Проект "Решение задач на смешение различными способами"

      «Решение задач на смешение веществ различными способами».

Автор: Пыхтина Анна, Морозкина Александра,
Леньшина Александра , 8 класс
МБОУ «СОШ № 22»

 

Цель работы – найти новые способы решения задач на смешение.

Задачи:
поиск различных способов решения задач на смешение;
знакомство с «Арифметикой» Магницкого.
Показать использование методов решения при подготовке к ОГЭ

ЗАДАЧА.
У некоторого человека были продажные масла. Одно - ценою десять гривен за ведро, а другое - шесть гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою семь гривен за ведро.
Вопрос: в каких пропорциях нужно смешать эти два масла?

Современный способ решения задачи.
Возьмем одну часть дешевого масла за «X». А часть дорогого масла - за «Y» и получим вот такое уравнение:
• 7( x+y) = 6x+10y
• 7x+7y=6x+10y
• 7x-6x=10y-7y
• x=3y
• 1/3=x/y
Мы получили, что масла нужно смешать в пропорции 1 к 3

Старинный способ решения задачи.

Привожу способ решения этой задачи Магницким Л. Ф.
В центре пишем цену первого масла – 6. Под ним, отступя вниз, пишем цену второго масла. Слева, примерно посередине между верхней и нижней цифрами пишем стоимость желаемого масла. Соединяем три цифры отрезками прямых. Получаем такую картинку .

Первую цену, поскольку она меньше цены желаемого масла, вычтем из цены смешанного масла, и результат поставим справа от второй цены по диагонали относительно первой цены. Затем из второй цены, которая больше цены желаемого масла, вычтем цену смешанного масла, а то, что останется, напишем справа от первой цены по диагонали ко второй цене. Соединим точки отрезками, и получим вот такую картину

Затем определяем соотношение полученных справа величин между собой. Мы видим, что рядом с ценой дешевого масла стоит цифра 3, а рядом с ценой дорогого масла – цифра 1. Это означает, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т. е. для получения масла ценою 7 гривен, нужно взять масла в пропорции 1 к 3, т.е. дешевого масла должно быть втрое больше, чем дорогого масла.

Сравнивая оба способа – современный и старинный (Магницкого), мы видим, что ответы, полученные двумя способами, идентичны, значит такой способ вполне применим к решению данной задачи на смешение веществ.

Правило креста или квадрат Пирсона.

m1 k1 + m2 k2 = k3 (m1 + m2 ) Откуда =

При решении задач на растворы с разными концентрациями применяют диагональную схему.
k1 k3 - k2
k3
k2 k1- k3

Всем нам предстоит рано или поздно сдавать экзамены ЕГЭ или ОГЭ. Вот как раз в ОГЭ и есть задача на смешение веществ во второй части.
 
Вот и сама задача.
 
Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве – 35% золота, а во втором 60% , в каком отношении надо взять первый и второй сплав, чтобы получить из них новый, содержащий 40% золота.
 

1 способ решения
Пусть часть первого сплава – х, а второго – у
Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0,35х, а во втором 0,6у. Масса нового сплава равна х+у, а кол-во золота составляет 0,4( х+у).
Составим уравнение:
0, 35х+0,6у=0,4(х+у)
35х+60у=40х+40у
20у=5х
х/у=4/1
Ответ: для получения сплава, содержащего 40% золота из двух сплавов с содержанием 35% и 60%, нужно взять в 4 раза больше 35%-го сплава.

2 способ решения
Аналогично методу рыбки, описанному выше, формируем изображение, показанное на рисунке 4
 







Результат: соотношение полученных величин составляет 1 к 4, значит 35%-го сплава надо взять в 4 раза больше, чем 60%-го.

На представленных примерах видно, что изящный графический метод решения задач на смешение веществ Магницкого Л. Ф. и правило креста не потеряли своей актуальности и привлекательности на сегодняшний день.
Данное математическое исследование поможет нашим сверстникам при подготовке к экзаменам, а также разнообразить способы решения таких задач на уроке.

Литература:
С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потапов. Старинные занимательные задачи. Москва, «Наука», главная редакция Физико-математической литературы, 1985.
Магницкий Леонтий Филиппович // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб.: 1890—1907.
Шикман А. П. Деятели отечественной истории. Биографический справочник. Москва, 1997 г.
http://www.etudes.ru/ru/mov/magn/index.php