Проект по теме "Быстрые математики"

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ…………………………………………….………..…… ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ ……………………………………….      1. История развития способов быстрых вычислений         2. Приемы устного счета………………………………….……      2.1.  сложение чисел………………………………….……      2.2.  вычитание чисел ………………………………….……      2.3.  умножение чисел………………………………….……      2.4.  деление чисел………………………………….…… ЗАКЛЮЧЕНИЕ…….…………………………………………………… СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ……………...……..14 ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………… Введение На уроках математики нам приходится производить разные вычисления. Мне нравится программа «Удивительные люди». В ней  дети очень  быстро считают, решают сложные примеры и задания. В моем классе  некоторые одноклассники не очень хорошо и быстро считают, я решила им  помочь. Основополагающий вопрос: можно ли научиться быстрым вычислениям? Гипотеза:  1)Быстрые вычисления доступны только «удивительным людям». 2) Можно овладеть приемами быстрого счета. Известно, что производя математические вычисления в уме, человек  выполняет настоящую интеллектуальную гимнастику, тренирует свои  умственные способности, память.  УУ   стный счёт  — математические вычисления, осуществляемые  человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор,  счёты и т. п.) и приспособлений (ручка, карандаш, бумага и т. п.). Счет в уме является самым древним способом вычисления. Знание  приемов устных вычислений остается необходимым даже при наличии  калькуляторов.  Устные вычисления дают возможность, произведя расчеты  устно, контролировать, прогнозировать, оценивать возможные результаты при  решении различных задач. А также, умение быстро считать устно поможет в  жизни, чтобы не стать жертвами обмана на рынке или в магазине. Поэтому, изучение приемов устного счета, позволяющие быстро и  правильно производить в уме достаточно сложные вычисления, является  актуальной темой. Цель исследования: изучить приемы устного счета. Задачи исследования: 1. История развития  способов быстрых вычислений.  2. Приемы устного счета. Основная часть 1. История развития быстрых способов вычислений  Никто не знает, как впервые появилось число, как первобытный человек начал   считать.   Однако   десятки   тысяч   лет   назад   первобытный   человек, собирая   плоды   деревьев,   охотясь     и   занимаясь   рыбной   ловлей,   научился считать   различные   предметы,   с   которыми   он   встречался   в   повседневной жизни.   А   решение   многих   важных   жизненных   вопросов   привело   к необходимости производить и различные вычисления. Вначале человек научился выделять единичные предметы.   Научившись выделять один предмет из множества других, древние люди говорили: "один", а если их было больше ­ "много". Частые наблюдения множеств, состоящих из пары   предметов   (глаза,   уши,   крылья,   руки),   привели   человека   к представлению о числе два. Постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти и до десяти и т.д. Для счета люди использовали пальцы рук, ног.   Ведь   и   маленькие   дети   тоже   учатся   считать   по   пальцам.   Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счета. При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.  По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел  и   изображения   чисел   с  помощью   рисунков,   чертежей   или   символов. Древние торговцы для удобства счета начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком. Особенно   сложны   и   трудны   были   в   старину   действия   умножения   и деления ­ особенно последнее. «Умноженье ­ мое мученье, а с делением ­ беда», ­ говорили в старину. Известен старинный русский способ умножения на пальцах однозначных чисел от 6 до 9 издревле применялся купцами как вспомогательный   при  устном   счёте.   Первоначально   пальцы   обеих   рук сжимали в кулаки. Затем на одной руке разгибали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй руке делали то же самое для второго множителя. Суммарное число вытянутых пальцев умножалось на 10,   потом   перемножалось   число   загнутых   пальцев   одной   руки   на   число загнутых   пальцев   другой.   Два   полученных   результата   складывались. (Приложение 1). Также, используя пальцы рук, находили произведение чисел больше 2 на число 9. Повернув обе ладони к себе, загибали , считая слева, палец соответствующий множителю. Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа – единицам искомого произведения. (Приложение 2). В   книге   В.   Беллюстина   «Как   постепенно   дошли   люди   до   настоящей арифметики»   (1914)   изложено   27   способов   умножения,   причем   автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ,   разбросанные   в   многочисленных,   главным   образом, рукописных сборниках».  Подробно разработанная система резкого повышения быстроты устного счета создана была в годы второй мировой войны цюрихским профессором математики   Я.   Трахтенбергом.   Она   известна   под   названием   "Системы быстрого счета". История ее создания необычная. В 1941 году гитлеровцы бросили   Трахтенберга   в   концлагерь.   Чтобы   уцелеть   в   нечеловеческих условиях   и   сохранить   нормальной   свою   психику,   Трахтенберг   начал разрабатывать   принципы   ускоренного   счета.   За   четыре   страшных   года пребывания   в   концлагере   профессору   удалось   создать   стройную   систему ускоренного обучения детей и взрослых основам быстрого счета. После войны Трахтенберг   создал   и   возглавил   Цюрихский   математический   институт, получивший мировую известность. 2. Приемы устного счета 2.1 Приемы быстрого сложения   Представление двухзначного числа в виде суммы двух слагаемых.  Первое слагаемое – число десятков, второе – число единиц.  Пример: 18 = 10 + 8 ; 24 = 20 + 4; 38 = 30 + 8;  18 + 24 = (10 + 8) + (20 + 4) = (10 + 20) + (8 + 4) = 30 + 12 = 42  БЫСТРОЕ СЛОЖЕНИЕ 2. Округление  Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между  круглым числом и дополнением.  Пример: 3916+991+1998+2002=  = (4000+1000+2000+2000)­(84+9+2)+2=  =9000–95+2=8907  БЫСТРОЕ СЛОЖЕНИЕ 3.Сложение путем последовательного прибавления к  одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших  3745 + 637 = ?  К 3745 прибавим 600, к сумме 4345 прибавим 30, а к 4375 прибавим 7,получим 4382.  Как посчитать быстрее?  К 37 прибавим 6 сотен, получим 43 сотни, то есть 4300., затем сложим 45 и 37, получим 82  единицы. 4300 + 82 = 4382  БЫСТРОЕ СЛОЖЕНИЕ 4.Сложение с перестановкой слагаемых.  72 + 63 + 28 = ?  Заметим, что третье слагаемое является дополнением первого до 100. Мысленно  переставим слагаемые и сложим их.  72 + 28 + 63 = 163. I . БЫСТРОЕ ВЫЧИТАНИЕ  1. Поразрядное вычитание  Пример : 574­243=(500­200)+(70­40)+(4­3)=300+30+1=331 .  Если число единиц какого­либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же  разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем  заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого   Если число единиц какого­либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же  разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем  заимствования  одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого  I .БЫСТРОЕ ВЫЧИТАНИЕ 2.Вычитание путем округления уменьшаемого или  вычитаемого  713 – 65 = ?  Отбросим в уменьшаемом 13 единиц, из полученных 700 вычитаем 65; к полученной  разности 635 затем прибавляем отброшенные 13 единиц, получаем 648. Таким образом,     713 – 65 = (700 – 65) + 13 = 648.  I .БЫСТРОЕ ВЫЧИТАНИЕ 3.Вычитание путем уравнивания числа единиц  последних разрядов уменьшаемого.  67 – 48 = ?   Добавив к уменьшаемому 1, вычитаем 48 из 68, получаем 20. Отняв от этой  разности ранее добавленную единицу, окончательно получаем 19.   III. БЫСТРОЕ УМНОЖЕНИЕ   Умножение на 4, 8,16 и т.д.   Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают:    213*8=(213*2)*4=(426*2)*2=852*2=1704  III. БЫСТРОЕ УМНОЖЕНИЕ Умножение на 5, 50, 0,5   Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:   138*5=(138*10):2=1380:2=690.   Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное  произведение разделить на 2: 87*50=(87*100):2= 8700 :2=4350.   Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить на 2:   360*0,5=360:2=180.  III. БЫСТРОЕ УМНОЖЕНИЕ Умножение на 25, 2,5, 0,25   Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное  произведение разделить на 4:   348*25=348*100:4=8700.   Чтобы умножить число на 2,5, нужно умножить его на 10 и полученное  произведение разделить на 4:   96*2,5=96*10:4=240.   Чтобы умножить число на 0,25, нужно разделить его на 4:   196*0,25=196:4=49.   Чтобы умножить число на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить  половину полученного произведения:  129*15=129*10+1290:2=1290+645=1935  III. БЫСТРОЕ УМНОЖЕНИЕ Умножение на 125, 12,5, 1,25, 0,125     Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:   32*125=32:8*1000=4000.   Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:   24*12,5=24:8*100=300.   Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:   64*1,25=64:8*10=80.   Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.     16,8*0,125=16,8:8=2,1 III. БЫСТРОЕ УМНОЖЕНИЕ Умножение на 11   Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся  промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд:   34*11=374, т.к. 3+4=7 , семерку помещаем между тройкой и четверкой,        68*11=748, т.к. 6+8=14 , четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс  перенесенная единица) и восьмеркой  III. БЫСТРОЕ УМНОЖЕНИЕ Умножение чисел, близких к 100 и 1000  95х98=95х(100­2)=95х100­(100­5)х2=  (95­2)х100+2х5=9310  245х998=245х(1000­2)=245 000 – 490 =244 510  375х999=375х(1000­1)=375 000­375 = 374 625  III. БЫСТРОЕ УМНОЖЕНИЕ Умножение на 22,33,……99   Чтобы умножить двузначное число на 22,33……,99 надо этот множитель  представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, затем  произведение первых двух чисел      умножить на 11.  24х22 = 24х2х11=48х11=528  23х33=23х3х11=69х11=759  IV. БЫСТРОЕ ДЕЛЕНИЕ.   Последовательное деление   Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее  число множителей, а потом выполняем  последовательное деление:     720:45=(720:9):5=80:5=16,  9324:36=(9324:3):12=3108:12=259.  IV. БЫСТРОЕ ДЕЛЕНИЕ. Деление на 0,5, 5, 50 и 500   Чтобы число разделить на 0,5; 5; 50 или 500, надо это число разделить на 1; 10; 100  или 1000 соответственно, и затем результат умножить на 2:      21600:50=21600:100*2=432,  42400:5=42400:10*2=8480,  214000:500=214000:1000*2=428,  218:0,5=1218:1*2=436.    IV. БЫСТРОЕ ДЕЛЕНИЕ. Деление на 25, 2,5, 0,25    Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4:   12100:25=12100:100*4=484.   Чтобы число разделить на 0,25, надо это число умножить на 4:   31:0,25=31*4=124.   Чтобы число разделить на 2,5, надо это число разделить на 10 и умножить на 4:  240:2,5=240:10*4=24*4=96 .    Некоторые приёмы устного счёта Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34×9) устно, необходимо  выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты  (30×9=270, 4×9=36, 270+36=306)[36].  Однако, не зная таблицу умножения до 19×9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу:  147×8=(150−3)×8=150×8−3×8=1200−24=1176, причём 150×8=(150×2)×4=300×4=1200.  Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно  выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например,  225×6=225×2×3=450×3=1350[36]. Также, проще может оказаться  225×6=(200+25)×6=200×6+25×6=1200+150=1350.  Несколько способов устного счета:   Умножение на 10. Приписать справа нуль: 48×10 = 480.  Умножение на 9. Для того чтобы умножить число на 9 надо к множимому приписать 0 и от получаемого числа отнять множимое, например 45×9=450−45=405.  Умножать на 5 удобнее так: сначала умножить на 10, а потом разделить на 2  Умножение на 11 двузначного числа [N; A]. Раздвинуть цифры N и A, вписать  посередине сумму (N+A). например, 43×11 = [4; (4+3); 3] = [4; 7; 3] = 473.   При умножении на 1,5 умножаемое нужно разделить пополам и прибавить к  умножаемому, например 48×1,5= 48/2+48=72. Можно применить при умножении на  15 48×1,5×10 = 720.  Возведение числа вида [N;5] (оканчивающееся пятёркой) в квадрат производится по схеме: умножаем N на N+1, записываем в сотни, и приписываем 25 справа. Формула: [N; 5] × [N; 5] = [ (N×(N+1)) ; 2; 5 ]. Доказательство: Например, 65² = 6×7 и приписываем справа 25, получим 4225 или 95² = 9025 (сотни 9×10 и  приписать 25 справа).   Числа, близкие к удобным для умножения числам. можно возводить в квадрат с  помощью формулы (например, 42² = (42 + 2)(42 − 2) + 2² = 44 × 40 + 4 = 1760 + 4 =  1764). Так же можно перемножать числа, находящиеся на одинаковом небольшом  расстоянии от удобных, например: 23 × 17 = (20 + 3)(20 − 3) = 20² − 3² = 400 − 9 =  391.[37] Приложение 1 Способ  быстрого  умножения  чисел  в пределах   первого   десятка   чисел больших 5.  Например, умножим 7 на 8. В рассмотренном примере будет не загнуто 2 и   3   пальца.   Если   сложить   количества   не   загнутых   пальцев   (2+3=5),   затем умножить эту сумму на 10 и перемножить количества загнутых (2•3=6), то получатся соответственно числа десятков и единиц искомого произведения 56. Приложение 2 Способ   быстрого   умножения   чисел   в   пределах   первого   десятка   на   9. Например, умножим 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого   будет   равно   десяткам   ­   6,   а   справа   –   единицам   искомого произведения – 3. Литература  https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_ %D1%81%D1%87%D1%91%D1%82