Прямоугольный треугольник (подборка задач)

П Р Я М О У Г О Л Ь Н Ы Й Т Р Е У Г О Л Ь Н И К Ч А С Т Ь 1 : т е о р и я 2 )5 S  1 2 ab , h c  ab c sin)6   a c , cos   b c , tg   a b )7   30 b 1 2 c 2 )1 а 2  c b 2 )2 a  ca c 2 b  cb c 2 h c  ba c c )3 R  mc c 1 2 cba r   2 Ч А С Т Ь 2 : з а д а ч и н а д о к а з а т е л ь с т в о 1. Докажите, что если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. 2. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. 3. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана и высота, проведённые к гипотенузе, образуют угол, равный разности острых углов треугольника. 4. Внутри прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С взята точка О так, что SOAB = SOAC = SOBC. Докажите, что ОА2 + ОВ2 = 5ОС2. 5. Докажите, что в прямоугольном треугольнике длины катетов a и b и длина высоты, проведенной к гипотенузе hc , связаны соотношением  1 2 b 1 2 а 1 2 ch . 6. Докажите, что, если в треугольнике один угол равен 120, то треугольник, образованный основаниями его биссектрис, прямоугольный. 7. (МИЭТ) Высоты треугольника равны 12 см, 15 см и 20 см. Докажите, что треугольник – прямоугольный. 8. Пусть а и b – катеты прямоугольного треугольника, с – его гипотенуза, hc – высота треугольника, опущенная на гипотенузу. Докажите, что треугольник со сторонами hc, с + hc, а + b является прямоугольным. 9. В прямоугольном треугольнике АВС проведена высота СК из вершины прямого угла С, а в треугольнике АСК – биссектриса СЕ. Докажите, что СВ = ВЕ. 10. Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, выходящими из той же вершины. Ч А С Т Ь 3 : з а д а ч и н а в ы ч и с л е н и е 1. Найдите отношение катетов прямоугольного треугольника, если высота и медиана, проведённые к гипотенузе, относятся как 40 : 41. 2. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 3 и 5, а медиана, проведённая к третьей стороне, равна 2. 3. Высота ромба, проведённая из вершины его тупого угла, делит сторону ромба на отрезки длины 5 и 8, считая от вершины острого угла. Найдите диагонали ромба. 4. Медианы, проведённые к катетам прямоугольного треугольника равны х и у. Найдите гипотенузу треугольника. 5. Катеты относятся, как 3 : 2, а высота делит гипотенузу на отрезки, из которых один на 2 м больше другого. Найдите гипотенузу. 6. Хорда, перпендикулярная диаметру окружности, делит его на части, одна из которых на 18 см короче другой. Найдите длину этой хорды, если радиус окружности 15 см. 7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника. 8. (ЕГЭ) В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м. 9. (ЕГЭ) Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности. 10. (ЕГЭ) Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника. 11. (ЕГЭ) Окружность с центром О вписана в прямоугольный треугольник АВС. Она касается гипотенузы АВ в точке М, причём АМ = 12 и ВМ = 8. Найдите площадь треугольника АОВ. 12. (ЕГЭ) Около окружности с центром О описан прямоугольный треугольник МРК с гипотенузой МК. Луч ОМ пересекает катет РК в точке С. Найдите длину отрезка СР, если точка касания с окружностью делит катет РК на отрезки РН = 4 и НК = 12. 13. (ЕГЭ) В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС, равной 20, проведена медиана ВМ. Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается медианы ВМ в точке Р. Найдите катет ВС, если ВР : РМ = 3 : 2. 14. (ЕГЭ) В треугольнике АВС угол В равен 90, медиана ВМ равна . Окружность, вписанная в треугольник АВМ, касается 3 10 гипотенузы АС в точке Т. Найдите катет ВС, если АТ : ТС = 1 : 3. 15. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна Найдите 54 . см площадь треугольника, если расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов вдвое больше, чем до другого. 16. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины один из катетов треугольника равен 8 см. прямого угла, равна 34 , см Найти площадь треугольника. 17. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 15, длина высоты, проведённой из вершины прямого угла, равна 3 см. Найдите площадь треугольника. 18. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 15, длина медианы, проведённой из вершины прямого угла, равна 5 см. Найдите площадь треугольника. 19. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит противолежащий катет на две части, длины которых равны 4 см и 5 см соответственно. Найдите длину гипотенузы треугольника. 20. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30. Найдите острый угол между медианами катетов треугольника. 21. Площадь прямоугольного треугольника равна 18 см2, сумма радиусов вписанной и описанной окружностей равна 6 см. Найдите длину гипотенузы треугольника. 22. (МИЭТ) Найдите биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 см и 18 см. 23. (МИЭТ) Точка на гипотенузе, равноудалённая от катетов, делит гипотенузу на отрезки 30 и 40. Найдите длины катетов. 24. (МИЭТ) Найдите площадь прямоугольного треугольник, периметр которого равен 12, а стороны образуют арифметическую прогрессию. 25. (МИЭТ) Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противоположного острого угла и имеет центр на гипотенузе. Найдите её радиус, если катеты равны 3 см и 4 см. 26. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, высота, на неё опущенная, равна 12 см и служит диаметром окружности, которая делит каждый их катетов на две части. Найдите эти части. 27. (МАИ) Биссектриса одного из углов прямоугольного треугольника делит треугольник на части, площади которых 3 см2 и 5 см2. Найдите периметр треугольника. 28. (МАИ) Биссектриса одного из углов прямоугольного треугольника делит треугольник на части, площади которых относятся как 3 : 4. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 12 см. 29. (МАИ) Катеты прямоугольного треугольника равны 10 си и 24 см. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей. 30. (МАИ) В прямоугольном треугольнике АВС биссектриса угла А делит катет ВС на отрезки 4 см и 5 см. На какие отрезки делит эта биссектрис высоту СD, опущенную на гипотенузу? 31. (МАИ) Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан треугольника. 32. (МАИ) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СD. Известно, что СD : ВD = 1 : 4, АD = 1 см. Найдите периметр треугольник АВС. 33. (ЕГЭ) В прямоугольном треугольнике с катетами 20 см и 15 см найдите расстояние от центра масс до гипотенузы. 34. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, и она в три раза больше высоты треугольника, опущенной из вершины прямого угла. Найдите катеты данного треугольника. 35. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС = 3 и ВС = 4 проведена высота СD. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники СDА и ВDC. 36. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности его катетов. Найдите отношение большего катета к меньшему. Ч А С Т Ь 4 : з а д а ч и н а п о с т р о е н и е 1. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и сумме двух катетов. 2. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и разности двух катетов. 3. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проведённой к ней высоте. 4. Постройте прямоугольный треугольник по острому углу и разности гипотенузы и катета. 5. Дан отрезок длины 1. При помощи циркуля и линейки постройте треугольник со сторонами 5,2 и .7 6. По данной сумме двух отрезков и среднему пропорциональному этих отрезков построить отрезки. 7. Построить два отрезка, квадраты которых относятся как m : n. 8. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором расстояние между точками пересечения высот и биссектрис равно данному отрезку р. 9. Даны отрезки а и b. Постройте отрезки длины 2 4 a  2 b ; 2 3 a 2  b . С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы : 1. Аверьянов Д.И. Задачник по геометрии для 8 класса с углубленным изучением математики. – М.: Илекса, 2006. 2. Геометрия 7 – 9. Школа боевого искусства. Сборник задач. Сост.: И. Кушнир, Л. Финкельштейн – К.: Факт, 2000. 3. Сборники ЕГЭ различных лет