Рабочая программа элективного курса "Алгебра+: рациональные и иррациональные алгебраические задачи", 10-11 класс

Рабочая программа составлена на два года для изучения в 10 и 11 классе, в 10 классе-34 часа, в 11 классе-34 часа. В 10 классе изучаются темы  «Логика алгебраических задач», «Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения» и  «Рациональные алгебраические уравнения и неравенства». В 11 классе изучаются темы « Рациональные алгебраические системы» и   «Иррациональные алгебраические задачи».                             

Требования к уровню подготовки учащихся

Образовательные результаты

(планируемые результаты обучения)

Предметные знания. Алгебраические задачи: уравнения, неравенства с переменными, системы, совокупности. Множества решений. Следование и равносильность задач.

Общее понятие задачи с параметрами. Суждения существования и всеобщности, кванторы. Логические задачи с параметрами. Координатная интерпретация задач с параметрами.

Многочлены и действия над ними. Деление с остатком, алгоритмы деления. Теорема Безу. Разложимые многочлены. Кратные корни. Число корней многочлена. Система и теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Многочлены низших степеней (от второй до четвертой). Поиск корней и разложений. Теоремы Виета для квадратичных и кубических многочленов (уравнений). Формула Кардано- Тарталья,

Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Методы замены и разложения. Метод интервалов, Метод эквивалентных переходов. Метод сведения к системам. Метод оценок. Использование монотонности. Схемы решения задач с модулями. Неравенства с двумя переменными — координатная интерпретация. Метод областей.

Уравнения и системы с несколькими переменными. Основные методы решения рациональных алгебраических систем с двумя переменными: подстановка, исключение переменных, замена, разложение, использование симметричности и ограниченности, оценок и монотонности. Системы с тремя переменными — основные методы.

Алгебраические задачи с параметрами. Основные методы решения и исследования: аналитический и координатный (метод «Оха»).

История алгебры как науки о выражениях и уравнениях (Кардано, Виет, Декарт, Ферма, Эйлер и др.).

Предметные  умения, которыми должны овладеть учащиеся по изучении данного курса:

- умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные  преобразования алгебраических задач (уравнений, неравенств, систем, совокупностей);

- умение   использовать   основные   методы   при   решении       алгебраических задач с различными классами функций (рациональными и иррациональными алгебраическими), в том числе: методы замены,  разложения, подстановки, эквивалентных преобразований, использования симмет­рии, однородности, оценок, монотонности;

- умение понимать и правильно интерпретировать задачи с параметрами, логические и кванторные задачи; умение применять изученные методы исследования и решения задач с параметрами: аналитический и координатный.

Учебно-тематический план

Программа курса

Тема 1. Логика алгебраических задач

   Элементарные алгебраические задача как предложения с переменными. 

   Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

   Уравнения с переменными. Числовые неравенства и неравенства с переменной. Свойства числовых неравенств.

   Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

   Алгебраические задачи с параметрами.

   Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

   Интерпретация задач с параметрами на координатной плоскости.

Тема 2. Многочлены и полиномиальные алгебраические уравнения

   Представление о целых рациональных алгебраических выражения.        Многочлены над полями R,Q и над кольцом Z. Степень многочлена. Кольцо многочленов.

   Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

   Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу:  теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

   Полностью разложимые многочлены и система Виета. Общая теорема Виета.

   Элементы перечислительной комбинаторики: перестановка, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Формула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

   Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение, теорема Виета.

   Квадратичные неравенств: метод интервалов и схема знаков квадратного трехчлена.

   Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

   Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

   Графический анализ кубического уравнения х³+Ах=В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплексных чисел.

   Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представление о методе замены.

   Линейная замена, основанная на симметрии.

   Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

   Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

   Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства.

   Представление о рациональных алгебраических выражениях.

   Симметрические, кососимметрические и возвратные многочлены и уравнения.

   Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

   Метод замены при решении дробно-рациональных уравнений.

   Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения  к совокупностям систем.

   Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

   Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

Тема 4. Рациональные алгебраические системы.

   Уравнения с несколькими переменными. Рациональные уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения с двумя переменными.

   Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные преобразования систем.

   Однородные системы уравнений с двумя переменными.

   Замена переменных в системах уравнений.

   Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга-Гаусса о представлении симметричных многочленов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

   Система Виета и симметрические системы с двумя переменными.

   Метод разложения при решении систем уравнений.

   Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

   Оценка значений переменных.

   Сведение уравнений к системам.

    Системы с тремя переменными. Основные методы.

   Системы Виеты с тремя переменными.

Тема 5. Иррациональные алгебраические задачи.

Представление об иррациональных алгебраических функциях. Понятие алгебраических и арифметических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

   Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

   Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки.

   Метод эквивалентных преобразований уравнений с квадратными радикалами.

   Сведение иррациональных и рациональных уравнений к системам.

   Освобождение от кубических радикалов.

   Метод оценки. Использование монотонности. Использование однородности.

   Иррациональные алгебраические неравенства. Почему неравенства с радикалами сложнее уравнений.

   Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

   «Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокупностям систем.

   Теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Определение промежутков знакопостоянства непрерывных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

   Замена при решении иррациональных неравенств.

   Использование монотонности и оценок при решении неравенств.

    Уравнения с модулями. Раскрытие модулей – стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

   Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

   Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

   Иррациональные алгебраические системы. Основные проблемы.

   Смешанные системы с двумя переменными.

Содержание курса

Тема 1. Логика алгебраических задач

Элементарные   алгебраические   задачи как предложения с переменными.

Множество решений задачи. Следование и равносильность (эквивалентность) задач.

Уравнения с переменными. Числовые неравенства и нера­венства с переменной. Свойства числовых неравенств.

Сложные (составные) алгебраические задачи. Конъюнкция и дизъюнкция предложений. Системы и совокупности задач.

Алгебраические задачи с параметрами.

Логические задачи с параметрами. Задачи на следование и равносильность.

Интерпретация задач с параметрами на координатной плос­кости.

Тема 2. Многочлены и полиномиальные

алгебраические уравнения

Представление о целых рациональных алгебраических вы­ражениях. Многочлены над полями R, Q и над кольцом Т.. Степень многочлена. Кольца многочленов.

Делимость и деление многочленов с остатком. Алгоритмы деления с остатком.

Теорема Безу. Корни многочленов. Следствия из теоремы Безу: теоремы о делимости на двучлен и о числе корней многочленов. Кратные корни.

Полностью разложимые многочлены и система Виета. Об­щая теорема Виета.

Элементы перечислительной комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, перестановки с повторениями. Фор­мула Ньютона для степени бинома. Треугольник Паскаля.

Квадратный трехчлен: линейная замена, график, корни, разложение,

теорема Виета.

Квадратичные неравенства: метод интервалов и схема зна­ков квадратного трехчлена.

Кубические многочлены. Теорема о существовании корня у полинома нечетной степени. Угадывание корней и разложение.

Куб суммы/разности. Линейная замена и укороченное кубическое уравнение. Формула Кардано.

 Графический анализ кубического уравнения х³+Ах = В. Неприводимый случай (три корня) и необходимость комплекс­ных чисел.

Уравнения степени 4. Биквадратные уравнения. Представ­ление о методе замены.

Линейная замена, основанная на симметрии.

Угадывание корней. Разложение. Метод неопределенных коэффициентов. Схема разложения Феррари.

Полиномиальные уравнения высших степеней. Понижение степени заменой и разложением. Теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами.

Приемы установления иррациональности и рациональности чисел.

Тема 3. Рациональные алгебраические уравнения и неравенства

Представление о рациональных алгебраических выраже­ниях.

Симметрические, кососимметрические и возвратные много­члены и уравнения.

Дробно-рациональные алгебраические уравнения. Общая схема решения.

Метод замены при решении дробно-рациональных уравне­ний.

Дробно-рациональные алгебраические неравенства. Общая схема решения методом сведения к совокупностям систем.

Метод интервалов решения дробно-рациональных алгебра­ических неравенств.

Метод оценки. Использование монотонности. Метод замены при решении неравенств.

Неравенства с двумя переменными. Множества решений на координатной плоскости. Стандартные неравенства. Метод областей.

Тема 4. Рациональные алгебраические системы

Уравнения с несколькими переменными. Рациональные Уравнения с двумя переменными. Однородные уравнения ^с Двумя переменными.

Рациональные алгебраические системы. Метод подстановки. Метод исключения переменной. Равносильные линейные пре­образования систем.

Однородные системы уравнений с двумя переменными,

Замена переменных в системах уравнений.

Симметрические выражения от двух переменных. Теорема Варинга—Гаусса о представлении симметрических многочле­нов через элементарные. Рекуррентное представление сумм степеней через элементарные симметрические многочлены (от двух переменных).

Системы Виета и симметрические системы с двумя пере­менными.

Метод разложения при решении систем уравнений.

Методы оценок и итераций при решении систем уравнений.

Оценка значений переменных.

Сведение уравнений к системам.

Системы с тремя переменными. Основные методы.

Системы Виета с тремя переменными.

Тема 5. Иррациональные алгебраические задачи

Представление об иррациональных алгебраических функ­циях. Понятия арифметических и алгебраических корней. Иррациональные алгебраические выражения и уравнения.

Уравнения с квадратными радикалами. Замена переменной. Замена с ограничениями.

Неэквивалентные преобразования. Сущность проверки. Метод эквивалентных преобразований уравнений с квад­ратными радикалами.

Сведение иррациональных и рациональных уравнений к си­стемам.

Освобождение от кубических радикалов. Метод оценки, Использование монотонности. Использование однородности.

Иррациональные алгебраические неравенства. Почему нера­венства с радикалами сложнее уравнений.

Эквивалентные преобразования неравенств. Стандартные схемы освобождения от радикалов в неравенствах (сведение к системам и совокупностям систем).

«Дробно-иррациональные» неравенства. Сведение к совокуп­ностям систем.

Теорема о промежуточном значении непрерывной функ­ции. Определение промежутков знакопостоянства непрерыв­ных функций. Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

Замена при решении иррациональных неравенств.

Использование монотонности и оценок при решении нера­венств.

Уравнения с модулями. Раскрытие модулей — стандартные схемы. Метод интервалов при раскрытии модулей.

Неравенства с модулями. Простейшие неравенства. Схемы освобождения от модулей в неравенствах.

Эквивалентные замены разностей модулей в разложенных и дробных неравенствах («правило знаков»).

Иррациональные алгебраические системы. Основные при­емы.

Смешанные системы с двумя переменными.

Поурочное планирование

элективного курса «Алгебра + : рациональные и  иррациональные

алгебраические задачи» для 10 класса

Автор программы: Земляков А.Н.

Год издания:2007     Издательство: Москва. БИНОМ Лаборатория знаний

Количество учебных часов: 34

Учебно-методический комплект (далее – УМК):

Основной раздел поурочного планирования

Поурочное планирование

элективного курса «Алгебра + : рациональные и  иррациональные

алгебраические задачи» для 11 класса

Автор программы: Земляков А.Н.

Год издания:2007 Издательство: Москва. БИНОМ Лаборатория знаний

Количество учебных часов: 34

Учебно-методический комплект (далее – УМК):

Основной раздел поурочного планирования

Скачано с www.znanio.ru