти   перечисленные   свойства   Мёбиуса используются   в жизни   человека.   Только   в разных   сферах,   например,   в технике, литературе, вязании и во многом другом. 5 Считается, что первый пример   односторонней   поверхности привел   немецкий   математик   и   астроном Август   Фердинанд   Мёбиус   в   1858   году. Некоторые   источники   дают   основания предполагать,   что   в   том   же   году независимо от него похожий пример был приведен   другим   немецким   ученым, Иоганном   Бенедиктом   Листингом.   В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие   поразительной   красоты.   Это   – открытие односторонних поверхностей, об одной из которых, называемой листом (или лентой) Мёбиуса, мне хочется узнать как можно больше. Открыть свой "лист Мёбиуса" Августу Фердинанду Мёбиусу, помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты. Как бы то ни было, но в 1858   году Лейпцигский профессор   Август   Фердинанд   Мёбиус,   ученик знаменитого, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы,   и.   не   дождавшись   результатов,   опубликовал   её   в   1865   году.   У   листа Мёбиуса была всего одна сторона, и это поразило немецких профессоров, потому что каждая поверхность имеет две стороны.  Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, ­ в 1862 году. Что   же   поразило   этих   двух   немецких   профессоров?   А   то,   что   у   листа Мёбиуса – всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) – две   стороны.   Убедиться   в   односторонности   листа   Мёбиуса   несложно:   начните постепенно окрашивать его в какой­нибудь цвет, начиная с любого места, и по 6 завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. 3. Топологические свойства листа Мёбиуса. Топология   ­   наука,   изучающая   непрерывные   среды   и   пространство. Основными топологическими свойствами листа Мебиуса являются: ­ односторонность; ­ непрерывность; ­ связность; ­ ориентированность; ­ хроматический номер. 7 1)   Односторонность  ­   Лист   Мёбиуса   имеет   одну   поверхность,   однако   в каждом поперечном сечении эта поверхность имеет "внешнюю" и "внутреннюю" стороны, которые по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга. 2) Непрерывность ­ тополог может, как угодно деформировать фигуру, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит,   с   топологической   точки   зрения   круг   неотличим   от   квадрата   или треугольника,   потому   что   их   легко   преобразовать   один   в   другой,   не   нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная. Представьте   себе,   что   по   наружной   поверхности   обычного   кольца путешествует муравей. Если муравей не пересекает рёбра, а идёт вдоль листа, он вернётся  в  исходную  точку, обойдя  наружную  поверхность.  На  ленте  Мёбиуса путешествие муравья будет длиться вдвое дольше: муравей, не пересекая рёбер, обойдёт обе поверхности – наружную и внутреннюю. 3)   Связность  ­  если   квадрат   разрезать   от   стороны   к   стороне,   то   он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить кольцо на две части, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – двусвязны, а всяческие решётки и подобные сложные фигуры – многосвязны.   А   лист   Мёбиуса   двусвязен,   т.к.   если   разрезать   его   вдоль,   он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. 4)  Ориентированность  –  свойство, отсутствующее   у  ленты  Мёбиуса. Так, если бы человек смог путешествовать по всем изгибам ленты Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился бы в своё зеркальное отражение. 5)  Хроматический   номер   равен   максимальному   числу   областей,   которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по­разному, то любой 8 цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может   быть   не   более   четырёх.   Это   и   значит   что   хроматический   номер   этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер ленты Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести. 4. Лента Мёбиуса и гипотезы. Знаком   Мёбиуса   обозначается   бесконечность.   Действительно,   по   ленте Мёбиуса   можно   двигаться   непрерывно   и   бесконечно,   вечно   пребывая   на   её единственной   стороне.   Но   это   лишь   пространственное   представление непрерывности и бесконечности. В ритмологическом ключе знак ленты Мёбиуса приобретает иное наполнение. Есть  ритмы, благодаря которым человек развивает 9 своё энергетическое, сердечное начало, и есть ритмы, обеспечивающие раскрытие нашего мозга, наших информационных возможностей. Дабы эти противоположные начала развивались в нас равновелико и гармонично, между «энерго» ­ ритмами и «информо»­ритмами разместились ритмы Мёбиусного вихря. Благодаря им, мы имеем возможность непрерывно и бесконечно перемещаться от сердца к мозгу, от информации   к   энергии.   Сохраняя   при   этом   баланс   между   планетарной   и человеческой   сторонами   жизни.   Ритмы   Мёбиусного   вихря   позволяют   нам совершать своеобразный «обмен» энергии на информацию и наоборот.  Помимо этого, подтверждением того, что лента Мёбиуса прочно вошла в жизнь   человека,   говорит   тот   факт,   что   через   призму   её   свойств   объясняются некоторые процессы и в других областях наук.  Есть гипотезы о том, что: 1) Наша Вселенная выглядит как лист Мёбиуса, у нее нет начала и конца,  согласно   теории   относительности   –   чем   больше   масса,   тем   больше   кривизна пространства.   Более   того,   эта   теория   полностью   согласуется   с   теорией относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, все время   летящий   прямо,   может   вернуться   к   месту   старта,   что   подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. 2) Спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только   поэтому   генетический  код  так   сложен  для   расшифровки  и  восприятия. Больше   того,   такая   структура   вполне   логично   объясняет   причину   наступления биологической   смерти   ­   спираль   замыкается   сама   на   себя   и   происходит самоуничтожение.   Или   аннигиляция,   как   подтверждают   физики.   Они,   кстати, утверждают   также,   что   все   оптические   законы   основаны   на   свойствах   ленты Мёбиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный,   длящийся   сотые   доли   секунды,   ведь   мы   видим   перед   собой зеркального своего двойника.  10 5. Эксперименты с листом Мёбиуса. № 1 2 Описание опыта Лист Мёбиуса  разрезали по середине  вдоль. Лист Мёбиуса шириной Получили   два   сцепленных   друг   с   другом Результат Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот (см. Приложение 1). 11 5см разрезали вдоль на  расстоянии 1см от  края. Лист Мёбиуса шириной 5см  разрезали вдоль на расстоянии 2см от  края. Листа Мёбиуса  разрезали  на 3  полоски. Разрезали ленту с  двумя перекрутами  посередине. Разрезали ленту с  двумя перекрутамина  одну треть от края. Разрезали ленту с  тремя полуоборотами  (540°) пополам. Взяли  полоску,  перегнутую по длине  один раз. Перекрутили  ее на полный оборот  и  склеили концы.  Теперь разрезали двойной слой склеенной ленты по ее  средней линии. Проверили свойство  односторонности  (неориентируемости) 3 4 5 6 7 8 9 кольца:  1)   одно   кольцо   равно   длине   исходно, ширина 3см; второе кольцо ширина 1см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных   оборота,     с   двумя   границами   (см. Приложение 2). Получили   два   сцепленных   друг   с   другом кольца: первое кольцо – лист Мёбиуса шириной 1см,     длина   равна   длине   исходного;   второе кольцо ­  ширина 2см, длина в два раза длиннее исходного   перекрученного   на   два   полных оборота, с двумя границами (см. Приложение 3). Получается   2   кольца.   Одно   из   них   вдвое длиннее   первоначальной   ленты   и   вдвое перекручено. Другое ­ лист Мёбиуса ­ состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса. Эти   кольца   сцеплены   друг   с   другом   (см. Приложение 4) Получаем   2одинаковых   кольца   с   двумя перекрутами,   сцепленные   друг   с   другом   (см. Приложение 5). Получаем   два   кольца   с   двумя     перекрутами, одно   кольцо   в   2   раза   тоньше   другого   (см. Приложение 6).   Получается Лист Мебиуса, который закручен узлом (см. Приложение 7). Получатся три кольца, сцепленные попарно (см. Приложение 8). Закрашиваем лист Мёбиуса с одной стороны. В итоге он окрашивается весь(см. Приложение 9) 6.1. Применение листа Мёбиуса в технике. 12 Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит   всё   та   же   односторонняя   поверхность.   В   1923   году   выдан   патент изобретателю Ли де форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать   или   считывать   информацию   сразу   с   двух   сторон,   что   увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.  В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков   П.Н.   применил   фильтр   в   виде   листа   Мёбиуса.   Полоса   ленточного конвейера   выполнялась   в   виде   ленты   Мёбиуса,   что   позволяло   ему   работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.В матричных принтерах   красящая   лента   имела   вид   листа   Мёбиуса   для   увеличения   срока годности.                             13 6.2. Лист Мёбиуса в литературе. Лист     Мёбиуса   также   постоянно   встречается   в   научной   фантастике, например,   в   рассказе   Артура   Кларка   Стена   Темноты.   Иногда   научно   – фантастические   рассказы   предполагают,   что   наша   вселенная   может   быть некоторым   обобщенным   листом   Мёбиуса.   В   рассказе   автора   А.Дж.   Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным,   что   превращается   в   ленту   Мёбиуса,   после   чего   на   этой   линии начинают исчезать поезда, появляясь снова только через несколько месяцев.  А Козьма  Прутков  подарил  читателям  афоризм: "Где  начало  того  конца, которым оканчивается начало?".  14 6.3. Графическое искусство. Лист   Мёбиуса   служит   вдохновением   для   скульптур   и   для   графического искусства. Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил лист и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных   —   лист   Мёбиуса,   показывает   муравьёв,   ползающих   по   поверхности ленты Мёбиуса. 6.4. Скульптура. Проект библиотеки в Казахстане. Изгибы музея образуют лист Мёбиуса. Там внутреннее   пространство   переходит   во   внешнее   и   обратно;   подобным   образом стены   переходят   в   крышу,   а   крыша   трансформируется   обратно   в   стены! Естественный   свет   проникает   во   внутренние   коридоры   сквозь   геометрические отверстия   во   внешней   оболочке,  создавая   прекрасно   освещённые   пространства, идеальные для чтения. Вскоре в китайском городе Тайчанге появится необычный буддийский храм. Его неординарность заключается в том, что он примет форму знаменитой ленты Мебиуса.   В   этом   случае   она   будет   отражать   основные   принципы   философии 15 буддизма   и   идею   реинкарнации.   Авторами   проекта   выступили   архитекторы   из студии   Miliy   Design.   В   своей   работе   специалисты   использовали   современные методы   цифрового   проектирования.   Стоит   отметить,   что   с   помощью   таких методов   развивается   пространственная   логика   здания,   уходящая   корнями   в бесформенность. Форма структуры позволяет внутренней и внешней поверхностям беспрепятственно   встретиться   в   одной   точке   и   развивается   далее   по   спирали. Применяя такие технологии, здание буддийского храма может получить различные возможности. Изучая листы Мебиуса в различных конфигурациях, специалисты из Miliy Design стремились создать знаковое динамичное пространство, которое бы соответствовало современным тенденциям развития Китая и одновременно несло бы в сооружение дух новаторства. Кроме того, в проекте четко прослеживается концепция   реинкарнации:   обращение   здания   храма   вращается   снаружи   внутрь через пространство так же, как реинкарнация через различные формы жизни.                6.5. Лист Мёбиуса в повседневной жизни. Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более   100   лет   она   используется   для   показа   различных   фокусов   и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались   яркие   ленты,   склеенные   в   виде   листов   Мёбиуса.   Фокусник закуривал   сигарету   и  горящим  концом   дотрагивался  до  средней  линии   каждой ленты,   которая   была   выполнена   из   калийной   селитры.   Огненная   дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую ­ в две ленты, продетая одна 16 в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины). Фокусники используют лист Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно,   которое   вдвое   длиннее   исходного.   Наконец,   разрезая   третье,   он   снова получает   поразительный   результат:   два   кольца,   сцепленных   друг   с   другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой.   Первое   наше   кольцо   получилось   путем   простого   соединения   концов ленты   без   перекручивание.   Второе   кольцо   получается   при   соединении   концов ленты, перекрученной один раз на 180ْ. Третье кольцо получилось при разрезании ленты,   концы   которой   перекручивались   перед   склейкой   дважды.   Известно   еще много фокусов с применением ленты Мебиуса. остались   равнодушными   к   ней   и   мебельщики.   Одним   из   примеров   их работы в этом направлении является шезлонг, который представляет собой ленту Мёбиуса, склеенную из гнутого Британского дуба. Не   По обувщики. Колхаас   Так   придумал силуэт   туфель   Мёбиус, состоящих   из   одной   хитро ленты. клонниками ленты   Мебиуса стали даже   голландец   Рэм остроумный словно свернутой 17 для Не   захотели   остаться   в   стороне   и   дизайнеры.   Художник   и архитектор Рон Арад является создателем дизайна флакона духов в виде ленты Мёбиуса. Лист   Мёбиуса   используется   в кулинарии   для   того,   чтобы   создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек,   хвороста,   также   при   изготовлении инструментов   для   приготовления   и украшения   различных   блюд,   силовых конструкций (мешалка).                         7. Заключение В ходе работы над проектом я узнал много интересного о листе Мёбиуса. Это   ­   первая   односторонняя   поверхность,   которую   открыл   учёный.   Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Лист обладает замечательными свойствами и находит применение  в реальной жизни. 18 Он интересен не только математикам, но и физикам, биологам, писателям, художникам,   скульпторам,   инженерам   и   просто   студентам.   Даже   мастерицы   ­ рукодельницы изготавливают шарфики,   закрученную в эту чудо­ленту. Конечно же, главная  ценность  листа  Мёбиуса  состоит  в том,  что  он  дал  толчок   новым обширным математическим исследованиям. 8. Приложения Приложение1 19 Опыт №1 Лист Мёбиуса разрезали по середине вдоль. Получили 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот Опыт №2 Приложение2 20 Лист Мёбиуса шириной 5см разрезали вдоль на расстоянии 1см от края Получили два сцепленных друг с другом кольца: 1) одно кольцо равно длине исходно, ширина 3см; второе кольцо ширина 1см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота. Приложение 3 21 Опыт №3 Лист Мёбиуса шириной 5см  разрезали вдоль на расстоянии 2см от края. Получили два сцепленных друг с другом кольца: первое кольцо шириной 1см,   длина равна   длине   исходного;   второе   кольцо   ­     ширина   2см,   длина   в   два   раза   длиннее исходного перекрученного на два полных оборота. 22 Опыт №4 Приложение 4 Лист Мёбиуса разрезали  на 3 полоски Получается   2   кольца.   Одно   из   них   вдвое   длиннее   первоначальной   ленты   и   вдвое перекручено. Другое ­ лист Мёбиуса ­ состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса. Эти кольца сцеплены друг с другом. 23 Приложение 5 Опыт №5 Разрезаем ленту с двумя перекрутами посередине Получаем 2одинаковых кольца с двумя перекрутами, сцепленные друг с другом. 24 Опыт №6 Приложение 6 Разрезаем ленту с двумя перекрутами на одну треть от края Получаем два кольца с двумя  перекрутами, одно кольцо в 2 раза тоньше другого 25 Опыт №7 Разрезаем ленту с тремя полуоборотами (540°) пополам Приложение 7 Получается Лист Мебиуса, который закручен узлом 26 Опыт №8 Перекрутим ее на полный оборот и склеим концы, Теперь разрежем Возьмем полоску, перегнутую по длине один раз. двойной слой склеенной ленты по ее средней линии. Приложение 8 Получатся три кольца, сцепленные попарно. 27 Опыт №9 Проверяем свойство одсторонности (неориентируемости) Приложение 9 Закрашиваем лист Мёбиуса с одной стороны. В итоге он окрашивается весь 28 9. Литература. 1. «Большая советская энциклопедия» том №26, «Топология», Москва, из­  во «Советская энциклопедия», 1977 год, Постников М.  2. Гарднер М.  «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978 г.,      стр. 43  ­ 48.   3. Квант: научно­популярный журнал.­1975, № 7; 1977, № 7. 4. Марчукова С.М. «Флатландия и трёхмерный мир».­СПб: СМИО Пресс,         2006­192 с., ил. 5.Материалы сайтов: http://arbuz.uz/t_lenta.html http://www.frei.ru/golos/books/ http://umiranie.chat.ru/sphere.htm http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/  /Лента_Мёбиуса https    ://   ru   .  wikipedia  /  wiki    .  org    https   https    ://   kozelrozel  ://   infourok      .  jimdo    /головоломки/лист­мебиуса/история­открытия/  .  com   .  html    =31648  ?  mid   .  ru   /  material      ://   multiurok https   https://lektsii.org/16­62588.html  .  ru   /  files  /  list      ­  miobiusa    ­  i  ­  opyty  ­  s  ­  nim   .  html              https://school­science.ru/2/7/30486 29