Произвольный треугольник (подборка задач)

П Р О И З В О Л Ь Н Ы Й Т Р Е У Г О Л Ь Н И К Ч А С Т Ь 1 : т е о р и я 1) м е д и а н ы – все три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центром масс треугольника (или центроидом, или барицентром); в точке пересечения медианы делятся в отношении 2 : 1, начиная от вершины; медиана разбивает треугольник на 2 равновеликие части, а три медианы – на 6 равновеликих частей ВМ : МВ 1  АМ : МА 1  СМ : МС 1  1:2 S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6 2) б и с с е к т р и с ы – все три биссектрисы пересекаются в одной точке, которая называется инцентром треугольника и является центром вписанной в треугольник окружности; биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам I – инцентр, АВ2 : СВ2 = ВА : ВС АС2 : ВС2 = СА : СВ ВА2 : СА2 = АВ : АС 3) в ы с о т ы – все три высоты или их продолжения пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника (у остроугольного треугольника ортоцентр находится внутри треугольника, у прямоугольного треугольника высоты пересекаются в вершине прямого угла, у тупоугольного треугольника ортоцентр находится вне треугольника) 4) т е о р е м ы с и н у с о в ( о б о б щ е н н а я ) и к о с и н у с о в отношение стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная, равная двум радиусам описанной окружности: a  sin  b sin   c sin   2 R квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними: 2 a 2 b 2 c 2  b 2  a 2  a 2 c 2 c 2 b    2 bc  cos  , 2 ac  cos  , 2 ab  cos  Ф о р м у л ы д л я 5) т р е у г о л ь н и к а S  1 2 ah a  1 2 ab sin   abc 4 R  pr н а х о ж д е н и я п л о щ а д и ( cpbpapp )( )( ,)    где р – полупериметр треугольника, окружности, r – радиус вписанной окружности. R – радиус описанной Ч А С Т Ь 2 : з а д а ч и н а д о к а з а т е л ь с т в о его ортоцентрического 1. Докажите, что если в остроугольном треугольнике провести две высоты, то отрезок, соединяющий основания высот, отсекает от треугольника подобный ему треугольник. 2. Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами треугольника (ортоцентрический треугольник - треугольник, вершинами которого являются основания высот данного треугольника). 3. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отмечены точки Р и Е соответственно таким образом, что АР : РВ + СЕ : ЕВ = 1. Докажите, что отрезок РЕ проходит через точку пересечения медиан треугольника АВС. 4. Даны два треугольника, причем сторонами второго их них являются медианы первого. Докажите, что отношение площади первого треугольника к площади второго есть 4/3. 5. Стороны треугольника равны a, b и с. Докажите, что медиана mа, проведённая к стороне вычисляется по формуле а, mа  1 2 2 2 b  2 2 c  2 a . 6. Медианы треугольника, проведённые к сторонам a, b и с, равны соответственно ma, mb и mc. Докажите, что a  2 m 2 b  2 m 2 c  m 2 a . 2 3 7. Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением прилежащих сторон и произведением отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону. 8. Докажите, что если la, lb, lc – биссектрисы треугольника АВС, опущенные на стороны ВС = а, АС = b, АВ = с соответственно, то равенства справедливы l 2 a  bc 1     2 a  cb   2 ,    l 2 b  ac 1     2 b  ca   2 ,    l 2 c    ab  1   2 c  ba   .  2  9. Две стороны треугольника равны а и b, угол между ними . Докажите, что биссектриса треугольника, заключенная между данными сторонами, равна  .2 2 ab cos ba  Докажите, проведены отрезки АА1 и СС1, 10. В треугольнике АВС пересекающиеся в точке О. Точки А1 и О определяют четыре отношения: 1) АС1 : С1В, 2) ВА1 : А1С, 3) АО : ОА1, 4) СО : ОС1. что если заданы любые два из заданных отношений, то можно вычислить два других. 11. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, взятой внутри правильного треугольника до его сторон равна 3r, где r – радиус вписанной в этот треугольник окружности. 12. Докажите, что если Н – ортоцентр треугольника АВС, С1 – основание его высоты, проведённой из вершины С, то АС1  ВС1 = СС1  НС1. Ч А С Т Ь 3 : з а д а ч и н а в ы ч и с л е н и е 1. (ЕГЭ). В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8 : 5, считая от вершины, лежащей против основания. Найдите основание треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10. 2. (ЕГЭ). Окружность с центром О, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, касается стороны ВС в точке К, причём СК : ВК = 5 : 8. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 72. 3. (ЕГЭ). В треугольник АВС вписана окружность с центром О. Луч АО пересекает сторону ВС в точке К. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 13, АС = 15, ВК = 6,5. 4. (ЕГЭ). В окружность радиуса вписан правильный треугольник 38 3 АВС. Хорда ВD пересекает сторону АС в точке Е, АЕ : ЕС = 3 : 5. Найдите ВЕ. 5. (ЕГЭ). Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75 описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16. 6. (ЕГЭ). Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота ВН равна 12 и известно, что sin  A 12 13 sin  C , 4 5 . 7. (ЕГЭ). В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана окружность с радиусом Высота РН делится точкой .32 пересечения с окружностью в отношении 1 : 2, считая от вершины Р. Найдите периметр треугольника РМК. 8. (ЕГЭ). В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и Е. Найдите радиус окружности, если DЕ = 8, АС = 18. 9. (ЕГЭ). В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. Луч СО пересекает сторону АВ в точке К, причём АК = 6, ВК = 12. Найдите периметр треугольника. 10. (ЕГЭ). Около треугольника АВС описана окружность. Медиана АМ продлена до пересечения с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если АМ = 18, МК = 8, ВК = 10. 11. (ЕГЭ). В окружность радиуса вписан треугольник АВС, в 34 котором угол А равен 60, а сторона АВ в два раза больше стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите длину отрезка МС. 12. (ЕГЭ). В треугольнике ВСЕ угол С равен 60, СЕ : ВС = 3 : 1. Отрезок СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника окружности равен .38 13. (ЕГЭ). Площадь треугольника АВС равен 15 дм2. На стороне АС взята точка Р так, что АР : РС = 2 : 3. Длина перпендикуляра РН, проведённого на сторону ВС, равна 6 дм. Найдите ВС (ответ запишите в сантиметрах). 14. (ЕГЭ). В равнобедренном треугольнике высоты, проведённые к основанию и боковой стороне, равны соответственно 5 дм и 6 дм. Найдите длину боковой стороны (ответ запишите в дециметрах). 15. (ЦТ). Окружность, проходящая через вершины В и С треугольника АВС, пересекает стороны АВ и АС в точках М и Н соответственно, а отрезки ВН и СМ пересекаются в точке К. Если угол ВАС равен 35 и угол МСН равен 40, то чему равен угол ВКС? 16. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120, боковая сторона треугольника равна 20 см. Найдите длины высот треугольника. 17. Длина основания равнобедренного треугольника равна 6 см, площадь треугольника равна см2. Найдите угол при основании 33 треугольника. 18. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если длина его основания равна 12 см, а длина высоты, опущенной на основание, равна длине отрезка, соединяющего середину основания и середину боковой стороны. 19. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 20 см, а высота, проведённая к боковой стороне, равна 12 см. Найдите периметр треугольника. 20. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, проведённая к боковой стороне, равна 24 см, а высота, проведённая к основанию, равна 20 см. 21. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к боковой стороне, имеет длину 5 см. Найдите длину основания треугольника, если длина его боковой стороны равна 6 см. 22. В треугольнике длина медианы равна высоте, проведённой из другой вершины. Найдите угол между ними. 23. Медианы треугольника равны 3; 4 и 5. Найдите площадь треугольника. 24. Две стороны треугольника равны 34 и 32, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна 17. Найдите площадь треугольника. 25. В треугольнике две высоты равны 12 и 20. Найдите максимальное возможное целое значение длины третьей высоты. 26. Две медианы треугольника имеют длины 6 и 9. Найдите максимально возможную площадь треугольника. 27. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к боковой стороне, имеет длину 5 см. Найдите длину основания треугольника, если длина его боковой стороны равна 6 см. 28. В равнобедренном треугольнике длина основания равна 10 см, а длина каждой из боковых сторон равна 13 см. Боковые стороны служат диаметрами двух окружностей. Найдите длину общей хорды этих окружностей. 29. Длины двух сторон треугольника равны 3 см и 8 см, площадь треугольника равна см2. Найдите длину третьей стороны 36 треугольника, если угол, лежащий против этой стороны, острый. 30. Длины двух сторон треугольника равны 3 см и 8 см, площадь треугольника равна см2. Найдите длину медианы третьей 36 стороны треугольника, если угол, лежащий против этой стороны, тупой. 31. Длины двух сторон треугольника равны 4 см и 5 см. Найдите третью сторону треугольника, если угол, лежащий против этой стороны, в два раза больше угла, лежащего против стороны длины 4 см. 32. Длины двух сторон треугольника равны 4 см и 8 см, сумма длин высот, опущенных на данные стороны, равна 9 см. Найдите длину каждой из этих высот. 33. Длины высот треугольника равны 1 см, 3 см и см. Найдите 75,0 2 длины медиан треугольника. 34. Длины высот треугольника равны 2 см, 10 см и см. Найдите 65 6 длину биссектрисы наибольшего угла треугольника. 35. Периметр треугольника АВС равен 112 см, а биссектриса угла ВАС делит противоположную сторону на части, длины которых равны 14,8 см и 22,2 см. Найдите длины сторон треугольника. 36. (МАИ). В треугольнике АВС известно, что АВ = 5 см, А = 30, В = 45. Найдите сумму длин высот треугольника АВС. 37. (МАИ). Окружность касается сторон треугольника АВС в точках В и С. Найдите её радиус, если известно, что АС = 12 см, АСВ = 45. 38. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены биссектрисы АМ, ВН и СР. Найдите площадь треугольника МНР, если площадь треугольник АВС равна 9, а cosBAC = 0,25. 39. (МФТИ). В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке Р. Найдите радиус окружности, если СР = 4, ВР = 5. 40. (МФТИ). В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС вершины А, В и точка пересечения высот треугольника Е лежат на окружности, которая пересекает отрезок ВС в точке Р. Найдите длину отрезка СР, если угол АВС равен 2arcsin(1/5), а радиус окружности равен 5. 41. (МАИ). В остроугольном треугольнике АВС проведены высота АН и медиана ВМ. Найдите площадь четырёхугольника АВНМ, если известно, что АН = ВМ = 1 см. 42. (МАИ). Биссектриса равнобедренного треугольника делит боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 2 : 3. Найдите величины углов треугольника. 43. (МАИ). Окружность делит каждую из двух сторон треугольника на три равные части и касается третьей стороны. Найдите величины углов треугольника. 44. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ = 40, АС = 64, точка О – центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая ВР, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке Р. Найдите СР. 45. В треугольнике АВС биссектриса угла делит высоту, проведённую из вершины В в отношении 13 : 12, считая от точки В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = 10. Ч А С Т Ь 4 : з а д а ч и н а п о с т р о е н и е 1. Постройте остроугольный равнобедренный треугольник по боковой стороне и проведённой к ней высоте. 2. Постройте треугольник по двум его углам и периметру. 3. Постройте равнобедренный треугольник по углу при вершине и биссектрисе, проведённой к боковой стороне. 4. Постройте треугольник по стороне и проведённым к ней медиане и высоте. 5. Постройте треугольник по двум углам и высоте (рассмотрите два случая). 6. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане (рассмотрите два случая). 7. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон. 8. Постройте треугольник по стороне, прилежащему углу и разности двух других сторон. 9. Постройте треугольник по двум высотам и медиане, если все они проведены из разных вершин. 10. Постройте треугольник, зная положение центров трёх его вневписанных окружностей (вневписанной называется окружность, которая касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон). 11. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённой к третьей стороне. 12. Постройте точку пересечения медиан треугольника, одна из вершин которого «недоступна». С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы : 1. Аверьянов Д.И. Задачник по геометрии для 8 класса с углубленным изучением математики. – М.: Илекса, 2006. 2. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. Для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. 3. Геометрия 7 – 9. Школа боевого искусства. Сборник задач. Сост.: И. Кушнир, Л. Финкельштейн – К.: Факт, 2000. 4. Сборники ЕГЭ, ОГЭ различных лет 5. Блинков А.Д., Блинков Ю.А. Геометрические задачи на построение. – М.; МЦНМО, 2010. 6. В.В. Амелькин, В.Л. Рабцевич, В.Л. Тимохович. Геометрия на плоскости. Теория, задачи, решения: в 2 ч. Мозырь: Белый Ветер, 2015.