Программа "Математические способы решение физических задач на движение"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждения  Русская средняя общеобразовательная школа  имени Героя Советского Союза М.Н. Алексеева Математические способы  решение физических задач на движение Работу подготовила Бойко Л.А. учитель физики и информатики   с. Русское Пояснительная записка Предмет – физика. Цели курса: ­ научить применять математические методы при решении задач; ­ установить связи физических величин с производной, первообразной; ­ находить в условии математической задачи физический смысл; ­ развивать навыки совместной работы в группах;  ­  создание условий для развития творческих способностей учащихся путём решения задач.  Достижение этих целей осуществляется в ходе решения следующих  задач:  - углубление знаний по физике;  - формирование   представлений   о   приемах   и   методах   решений физических задач;  - развитие логического мышления учащихся;  - развитие интереса к физике, к решению и составлению задач по физике. Сфера использования:   данная   программа   может   быть   использована для   изучения   физики   на  профильном   уровне    ступени   среднего  (полного) общего образования или при организации факультативных занятий по физике. Рассчитана на  18 часов. Круг пользователей: учащиеся 10­11 классов. Программа   опирается   на   содержание   раздела   курса   физики «Механика» кинематика, использует межпредметные связи с математикой. Данный   элективный   курс   направлен   на   расширение   представления   об изучаемом в основном курсе материале, на знакомство с новыми идеями и методами   решения   задач,   умение   применять   математические   знания дифференциального   и   интегрального   исчисления   для   расчетов  физических процессов на практике.  Предполагает повышение уровня образования за счет углубленного изучения материала по физике. 2 Программа   направлена   на   формирование   следующих  ключевых компетенций: ­ Ценностно­смысловых:      формулировать   свои  собственные  ценностные   ориентиры   по • отношению к предмету и сферам деятельности;  • уметь   принимать   решения,   брать   на   себя   ответственность   за   их последствия,   осуществлять   действия   на   основе   выбранных   целевых   и смысловых установок.        владеть   измерительными   навыками, ­ Учебно­познавательных:     ставить цель и организовывать ее достижение, уметь пояснить свою    организовывать планирование, анализ, рефлексию, самооценку своей • цель;  • учебно­познавательной деятельности;  •   задавать   вопросы   к   наблюдаемым   фактам,   отыскивать   причины явлений,   обозначать   свое   понимание   или   непонимание   по   отношению   к изучаемой проблеме;  •   ставить   познавательные   задачи   и   выдвигать   гипотезы;   выбирать условия проведения наблюдения или опыта; выбирать необходимые приборы и   оборудование,   работать   с инструкциями;   использовать   элементы   вероятностных   и   статистических методов познания; описывать результаты, формулировать выводы;  • использованием компьютерных средств и технологий;  •   иметь опыт освоения научной картины мира.  ­ Социокультурных:  •      определять свое место и роль в окружающем мире,  в  коллективе, владеет   культурными   нормами   и   традициями,   прожитыми   в   собственной деятельности;   владеть   эффектными   способами   организации   свободного времени;     выступать устно и письменно о результатах своего исследования с ­ Коммуникативных:     владеть   способами   взаимодействия   с   окружающими   и   удаленными • людьми и событиями; выступать с устным сообщением, уметь задать вопрос, корректно вести учебный диалог;  • действий в ситуациях общения; умениями искать и находить компромиссы.    владеть   способами   совместной   деятельности   в   группе,   приемами   ­ Информационных:  •     владеть   навыками   работы   с   различными   источникам   информации: книгами,   учебниками,   справочниками,   определителями,   энциклопедиями, словарями, CD ­ ROM , Интернетом;  •   самостоятельно искать, извлекать, систематизировать, анализировать и отбирать   необходимую   для   решения   учебных   задач   информацию, организовывать, преобразовывать, сохранять и передавать ее;  3 ориентироваться в информационных потоках, уметь выделять в них   владеет   навыками   использования   информационных   устройств: • главное, необходимое;  • компьютера.    ­ Здоровьесберегающих и природоведческих:     иметь   опыт   ориентации   и   природосообразной   экологической • деятельности в природной среде (лесу, поле, на водоеме и др.);  •   знать и применять правила поведения в экстремальных ситуациях: под дождем, градом, при сильном ветре, во время грозы, наводнения, пожара, при встрече с опасными животными, насекомыми;  •   знать   и   применять   правила   личной   гигиены,   уметь   заботиться   о собственном   здоровье,   личной   безопасности;   владеть   способами   первой медицинской помощи.    Актуальность данной программы Физика   как   наука   о   наиболее   общих   законах   природы,   выступая   в качестве учебного предмета в школе, вносит существенный вклад в систему знаний об окружающем мире. Она раскрывает роль науки в экономическом и культурном   развитии   общества,   способствует   формированию   современного научного мировоззрения. Современный   человек   должен   уметь   адаптироваться   в   окружающем его  мире,   заниматься   самообразованием,   быть   творческой   личностью. Основные понятия и законы физики не могут быть усвоены на достаточно высоком   уровне,   если   их   изучение   не   будет   сопровождаться   решением различного типа задач: качественных, расчетных, графических и др.  Задачи по физике привлекают внимание, как своим содержанием, так и оригинальными   методами   решения,   которые   позволяют   предвидеть   или открывать   явления   природы,   свойства   тел.  Именно   умение   решать   задачи различными способом является лучшим критерием глубины знаний учащихся по   физике.  Каждая   задача   представляет   собой   небольшую   проблему,   в которой   физическая   сущность   выступает   на   первый   план,  поэтому   многие задачи   требуют     хорошего  логического   мышления,   умений   выполнять основные мыслительные операции. Использование   математических   методов   дифференциального   и интегрального исчисления для расчетов физических процессов, связанных с непрерывным изменением их характеристик, расширяет кругозор учащихся об окружающем   мире.   Применение   этого   метода   способствует   реализации межпредметных   связей,   допускает   создание   математической   модели процесса, позволяет  решать задачи в  рамках школьной физики. Именно с помощью решения задач обобщаются знания о конкретных объектах   и   явлениях,   создаются   и   решаются   проблемные   ситуации, 4 формируют практические и интеллектуальные умения, сообщаются знания из истории,   науки   и   техники,   формируются   такие   качества   личности,   как целеустремленность,   внимательность, дисциплинированность,   развиваются   эстетические   чувства,   формируются творческие способности.    настойчивость,   аккуратность, Данная   программа    ориентирована,   на   учеников   интересующихся физикой   и   имеющих   математическую   подготовку,   а   так   же   поможет подготовится   к   итоговой  аттестации,   особенно   в   форме  единого государственного  экзамена,   где  умение   решать   задачи   является   одним   из главным условием успешного результата.           Содержание программы 1. Механика (кинематика материальной точки) (1 час). Механическое   движение   и   его   виды.   Перемещение,   скорость, ускорение.   Уравнения   прямолинейного   равномерного   и   равноускоренного движения. 2. Дифференциальные методы решения задач (11 часов). Определение   производной.     Геометрический   смысл   производной. Механический   смысл   производной.   Производная   как   мгновенная   скорость. Правила дифференцирования. Скорость при равномерном и равноускоренном движении. Ускорение как производная от времени. 3. Интегральные методы решения задач (6 часов). Понятие   определенного   интеграла.   Геометрический   смысл определенного   интеграла.   Вычисление   пути   и   перемещения   с   помощью определенного интеграла.  Основные  методы   обучения: и исследовательский.  Основной   тип   занятий   —   комбинированный.   Основная цель занятий — совершенствование полученных знаний в курсе математики и физики.   При   организации   занятий   создается   ситуация,   в   которой   каждый ученик     выполняет  индивидуальную   работу  и   принимает  участие   в  работе группы.    частично  ­  поисковый  5 Ожидаемый результат Изучив курс «Математические способы  решение физических задач на  движение»  учащиеся должны: математические способы решения физических задач; физический смысл производной; связь физических величин с производной, первообразной; знать    уметь    решать физические задачи различными способами;  выбирать рациональный способ решения задачи;  составлять   задачи;     владеть   методами   самоконтроля   и самооценки. Курс завершается выполнением творческих проектов текстовых задач и их  решением    средствами  математики  и  физики.  В проекте   необходимо показать решение   задач на нахождение скорости, ускорения, перемещения, которые решены двумя способами: физическим и математическим. Критерии оценки творческих проектов по курсу Критерии Содержание Параметры критериев 1. 1. Демонстрирует: ­ понимание физических законов; ­ знание методов научного познания природы; ­ применения математических знаний; ­ оригинальные задачи; решение задач различными способами. 2. Точная научная информация. Стиль 1. Понятное решение задач. 2. Детали. Графика 1. Улучшает и обогащает содержание. 2. Рисунки качественные, не перегружают внешний вид. 6 Грамматика 1. Грамматика. Орфография, пунктуация верны. 2. Словарный запас соответствует заданию и аудитории. № урока 1. 2. 3. 4­5.  6­7. 8­10. 11. 12­13. 14. 15. 16­17. Календарно – тематическое планирование курса Тема Количество Сроки  часов Основные законы и понятия  кинематики. Определение производной. Правила дифференцирования. Геометрический смысл  производной. Физический и  математический смысл в задачах на движение.  Производная как мгновенная  скорость. Решение задач на нахождение  средней скорости при равномерном  движении математическими и  физическими способами. Решение задач на нахождение  скорости при равноускоренном  движении математическими и  физическими способами.   Ускорение как производная от  скорости. Решение задач на нахождение  ускорения математическими и  физическими способами. Интеграл. Восстановление пути по  скорости. Геометрический смысл  определенного интеграла. Вычисление пути и перемещения с  помощью определенного интеграла.  7 1 1 1 2 2 3 1 2 2 1 2 18. Защита творческих проектов.  1 Список литературы 1. М.А. Шубин. Математический анализ для решения физических задач.­ М.,  Издательство Московского центра непрерывного математического  образования, 2003. 2. В.Г. Болтянский. Математика: Лекции. Задачи. Решения.­ Минск. Попури,  2000. 3. Т.И. Трофимова. Курс физики. – М.,Высшая школа, 1989. 4. В.А.Касьянов. Физика 10 класс. – М., Дрофа, 2001. 5. А.П.Рымкевич. Сборник задач по физике. – М., Просвещение, 1992.  6. Г.Н. Степанова. Сборник задач по физике.­ М., Просвещение, 1996. Ссылки ресурсов сети Интернет   http  http  http  http  http  http  http   ­  cjlltction  ://   school    .  ru  ://   www   .  physics    03.  ://   physics    narod    .  ru  ://   www   .  fizika    ://   fizzzika  .  narod    .  pedsovet  ://   www     .  ru  .  alleng  ://   www         .  edu  .  ru  .  ru  .  ru 8 Приложение 1 Урок №1. Тема: «Основные законы и понятия кинематики». 1. Организационный момент. 2.Повторение. Ход урока. Механика – наука об общих законах движения и взаимодействия тел. Механическим   движением   называется   изменение   положения   тела   в пространстве относительно других тел с течением времени. Пример:   ученик   идет   в   школу.   Положение   ученика   изменяется относительно нго дома (школы, деревьев и т.п.) с течением времени. Основная задача механики – определить положение тел в пространстве в любой момент времени. Материальная точка – физическая модель тела, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь. Пример: можно пренебречь размерами автомобиля при изучении его движения по сравнению с расстоянием от Таганрога до Ростова. Размерами этого   автомобиля   нельзя   пренебречь,   если   мы   изучаем   движение   жука   по поверхности автомобиля. Поступательное   движение   –   движение,   при   котором   прямая, соединяющая произвольные точки данного тела, перемещается параллельно самой себе. Пример: санки скатываются с горы. Траектория – воображаемая линия, вдоль которой движется тело. Путь – длина траектории. Перемещение   –   направленный   отрезок   прямой,   соединяющий начальное   положение   тела   с  его   последующим   положением.  Обозначается: ⃗s траектория 9 Прямолинейным   равномерным   движением   называется   механическое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. ×=×0+υх  ­ закон прямолинейного равномерного движения.   то то υ υх 0 х 0  График зависимости проекции скорости от времени.  υх = const Если движение сонаправлено с осью координат, υх >0.  Если движение против оси координат, υх <0.  1 t График   зависимости   координаты   от времени. 1 движение сонаправлено с осью, 2 – движение против оси. t 2 Движение, при котором скорость тела изменяется одинаково за любые равные промежутки времени, называется равнопеременным движением. Виды   равнопеременного   движения:   равноускоренное, равнозамедленное. x=x0+v0t+at2 2 x=x0+v0t−at2  ­ закон равноускоренного движения. 2  ­ закон равнозамедленного движения. ax= υx−υ0x t  ­  ускорение. 10 Ускорение   –   физическая   величина,   характеризующая   быстроту изменения скорости, в течение которого это изменение произошло. Условие равноускоренного движения –     ⃗υ0⇈⃗a . Условие равнозамедленного движения ­  ⃗υ0⇅⃗a . 1 – график равноускоренного движения с начальной скоростью. 2   –   график   равнозамедленного   движения   с начальной скоростью. υ υ0 0 1 2 t s=v0t+at2 2  – перемещение при равноускоренном движении. 3. Домашнее задание.             Выучить конспект. 4. Итог урока. Урок №2. Тема: «Определение производной. Правила дифференцирования». 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. Ход урока. ­ Основные понятия механического движения? ­ Какое движение называется прямолинейным равномерным?   Охарактеризовать его. ­ Какое движение называется прямолинейным равноускоренным?  Охарактеризовать его. ­ Какое движение называется прямолинейным равнозамедленным?  Охарактеризовать его.       3. Изучение нового материала. Рассмотрим плоскую кривую Г. В точке М0  проведем секущую M0N. Будем поворачивать секущую таким образом вокруг точки М0, чтобы секущая стремилась к некоторому предельному положению М0Т. Тогда  М0Т называют касательной к кривой Г в точке М0.Приэтом предельное положение 11 не   зависит   от   того,   с   какой   стороны   точка  N приближается к точке М0. Найдем угловой коэффициент касательной для случая, когда   кривая   Г   является   графиком   некоторой функции y=f(x). Пусть М0­ точка графика с абсциссой x0 и ординатой y0=f(x0). Предположим, что касательная к кривой Г в точке М0  существует. Возьмем на этой кривой еще  одну точку  N  (х0+∆х; у0+∆у)  и  проведем  через точку  M0  и  N прямую;   пусть     –   угол   наклона   этой   секущей   к   положительному направлению оси Ох. Тогда BN=∆у, М0В = ∆х и  φ tgφ=BN NM0 =Δ y Δ x , kкас= lim Ν⟶ Μ0 tgφ= lim Δχ⟶0 tg φ= lim Δχ⟶0 Δ y Δx .              Таким образом, для того чтобы можно было провести невертикальную касательную к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовал предел lim Δχ⟶0 Δy Δx , причем этот предел равен угловому коэффициенту касательной. Если   существует   lim Δχ⟶ 0 Δ y Δx ,   то   функция  y=f(x)   называется дифференцируемой в точке х0. Эту новую функцию называют производной от функции  f(x)   и   обозначают  f΄  или   у .   Значение   производной   в   точке   х 0 обозначают   Операция   отыскания   производной   называется дифференцированием.   f΄(х0). ΄ При   вычислении   производных   необходимо   пользоваться   правилами дифференцирования.  1. Производная суммы равна сумме производных. (f(х)+g(x))΄=f΄(x)+g΄(x). 2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной. (Сf(х))΄=Сf΄(x). 3. Производная произведения. (f (х) * g( x))΄ =f ΄(x )g (x)+ f (х)g΄(x ). 4. Производная частного. 12 ( f(х) g(х))΄f΄(x)g(x)−f(х)g΄(x) g2(x) . 4. Домашнее задание. Выучить конспект.  5. Итог урока. Урок №3. Тема «Геометрический смысл производной. Физический и математический смысл в задачах на движение». Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. ­ Определение производной.  ­ Правила дифференцирования. 3. Изучение нового материала. Если   к   графику   функции  y=f(x)   в   точке М0(х0;f(х0))   можно   провести   касательную,   то   угловой коэффициент касательной равен  lim Δχ⟶ 0 Δ y Δx а  этот  предел   есть  значение  производной   функции  y=f(x)  в точке   х0.   Таким   образом,   угловой   коэффициент   касательной   к   графику функции y=f(x) равен значению производной в точке касания:  кас=¿f΄(х0) k¿ . В этом и состоит геометрический смысл производной. Физический   смысл   производной:   при   прямолинейном   движении численное значение скорости в момент времени t равно значению производной от закона движения:  υ=s΄(t). 4. Домашнее задание. Выучить конспект.  5. Итог урока. 13 Урок №4­5. Тема «Производная как мгновенная скорость». Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. 3. Изучение нового материала. Пусть   какое­то   тело   (материальная   точка)   движется   вдоль   прямой (например, вертикальной). Обозначим через х(t) координату этого тела вдоль данной   прямой   в   момент   времени   t.   Начало   координат   на   прямой   можно выбрать произвольно. Средняя   скорость движения на   отрезке времени [t, t+∆t] равна  υср(t,t+∆t)=х(t+∆t)−х(t) ∆t =Δх . Δt Здесь ∆t  —  любое  ненулевое  действительное  число.  Устремляя  ∆t к 0  при  фиксированном  t,  получим  мгновенную скорость в  момент времени t, которая и называется  производной  функции  х  по  t  и  обозначается х  (t)΄ или  просто х , если момент t  произволен  или  ясно,  о  каком  t  идёт  речь. Таким  образом,  производная  ¿ Δх Δt ¿ х΄=х΄ (t) = dx х(t+∆t)−х(t) =lim ∆t→0 ∆t ΄ dt=lim ∆t→0 представляет  собой  мгновенную  скорость движения  в  момент  времени t (отношение пути, пройденного за бесконечно малый промежуток времени, к величине этого промежутка  с  учётом  знаков).  Если   х΄ (t)<0, то   в   момент времени t тело двигалось в сторону уменьшения  координаты  x.  В дальнейшем при употреблении   производной   какой­либо функции x(t)     подразумевается,   что   эта   производная   существует   (для   функций, встречающихся   в   физике,   это   выполняется,   как   правило,   всюду,   за исключением, быть может, отдельных значений t).  Для   конкретных функций существование производных обычно легко устанавливается из правил дифференцирования, которые мы рассмотрели  Пример 1.  Равномерное  движение:  x(t)=x0+vt. 14 Тогда   х΄ (t)=υ−¿  постоянная  величина.  Пример 2.  Равноускоренное  движение:  x(t)=x0+v0t+at2 2 здесь    v0   — начальная скорость, a   —   ускорение. В этом случае . х΄ (t)=υ0+at   по известным правилам дифференцирования.  4. Домашнее задание. Выучить конспект.  5. Итог урока. Урок №6­7. Тема «Решение задач на нахождение средней скорости при равномерном движении математическими и физическими способами». Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. 3. Решение задач. 1. Тела двух велосипедистов заданы уравнениями: х1=5t, х2=150­10t (х выражается в мерах, t – в секундах). Найти скорость каждого велосипедиста при  t=2  с,  также  время  и  место  их  встречи. (υ1=5  м/с;  υ2=­10м/с;  t=10 с; х=50м). 2.   Материальная   точка   переместилась   с   постоянной   скоростью   по прямой из точки 1 с координатами х1=6 см, у1=5 см в точку 2 с координатами х2=2см, у2=9 см за 2с. Какой угол образует скорость точки с осью ОХ? Чему равен модуль скорости? (1350; 2,84*10­2 м/с). 3.   Движение   грузового   автомобиля   описывается   уравнением   х1=­ 270+12t, а движение пешехода по обочине того же шоссе – уравнением х2=­ 1,5t. С какими скоростями и в каком направлении они двигались? Когда и где они встретились? (12м/с, вправо; ­1,5 м/с, влево; 20с, ­30м) 4. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: х1=  6t+1  и х2 = 2t­3. В какой момент времени t0 скорости их равны, т.е. υ1(t)= υ2(t). 4. Домашнее задание. 15 Решить подобные задачи.  5. Итог урока. Урок №8­10. Тема «Решение задач на нахождение скорости при равноускоренном движении математическими и физическими способами». Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. 3. Решение задач. 1. Тело движется прямолинейно по закону  x(t) = 2t3 – 2,5t2 + 3t + 1  (х выражена в метрах, t – в секундах). Найти скорость тела при t = 1 с. 2. Тело движется прямолинейно по закону  x(t) = 2t3 + 2,5t2 ­ 6t + 3   (х выражена в метрах, t – в секундах). Найти скорость при t = 1 с. 3.   Движение   четырех   материальных   точек   заданы   уравнениями: х1=10t+0,4t2;  х2=2t­t2;  х3=­4t+2t2;  х4=­t­6t2. Написать уравнения υх= υх(t) для каждой точки. 4.   Движение   четырех   материальных   точек   заданы   уравнениями: х1=10t+0,4t2;  х2=2t­t2;  х3=­4t+2t2;  х4=­t­6t2. Найти начальную скорость каждой точки. 5. Две материальные точки движутся прямолинейно по законам: х1=  2,5 t2­6t+1  и х2 = 0,5t+2t­3. В какой момент времени t0 скорости их равны, т.е.  υ1(t)= υ2(t).   4. Домашнее задание. Решить подобные задачи.  5. Итог урока. Урок №11. 16 Тема «Ускорение как производная от скорости». Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. 3. Изучение нового материала. Основная причина полезности анализа в механике состоит в том, что   скорость— это  производная     от  пройденного     пути,   а ускорение —  производная от скорости. Первое мы уже использовали. Рассмотрим    второе. Если   точка   движется     вдоль прямой   и  её  скорость в момент времени t  равна   υ0(t) lim ∆t→0 , то ускорение в этот же момент равно υ(t+∆t)−υ(t) ∆t a(t)=ύ́(t)=¿ = lim ∆t→0 ¿ Δυ Δt   . Пример. Равноускоренное движение. υх=υ0+at   ,     υ΄ х=a. Задача.  Движение тела задано уравнением скорости  υх=3+10t . Определить  ускорение тела.  (10 м/с2). 4. Домашнее задание. Выучить конспект.  5. Итог урока. Урок №12­13. Тема «Решение задач на нахождение ускорения математическими и физическими способами». 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. 3.Решение задач. 1. Тело движется прямолинейно по закону  x(t) = 2t3 – 2,5t2 + 3t + 1  (х выражена в метрах, t – в секундах). Найти ускорение тела. 17 2. Тело движется прямолинейно по закону  x(t) = 2t3 + 2,5t2 ­ 6t + 3   (х выражена в метрах, t – в секундах). Найти ускорение тела. 3.   Движение   четырех   материальных   точек   заданы   уравнениями: х1=10t+0,4t2;  х2=2t­t2;  х3=­4t+2t2;  х4=­t­6t2. Найти ускорение тела. 4. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = ­t3/6 + 3t2 – 5.  Найдите момент времени t, когда ускорение точки равно нулю.  4. Домашнее задание. Решить подобные задачи.  5. Итог урока. Урок №14. Тема «Интеграл. Восстановление пути по скорости». 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. 3. Изучение нового материала. . Функция х(t)   называется       неопределённым Предположим,  что  нам  задана  скорость движения  по  прямой во  все моменты  времени,  например,  запись показаний  спидометра автомобиля, и мы хотим восстановить путь, пройденный в каждый момент времени, точнее, координату  движущейся точки  в  любой момент  времени.  Это  значит,  что производная    х΄ (t)    известна  во  все моменты   tє[t1, t2] и требуется  найти х(t). Обозначим    х ΄(t)=υ(t) интегралом функции  υ (t),  или  первообразной для  функции   υ (t).  Посмотрим, насколько  однозначно  определена  функция  х(t)? Ясно,   что   если   заменит   х(t) на   х(t)+C,   где   C  ­   постоянная, то равенство   υ(t)=х΄(t)   не изменится. Смысл этого в том, что можно начать движение с любой  точки.  Если  задать точку начала  движения  х(t1)=х0 ,  то х(t)  определяется  однозначно.  Это  можно  увидеть  ещё  таким образом: если х1(t), х2(t) ­ две такие функции, что   х΄1(t)=υ(t)    то, обозначив  х3(t)=х2(t)­х1(t),  получим  х΄3(t)=0  ,  т.е.  х3(t)  задает движение с нулевой скоростью, откуда соответствующая  точка  стоит  на  месте,  т.е. х3(t)=C,  х1(t)=х2(t)+C.    ,   х΄2(t)=υ(t) Определённый инеграл. 18 Пусть задана скорость движения    υ(t)  и   a, b є[t1, t2], где  [t1, t2] ­ отрезок   времени,   на   котором рассматривается движение.   Перемещение точки  за  время   от  t1=a до  t2=b называется интегралом функции  υ(t)  по отрезку [a, b] (или определённым  интегралом)  и  обозначается              ∫ υ(t)dt b a Если  x(t) ­ первообразная для  функции   υ(t) ,  то  ясно,  что  данное перемещение  равно  x(b)­x(a),  откуда      b υ(t)dt=x(b)−x(a)=x(t)a ∫ b                                  a                                             (последнее выражение является просто удобной сокращённой записью   для x(b)­x(a)).  Эта   формула   называется   формулой   Ньютона­Лейбница.   Можно записать   наоборот  функцию  x(t)  ­  через  определённый  интеграл. Для  этого  под  знаком  интеграла обозначим  переменную t  другой буквой    (это не  играет  роли, так  как  результат зависит  только от  b и  a, но  не  от  t). Вообще   переменная, по  которой   происходит  интегрирование (t в  интеграле,  написанном  выше),  называется  переменной  интегрирования, и  её  можно  обозначить любой  буквой,   от которой    не зависят  пределы интегрирования  a  и  b. Поэтому   формула    Ньютона—Лейбница         может быть записана  в  виде  b ∫ a υ(τ)dτ=x(b)−x(a) Примем  b=t  и  получим  υ(τ)dτ=x(b)−x(a) или  t ∫ a                            x(t)=x(a)+  ∫ t a υ(τ)dτ Эта   формула   даёт   запись   первообразной   функции   в   виде определённого     интеграла     с    переменным     верхним     индексом.     Из     неё следует, что  t (∫ a υ(τ)dτ) 19 =΄ х΄(t)=υ(t) т.  е.  производная  от  интеграла  по  переменному  верхнему  пределу равна значению  подынтегральной  функции  на  этом  пределе.   4. Домашнее задание. Выучить конспект.  5. Итог урока. Урок № 15. Тема «Геометрический смысл определенного интеграла». Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. 3. Изучение нового материала. Примеры  нахождения первообразных  и  интегралов. Операция     первообразных     (или     нахождения     неопределённых интегралов)  обратная  нахождению  производной. Неопределённый интеграл ,   обычно     обозначается     ∫υ(t)dt .   Если  x(t)   ­   какая­то функции   υ(t) ,   то    ∫υ(t)dt =x(t)+C,   где C ­   произвольная первообразная   для   υ(t) постоянная.   Используя   таблицу     производных,   можно   найти   некоторые первообразные  и  интегралы.   Если  υ(t)=υ1(t)±υ2(t) ,  то  первообразная  x(t)  может  быть найдена по  формуле x(t)=x1(t)±x2(t),  где x1(t), x2(t)  ­  первообразные  υ1(t),υ2(t) .    П р и м е р. Пуст  υ(t)=υ0+at  (равноускоренное  движение), тогда x(t)=∫(υ0+at)dt = ∫υ0dt   + ∫atdt=v0t+at2 =x(0) ­  значение  координаты x  в  момент  времени  0. 2 +C=x0+ v0t+at2 2 ,где    x0 Геометрический смысл интеграла. Нарисуем график  скорости  υ(t) восстановить перемещение  х(t).   и  попробуем  понять, как по нему 20 υ υ0 t 1 t 1 t 2 t  Пусть  сначала   υ(t)=υ0(t)  =const. Тогда за время   от t1 до  t2 тело проходит   путь   х(t2)­х(t1)   =     2−¿t1 t¿ υ0¿   .   Этот   путь   равен   площади     под графиком  υ   лежащей между  вертикальными  прямыми  t=t1  и  t= t2 , так как  получается прямоугольник  с  высотой   υ0  и  основанием  t2 –t1  .  То  же  самое  верно и    в  общем  случае, т. е.  перемещение    υ a b t x(b)­x(a)= ∫ υ(t)dt b a равно площади  под  графиком   υ(t) t=b. по этой причине возникло обозначение интеграла (вытянутая буква S). 4. Домашнее задание.  между вертикальными прямыми t=a и Выучить конспект.  5. Итог урока. Урок № 16­17. Тема «Вычисление пути и перемещения с помощью определенного интеграла». 21 Ход урока. 1. Организационный момент. 2. Проверка домашнего задания. 3. Решение задач. а)  υ(t)=t3 1≤t≤2?  1. Скорость точки,  движущейся  по  прямой, меняется  по  закону   ; б)  υ(t)=t−2 ; в)  υ(t)=t−1  . Какой путь  будет пройден  при υ перемещение тела через 20с от начала движения. 2. Скорость тела выражается формулой  =2,5+0,2 t. Найти  Пример решения: 3. Скорость тела выражается формулой  =6υ t­t2. Найти перемещение  тела через 6с от начала движения.  4. Ускорение тела выражается а=15+8t2. Найти скорость движения  тела в момент времени t = 1с от начала движения. 4. Домашнее задание. Подготовить творческий проект.  5. Итог урока. Урок № 18. Тема «Защита творческих проектов». Примерные задания к проектам. 1. Точка движется по закону х(t) =2t3­3t. Чему равно ускорение в момент времени  t=1с. 2. Ускорение тела выражается формулой а=4t. Найти скорость через 5с от начала движения. 3. Скорость тела выражается формулой  (υ t)= 3t2­8t. Найти ускорение тела через 2с от начала движения. 4. Точка движется по закону х(t) =1/3t3­2t2+3t+1. В какие моменты времени ее скорость будет равна нулю. 5. Ускорение тела выражается формулой а=12t­2. Найти скорость через 2с от начала движения. 6. Скорость тела выражается формулой  тела через 2с после начала движения. (υ t)= 6t2+8. Найти перемещение 7. Точка движется по закону х(t) =5/3t3­2t2+3t+1. В какие моменты времени ее ускорение будет равна нулю. 22 8. Ускорение тела выражается формулой а=12t. Найти скорость через 3с от начала движения. 9. Скорость тела выражается формулой  тела через 5с от начала движения. (υ t)= 2t+1. Найти перемещение 10.Точка движется по закону х(t) =2t2­t. Чему равна скорость в момент времени t=10с. 11.Ускорение тела выражается формулой а=0,2t­0,5. Найти скорость через 3с после  начала движения. 12.Скорость тела выражается формулой  тела через 10с от начала движения. (υ t)= 18t+1. Найти перемещение Связь между физическими и математическими величинами Приложение 2 Величины Вычисление производной Вычисление интеграла t2 S=∫ t1 υ(t)dt t2 υ=∫ t1 a(t)dt S - перемещение  ­υ  скорость а ­ ускорение υ(t)=S’(t) a(t)=υ’(t) 23