Проектная работа Признаки делимости

МБОУ «Сельцовская СОШ» Тосненский район, Ленинградская область

Проектная работа

«Признаки делимости»

 «Мощь и сила науки – во множестве фактов,

цель – в обобщении этого множества»         
                                       Дмитрий Иванович Менделеев.

Тема проекта:

– «Признаки делимости»

Поставленная проблема:

 – недостаток информации в учебнике для решения задач на деление.

Научная значимость проекта:

– математическое исследование делимости чисел,

– применение полученных данных на уроках математики.

Социальная значимость проекта:

–ухудшение вычислительных навыков  во многом  связано с недостаточностью знаний о делимости чисел.

Личностная значимость проекта :

– привитие интереса к урокам математики;

Практическая значимость проекта:

В результате привлечения внимания одноклассников к математике должна возрасти их заинтересованность в данном предмете, что несомненно должно повысить успеваемость.

Цели проекта:

–исследовать основные признаки делимости чисел и проиллюстрировать их на конкретных примерах

– проанализировать возможное применение этих признаков.

Поставленные задачи:

– изучить теоретический материал по данной проблеме,

–отработать при решении задач полученные теоретические знания,

–выполнить презентацию для использования на уроках математики.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: применение признаков делимости при решении примеров и задач.

Гипотеза исследования:

Если изучить признаки делимости натуральных чисел и показать их применение в решении математических задач, то это повлияет на вычислительные навыки и поможет привлечь внимание к изучению математики.

Методы исследования:

–работа с литературой и интернет ресурсами, сбор материала;

–анализ и синтез полученной информации;

–выполнение заданий.

ВВЕДЕНИЕ

На уроках математики в 6-м классе мы изучали делимость чисел и рассмотрели таблицу простых чисел, совершенные числа, числа – близнецы, признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9 и на 10. Можно быстро определить будет ли многозначное число нацело делиться на эти числа. Но вскоре я поняла, что этих признаков не хватает. Когда мы делили столбиком,  и в результате получалась бесконечная десятичная дробь, а надо было записывать в виде  смешанного числа. Учительница посоветовала мне самой поискать  другие признаки делимости. Так я сделала проектную работу.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

 I) Признаки делимости

Признак делимости — это правило, позволяющее быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу, без необходимости выполнять деление.

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3(73287; 7+3+2+8+7= 27, 27делится на 3)

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4(1324, 27300)

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3 (например, 654522).

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8 (например, 654560, 3542000)

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 (374526,  3+7+4+5+2+6=27)

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на нуль.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр на нечётных местах и суммы цифр на чётных местах  делится на 11 (то есть 819291 делится на 11, так как (8+9+9) –( 1 + 2 + 1) = 22 делится на 11)

Признак делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4(например, 304716).

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 (3038.Чётное, делится на 2. 303-2*8 =187, делится на 7).

Признак делимости на 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5 ( 385920).

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23

Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 99

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Если  сумма делится на 99 тогда и само число делится на 99 (2334816, 2+33+48+16=9, 99:99 ).

Признак делимости на 101

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590537 делится на 101, так как 59+05+37=101 делится на 101).

         II) Применение признаков делимости.

Признаки делимости необходимы учащимся:

1) При выполнении примеров на деление – 205: 5 = 41 (признак делимости на 5);

2) При разложении числа на простые множители: Разложим на простые множители число 5106

Сначала всё просто: число делится на 2, так как чётное, делится на 3, так как сумма цифр делится на 3. Дойдя до частного 851, трудно сразу определить его наименьший делитель. Посмотрим в таблицу простых чисел. Числа 851 там нет, значит, оно является составным. Методом последовательного перебора делить его на простые числа: 3, 7, 11, 13, ..., и так до тех пор, пока не найдём подходящего простого делителя долго. Быстрее поверить по признакам (8+ 51*3=161, 161:23). Значит,  число 851 делится на 23.

3 ) Когда необходимо выполнить сокращение дробей. Сначала надо решить на сколько сокращать. Например:    (7+5-1=11, 11делится на 11. 1+0 – 1 + 0)=0, 0 делится на 11. Сокращаем на 11 и получаем (6+4*5=26, 26 делится на 13. 9+4*1=13, 13 делится на 13). Сокращаем на 13 и получаем

4 ) При вынесении общего множителя за скобки: а ) 2 320а + 56в = 8 · (265а + 7в) – признак делимости на 8;  б ) 1896в – 102с = 6 · (316в – 17с) – признак делимости на 6.  При делении чисел,  я не буду гадать, а сразу смогу определить, на сколько делится число.

.  (759 = 3*11*23 ; 805= 5*23*7, значит НОЗ= 35 *759)

6). Для подготовка к ВПР. Задача:    Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них 97? Решение : запись числа должна  оканчиваться на 0 или 5 и сумма цифр делиться на 9, тогда  получится всего 2 числа 2970, 6975

7) Решение заданий ЕГЭ 11 класс базовый уровень.  Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12.(Число должно делиться на 3, сумма цифр делиться на 3; на 4, две последние цифры образуют число, делящееся на 4; вычёркиваю две единицы , нахожу сумму оставшихся цифр , получается 21, число делится на 3, но надо вычеркнуть 3 цифры, вычёркиваю тройку. Остаётся 24624).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате выполнения данной работы у меня расширились знания по математики. Я узнала из дополнительной литературы, что существуют еще  признаки делимости на 4,6,7,8,10,11,12, 13 и 25.  И поняла, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись. Знание и использование этого материала значительно упрощает многие вычисления, тем самым экономя время и исключая возможные ошибки, ускоряет решение многих заданий. Но формулировки некоторых признаков сложные, может быть поэтому и не изучаются в школе. Собранным материал можно использовать на занятиях внеурочной деятельности по математике, при подготовке к ВПР и сдаче ОГЭ и ЕГЭ.

Я буду и дальше изучать эту тему и рассмотрю применение признаков делимости при решении занимательных задач , фокусов, для подготовки к экзаменам.

Использованная литература

Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.:Педагогика, 1989. – С. 352.

Лепёхин Ю. В. Олимпиадные задания по математике. 5 – 6 классы – Волгоград: Учитель, 2011. – 236 с.

Смыкалова Е.В. Математика. Сборник задач для учащихся 6 класов Санкт-Петербург « СМИО Пресс», 2003г.-112с.

Виленкин Н.Я Учебник Мтематика 6 класс Москва Мнемозина 2013г.-288с.

Интернет ресурсы:

http://worksbase.ru/matematika/teoriya/5-priznaki-delimosti-chisel.html

http://ww009.ru/math/math_priznaki_delimosti.php

http://ru.onlinemschool.com/math/library/divisibility_rule/

https://umath.ru/theory/priznaki-delimosti-chisel/

http://ychitelll.ucoz.ru/index/priznaki_delimosti/0-73

Скачано с www.znanio.ru