Проект "Разные типы задач на проценты"

Различные типы задач на  проценты и методы их решения Подготовила учащаяся 9б класса МБОУ «СОШ  №18» Савинова Настя (учитель математики    Пастухова Н.А.)

Слово "процент" происходит от латинских слов  pro centum, что буквально означает "со ста".  Широко начали использовать проценты в  Древнем Риме, но идея процентов возникла  много раньше ­ вавилонские ростовщики уже  умели находить проценты (но они считали не  "со ста", а "с шестидесяти", так как в Вавилоне  пользовались шестидесятиричными дробями).  Знак % произошел, как предполагают,  благодаря опечатке. В рукописях pro centum  часто заменяли словом "cento" (сто) и писали  его сокращенно ­ cto. В 1685 в Париже была  напечатана книга ­ руководство по  коммерческой арифметике, где по ошибке  наборщик вместо cto набрал %. После этой  ошибки многие математики также стали  употреблять знак % для обозначения  процентов, и постепенно он получил всеобщее  признание.

Понятие процента • Процентом называется сотая часть числа,  величины. • 1% некоторых величин имеет название: • 1% рубля ­ 1 копейка; • 1% метра – 1 сантиметр; • 1% центнера – 1 килограмм;  • 1% см2 – 1 мм2. Чтобы перевести десятичную дробь в %, надо  дробь умножить на 100.  Например: 0,01 = 1%, 0,25 = 25%, 0,3 = 30%, 1 = 100%,          1,2 = 120%.

Три типа задач на проценты • Нахождение нескольких процентов числа • Нахождение числа по значению его процентов • Нахождение процентного отношения чисел

Задача1    В классе 20 учеников. За контрольную работу по  математике отметку «5» получили 20% всех учеников.  Сколько учеников в классе получили отметку «5»?  • 1 метод: по определению процента. • 2 метод: правило нахождения дроби от чи сла. • 3 метод: пропорциональность величин.

Нахождение нескольких процентов числа 1 метод: по определению процента Р% =Р% = Ð 100 à От А b А : в * а А : в * а р % от А р % от А А : 100 * р А : 100 * р Решение. 1) 20 : 100 = 0,2 (уч.) – 1% 2) 0,2 *  20 = 4 (уч.) – получили отметку «5». Ответ: 4 ученика.

2 метод: правило нахождения дроби от  числа • Чтобы найти дробь от числа, надо число  умножить на эту дробь. р % от А р % от А A * p 100 à От А b A* a b Р% =Р% = Ð 100 Решение. • • 20% = 0,2 20 * 0,2 = 4 (уч.) ­ имеют отметку «5».

3 метод: пропорциональность величин. • Две величины называют прямо  пропорциональными, если при  увеличении (уменьшении) одной из  них в несколько раз, другая  увеличивается (уменьшается) во  столько же раз. • Две величины называют обратно  пропорциональными, если при  увеличении (уменьшении) одной из  них в несколько раз, другая  уменьшается (увеличивается) во  столько же раз. Количество  учащихся % В классе       20уч. 100% Получили «5»         ?уч х 20% Решение.  100 20 20*20 100 20 õ  õ õ  4

Задача 2   За контрольную работу по математике отметку «5» получили  4 ученика, что составляет 20% всех учеников. Сколько  учеников в классе?  • 1 метод: по определению процента. • 2 метод: правило нахождения числа по  значению его дроби

Нахождение числа по значению его процентов 1 метод: по определению процента от ?от ? А составляет  А составляет  à      b       А : а * в А : а * в Р% =Р% = Ð 100 А составляет  р% от ? А : р * 100 А : р * 100 Решение. 1) 4 : 20 = 0,2 (уч.) – 1% 2) 0,2 * 100 = 20 (уч.) – в классе. Ответ: 20 учеников.

2 метод: правило нахождения числа по  значению его дроби  Чтобы найти число по значению его дроби, надо значение  дроби разделить на эту дробь. от ?от ? А составляет  А составляет  à      b       A : Р% =Р% = Ð 100 А составляет  р% от ? A : p 100 a b Решение. 1) 2) 20% = 0,2 4 : 0,2 = 20 (уч.) – в классе

Нахождение процентного отношения чисел. а : в *100% а : в *100% Сколько %%   Сколько  а составляет от в? а составляет от в? • Задача 3    Стоимость товара с 200 р. увеличилась в 2 раза. На  сколько процентов увеличилась стоимость  товара? На сколько процентов прежняя стоимость  была меньше по сравнению с настоящей? Решение.     1) 200 * 2 = 400(р.) – стала стоимость     2) 400 – 200 =200(р.) – изменилась стоимость,     3) 200: 200 = 1 = 100% ­ увеличилась стоимость,     4) 200 : 400 = 0,5 = 50% ­ прежняя стоимость  меньше настоящей.

Проценты в жизни • В химии при расчете концентраций вещ еств • В статистике при составлении диаграм м • При покупке и продаже товаров • В банковском деле

Задачи на смеси • алгебраический метод • арифметический метод

Задача1   В каких пропорциях нужно смешать раствор 50% и 70%  кислоты, чтобы получить раствор 65% кислоты?                Решение.     Предположим, что первого раствора нужно взять х г, а второго у г.  Считаем, что при смешении нет потерь массы, то есть масса смеси  равна сумме масс смешиваемых растворов ­ (х + у) г. Найдем  количество чистой кислоты в 1­ом растворе. Это 0,5х г, во втором  растворе 0,7у г, а в смеси будет 0,65(х + у) г кислоты.      По условию задачи составим и решим уравнение.      0,65 (х + у) = 0,5 х + 0,7 у,     65 х – 50 х = 70 у – 65 у,    15 х = 5 у,    3 х = 1 у,    х : у = 1 : 3.  Нужно взять: 1 часть раствора 50% кислоты и 3 части  раствора 70% кислоты

Задача1 50 5 15 70 65 Запишем концентрацию каждого раствора кислоты и концентрацию смеси.  Вычислим, на сколько концентрация первого раствора кислоты меньше, чем  концентрация смеси и на сколько концентрация второго раствора кислоты  больше, чем концентрация смеси и запишем результат по линиям.  Таким образом, 5 частей нужно взять 50% раствора кислоты и 15 частей 70%  раствора кислоты, то есть отношение взятых частей                Окончательно получаем: 50% раствора кислоты­1 часть, 70% раствора кислоты­ 5  15 1 3 3 части.

Круговые диаграммы • Достаточно  распространённым  способом графического  изображения структуры  статистических  совокупностей является  секторная диаграмма,  так как идея целого  очень наглядно  выражается кругом,  который представляет  всю совокупность.

При покупке и продаже товара Задача1 • Цена товара увеличилась на 30%, а  затем снизилась на 30%. Как  изменилась цена товара?

При покупке и продаже товара Задача2       В автосалон “SECOND LIFE AUTO”, вы можете приобрести подержанную  автотехнику в отличном состоянии и по доступной цене 1. Задача о кредите. •       Договор о кредитовании на 3 месяца: в декабре­60% всей стоимости, в  январе – 75% остатка, в феврале – всю оставшуюся сумму.       Определите, пожалуйста, сколько рублей в каждом месяце вы заплатите и  заполните “Договор о кредитовании”. 2. Задача о квитанции. •       За оформление права собственности нотариус возьмет с вас 1,5% от  стоимости автомобиля в виде нотариальной пошлины. Во сколько рублей  вам обойдется ваша покупка вместе с нотариальной пошлиной?  3. Задача о страховке. •       Автосалон предлагает заключить договор о страховании автомобиля от  угона на 100000 рублей. Определите, какой процент от стоимости вашего  автомобиля будет вам выплачен в случае угона. Заполните страховой  полис. Страховой взнос­10 % от стоимости покупки.

В банковском деле         Задача        Банк начисляет по вкладам ежегодно 4% вклада.  15000*0,04 = 600(р.)­ увеличение за первый год,  15000 + 600 = 15600(р) – станет к концу первого года, 15600*0,04 = 624 (р.) – увеличение за второй год, 15600 + 624 = 16224(р.) – снимет со счета через 2 года. Вкладчик внес в этот банк 15000 р. Сколько  денег он может снять со своего счета через два  года?        Решение 1) 2) 3) 4)         Применение формулы сложных процентов: N = a(1 + 0,01p)n, где а – первоначальный  вклад, n – срок вклада,N – величина вклада  через указанный срок вклада, р – число %.         Решение N = 15000*(1 + 0,01*4)2 = 16224(р.)

Литература • «Математика,5, 6». Н.Я.Виленкин.  • «Арифметический способ решения задач на смеси  и сплавы». Т.В.Каюкова.  • «Справочное пособие по методам решения задач  по математике». А.Г. Цыпкин. • Элективный курс «Решение задач с  экономическим содержанием» Т.А. Цаплина. • Проценты в математике. Задачи на проценты.   http://www.egesdam.ru/page230.html • Википедия – процент http://ru.wikipedia.org/wiki/ %CF%F0%EE%F6%E5%ED%F2