Происхождение понятия производной

Происхождение понятия производной

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в

древности. Ряд таких задач был решен Архимедом, разработавшим способ проведения касательной, примененный им к спирали, но применимый для других кривых. Основное понятие дифференциального исчисления — понятие производной — возникло в XVII в. в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определения скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.

Займемся первой из них.

Путь s, пройденный прямолинейно и неравномерно движущейся точкой, есть функция от времени t. Пусть это движение выражается некоторым законом  

у = f(t)                                                             (1)

и требуется найти скорость движения в момент t₁. Если t₁ и t₂ являются двумя различными значениями аргумента t, a s₁ и s₂— соответствующими им значениями функции s, то «средняя» скорость  v_ср движения за промежуток времени  t₂ - t₁ выразится так:

.                                                              (2)

Чем ближе будет t₂ к t₁, т. е. чем короче промежуток времени t₂ - t₁, тем точнее эта формула определит скорость в мгновение t₁. Поэтому естественно принять за мгновенную скорость v движущейся точки в момент t₁ предел, к которому стремится средняя скорость v_ср точки, когда промежуток времени t₂ - t₁стремится к нулю, или, что то же самое, когда t₂ стремится к t₁. Итак,

.                                                              (3)

Эта задача была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т. е. текущей величиной (от латинского fluere — течь), производную же — флюксией (от того же fluere). Ньютон обозначал функции последними буквами латинского алфавита u, х, у, z, а их флюксии, т. е. производные от флюэнт по времени, — соответственно теми же буквами с точкой над ними: u, х, у, z.

Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате, названном им «Метод флюксий и бесконечных рядов», который был составлен около 1671 г. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий еще в середине 60-х годов XVII в., однако вышеназванный его трактат был опубликован посмертно лишь в 1736 г.