Рабочая тетрадь по тригонометрии

(часть 1)

10-11 классы

Учитель математики НРМОБУ «Обь-Юганская СОШ»

Фарукшина Надежда Александровна

            К тригонометрическим функциям традиционно причисляют:

прямые тригонометрические функции:

·         синус sin⁡�- sin x;

·         косинус – cos x cos⁡�;

производные тригонометрические функции:

·         тангенс (tg�=sin⁡�cos⁡�)- tg x;

·         котангенс (ctg�=cos⁡�sin⁡�)- ctg x;

·         секанс (sec⁡�=1cos⁡�)- sec x;

·         косеканс (cosec�=1sin⁡�)- cosec x;

обратные тригонометрические функции:

·         арксинус - arcsin x;

·         арккосинус -  arcos x;

·         и т. д.

            Таблица значений углов тригонометрических функций:

            Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника:

            Решить задачи по образцу:

№ 1. Найдите синус, косинус и тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника с катетами 7см и 24 см.

№ 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а синус одного из острых углов равен 0,6. Найдите катеты этого треугольника.

№ 3. В треугольнике ABC с прямым углом С высота CH, проведенная к гипотенузе равна 5√3 см, а отрезок AH равен 15 см. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.

№ 4. Найдите синус, косинус и тангенс большего острого угла прямоугольного треугольника с катетом 40см и гипотенузой 41 см.

№ 5. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а синус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты этого треугольника.

№ 6. В треугольнике ABC с прямым углом С и высотой CH катет BC равен 6√3 см, а отрезок BH равен 9 см. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.

№ 7. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 4√6 см и 2 см. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.

            Формулы приведения для углов:

            Решить задачи по образцу:

№ 8. Вычислите, используя формулы приведения:

Решение:

  (в четвертой четверти косинус положительный, название функции не меняется);

№ 9. Найдите значение выражения:

Решение:

а) Так как синус — нечетная функция, то

Применим формулы приведения:

№ 10. Приведите к тригонометрической функции угла 

Решение:

а) Используем свойство периодичности косинуса и получим: 

По формулам приведения: 

            Основные тригонометрические тождества:

            Решить задачи по образцу:

№ 11. В прямоугольном треугольнике есть угол α. Известно, что sin α = 0,8. Чему равен соsα?

Решение. Подставим в основное тригонометрическое тождество значение sinα = 0,8 и получим уравнение: sin²α + соs²α = 1                                              0,8² + соs²α = 1                                0,64 + соs²α = 1

соs²α = 1 – 0,64                                               соs²α = 0,36                                       соsα = – 0,6 или соsα = 0,6

Нашли два возможных значения косинуса. Но по условию α – это острый угол, ведь в прямоугольном треугольнике угол не может быть больше 90°. То есть угол α относится к первой четверти, а потому его косинус положителен. Значит, соsα = 0,6.

Ответ: 0,6.
№ 12. Вычислите sinα, если соsα = 0,28 и α принадлежит IV четверти.

№ 13. Найдите tgα, если sinα = 5/13 и π/2 < α < π.

№ 14. Известно, что tgα = 0,75. Найдите соsα и sinα, если угол α принадлежит III четверти.

№ 15. Избавьтесь от синуса в выражении sin⁴α – соs⁴α

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов: sin⁴α – соs⁴α = (sin²α – соs²α)(sin²α + соs²α) = (sin²α – соs²α)•1 =  1 – соs²α– соs²α = 1 – 2 соs²α

Ответ: 1 – 2 соs2α.

№ 16. Упростите выражение 4sin²α + 9соs²α – 6 таким образом, чтобы в нем не содержалось синуса.

№ 17. Упростите дробь:

Задания из ЕГЭ!

№ 18. Найдите значение выражения

№ 19. Найдите значение выражения

№ 20. Найдите значение выражения

А)                                                                   Б)                                           В)                                           Г)

            Тригонометрические функции суммы и разности:

            Решить задачи по образцу:

№ 21. Вычислите синус, косинус и тангенс для угла 15°.

Решение. Угол в 15° можно представить как разность (45° – 30°).

Тогда синус будет вычисляться так:

Далее вычислим косинус:

Теперь посчитаем tg 15°, используя определение тангенса:

№ 22. Вычислите:

1) sin 17° cos 13° + cos 17° sin 13°;    6)  sin 20° cos 50° – cos 20° sin 50°;

2) sin 9° cos 99° – sin 99° cos 9°;         7)  cos 10° cos 35° – sin 35° sin 10°;

3) ;       8)  ;

4) sin 15° sin 15° – cos 15° cos 15°;    9)  sin 22,5° sin 22,5° – cos 22,5° cos 22,5°;

5) ;  10)  .

№ 23.  Найдите значение выражения:

1)   sin 10° cos 20° + sin 20° cos 10°;  6)   cos 109° cos 49° + sin 109° sin 49°;

2)   sin 50° cos 20° – cos 50°sin 20°;  7)   cos 71° sin 11° – sin 71° cos 11°;

3)   ;     8)   ;

4) ;                   9)  ;

5) ;     10)  .

№ 24. Упростите выражения:

1)  ;          4)  ;

2)  ;           5)  ;

3)  ;          6)  .

Функции двойного и половинного аргумента:

            Решить задачи по образцу:

№ 25. Упростите выражение:

Решение:

Применим формулы двойного аргумента:

№ 26. Вычислите:

№ 27. Упростите выражение:

            Преобразование суммы функций в произведение:

            Решить задачи по образцу:

№ 28. Задание: преобразовать в произведение суммы разноименных функций

1) 

Решение: поскольку , то

Ответ:

2) 

Решение:

Ответ: .

№ 29.

Разложение произведения в сумму или разность:

            Решить задачи по образцу:

№ 30. Преобразование произведения в сумму.

№ 31. Преобразовать в сумму или разность.

Формулы универсальной тригонометрической подстановки:

Формулы тройного угла:

            Решить задачи по образцу:

№ 32.

№ 33. Решить уравнение.

№ 34. Решить уравнение.

Скачано с www.znanio.ru