Рабочая программа по алгебре ФГОС

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 1 имени Аркадия Ваганова» (МБОУ СОШ № 1 имени А.Ваганова) «УТВЕРЖДАЮ» ________________ (______________ )  «17»  июня 2016 года Рабочая программа по __алгебре__ (учебный предмет) _________7­9_________ (классы) ________3 года_________ (сроки реализации) Аслаева Людмила Геннадьевна Принята на школьном  методическом объединении учителей математики и информатики Протокол №________  от  «___» мая 2016г. 2016 год Введение Рабочая программа по алгебре составлена в соответствии с требованиями Положения  о структуре,   порядке   разработки   и   утверждения   рабочих   программ   учебных   предметов, реализующих программы начального общего образования, основного общего образования и среднего общего образования, утвержденного приказом по школе № 159 от 12.04.2016. Рабочая программа по алгебре составлена на основе требований к результатам освоения Основной образовательной программы основного общего образования МБОУ СОШ №1 имени   Аркадия   Ваганова   город   Мончегорск   Мурманской   области   (2015­2020   г.г.), утвержденной приказом по школе от 12.04.2016 №159, в соответствии с учебным планом школы основного общего образования на 2016­2017 учебный год и годовым календарным учебным графиком, утвержденными приказом по школе от 12.04.2016 №159. Программа рассчитана на реализацию в течение 3 лет в количестве 612 часов.  7 класс ­ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, М, Просвещение, 2015, 2016; 8 класс ­ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, М, Просвещение 9 класс ­ Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, М, Просвещение Планируемые результаты освоения математики Математика (базовый уровень) ­ требования к предметным результатам освоения базового курса математики должны отражать: 1) сформированность представлений о математике как части мировой культуры и о месте математики в современной цивилизации, о способах описания на математическом языке явлений реального мира; 2)   сформированность   представлений   о   математических   понятиях   как   о   важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать разные процессы и явления; понимание возможности аксиоматического построения математических теорий; 3)   владение   методами   доказательств   и   алгоритмов   решения;   умение   их   применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; 4)   владение   стандартными   приемами   решения   рациональных   и   иррациональных, показательных,   степенных,   тригонометрических   уравнений   и   неравенств,   их   систем; использование готовых компьютерных программ, в том числе для поиска пути решения и иллюстрации решения уравнений и неравенств; 5)   сформированность   представлений   об   основных   понятиях,   идеях   и   методах математического анализа; 6)   владение   основными   понятиями   о   плоских   и   пространственных   геометрических фигурах,  их  основных  свойствах;  сформированность  умения  распознавать на  чертежах, моделях   и   в   реальном   мире   геометрические   фигуры;   применение   изученных   свойств геометрических   фигур   и   формул   для   решения   геометрических   задач   и   задач   с практическим содержанием; 7)   сформированность   представлений   о   процессах   и   явлениях,   имеющих   вероятностный характер,   о   статистических   закономерностях   в   реальном   мире,   об   основных   понятиях элементарной   теории   вероятностей;   умений   находить   и   оценивать   вероятности наступления событий в простейших практических ситуациях и основные характеристики случайных величин; 8) владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении задач; Выпускник   научится   в   7­9   классах   (для   использования   в   повседневной   жизни   и обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом уровне) Элементы теории множеств и математической логики  Оперировать   на   базовом   уровне1  понятиями:   множество,   элемент   множества, подмножество, принадлежность;    доказательство;  В повседневной жизни и при изучении других предметов:  и явлений, при решении задач других учебных предметов. Числа задавать множества перечислением их элементов; находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях; оперировать   на   базовом   уровне   понятиями:   определение,   аксиома,   теорема, приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний. использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов 1Здесь и далее – распознавать конкретные примеры общих понятий по характерным признакам, выполнять действия в соответствии с определением и простейшими свойствами понятий, конкретизировать примерами общие понятия. выполнять   несложные   преобразования   целых   выражений:   раскрывать   скобки, использовать формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности, выполнять   несложные   преобразования   дробно­линейных   выражений   и   выражений   с понимать смысл записи числа в стандартном виде;  оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа». использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений; использовать   признаки   делимости   на   2,   5,   3,   9,   10   при   выполнении   вычислений   и оценивать результаты вычислений при решении практических задач; выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях; составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами; оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа;  распознавать рациональные и иррациональные числа; сравнивать числа.  Оперировать   на   базовом   уровне   понятиями:   натуральное   число,   целое   число, обыкновенная   дробь,   десятичная   дробь,   смешанная   дробь,   рациональное   число, арифметический квадратный корень;   решении несложных задач;     В повседневной жизни и при изучении других предметов:    учебных предметов. Тождественные преобразования  Выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений, содержащих   степени   с   натуральным   показателем,   степени   с   целым   отрицательным показателем;  приводить подобные слагаемые;  разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;  квадратными корнями. В повседневной жизни и при изучении других предметов:   Уравнения и неравенства  Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень   уравнения,   решение   уравнения,   числовое   неравенство,   неравенство,   решение неравенства;       В повседневной жизни и при изучении других предметов:  учебных предметах. Функции  Находить значение функции по заданному значению аргумента;    на координатной плоскости;  по   графику   находить   область   определения,   множество   значений,   нули   функции, промежутки   знакопостоянства,   промежутки   возрастания   и   убывания,   наибольшее   и наименьшее значения функции; проверять справедливость числовых равенств и неравенств; решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящиеся к линейным; решать системы несложных линейных уравнений, неравенств; проверять, является ли данное число решением уравнения (неравенства); решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения; изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой. составлять и решать линейные уравнения при решении задач, возникающих в других находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях; определять положение точки по ее координатам, координаты точки по ее положению использовать свойства линейной функции и ее график при решении задач из других решать   простейшие   комбинаторные   задачи   методом   прямого   и   организованного осуществлять   способ   поиска   решения   задачи,   в   котором   рассуждение   строится   от строить график линейной функции; проверять,   является   ли   данный   график   графиком   заданной   функции   (линейной, определять приближенные значения координат точки пересечения графиков функций; оперировать   на   базовом   уровне   понятиями:   последовательность,   арифметическая решать задачи на прогрессии, в которых ответ может быть получен непосредственным представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков; читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика; определять основные статистические характеристики числовых наборов; оценивать вероятность события в простейших случаях; иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях.   квадратичной, обратной пропорциональности);   прогрессия, геометрическая прогрессия;  подсчетом без применения формул. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств (наибольшие   и   наименьшие   значения,   промежутки   возрастания   и   убывания,   области положительных и отрицательных значений и т.п.);  учебных предметов. Статистика и теория вероятностей   Иметь   представление   о   статистических   характеристиках,   вероятности   случайного события, комбинаторных задачах;  перебора;      В повседневной жизни и при изучении других предметов:    прикладной задачи, изучения реального явления;   Текстовые задачи  Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;  строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;  условия к требованию или от требования к условию;    решение задачи;    величины, выделять эти величины и отношения между ними;  или процентное повышение величины;  В повседневной жизни и при изучении других предметов: знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки; решать задачи на нахождение части числа и числа по его части; решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три составлять план решения задачи;  выделять этапы решения задачи; интерпретировать   вычислительные   результаты   в   задаче,   исследовать   полученное оценивать количество возможных вариантов методом перебора; иметь представление о роли практически достоверных и маловероятных событий; сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях. находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение решать несложные логические задачи методом рассуждений. выдвигать  гипотезы  о возможных  предельных  значениях  искомых  в  задаче величин знать  примеры  математических   открытий  и   их  авторов,   в  связи  с  отечественной  и  (делать прикидку). История математики  Описывать   отдельные   выдающиеся   результаты,   полученные   в   ходе   развития математики как науки;  всемирной историей;  Методы математики   задач;  Приводить   примеры   математических   действительности и произведениях искусства. Выбирать подходящий изученный метод для решения изученных типов математических понимать роль математики в развитии России. закономерностей   в   окружающей   аксиома,   теорема, понятиями:   определение, Выпускник   получит   возможность   научиться   в   7­9   классах   для   обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углубленном уровнях Элементы теории множеств и математической логики  Оперировать2    множество, характеристики   множества,   элемент   множества,   пустое,   конечное   и   бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение, равенство множеств;  изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;  определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;   задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;  оперировать   понятиями:   высказывание,   истинность   и   ложность   высказывания, отрицание   высказываний,   операции   над   высказываниями:   и,   или,   не,   условные высказывания (импликации);  строить высказывания, отрицания высказываний. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;  использовать   множества, представление для описания реальных процессов и явлений. Числа  Оперировать   понятиями:   множество   натуральных   чисел,   множество   целых чисел,   множество   рациональных   чисел,   иррациональное   число,   квадратный   корень, множество   действительных   чисел,   геометрическая   интерпретация   натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;  понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;  выполнять   вычисления,   в   том   числе   с   использованием   приемов   рациональных вычислений;  выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;  сравнивать рациональные и иррациональные числа;  представлять рациональное число в виде десятичной дроби  упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;  находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач. 2 Здесь и далее – знать определение понятия, уметь пояснять его смысл, уметь использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении задач.   операции   с   множествами,   их   графическое В повседневной жизни и при изучении других предметов:  применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов;  выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений;  составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов;  записывать   и   округлять   числовые   значения   реальных   величин   с   использованием разных систем измерения. Тождественные преобразования  Оперировать понятиями степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;  выполнять преобразования целых выражений: действия с одночленами (сложение, вычитание,   умножение),   действия   с   многочленами   (сложение,   вычитание, умножение);  выполнять разложение многочленов на множители одним из способов: вынесение за скобку, группировка, использование формул сокращенного умножения;  выделять квадрат суммы и разности одночленов;  раскладывать на множители квадратный   трехчлен;  выполнять   преобразования   выражений,   содержащих   степени   с   целыми отрицательными   показателями,   переходить   от   записи   в   виде   степени   с   целым отрицательным показателем к записи в виде дроби;  выполнять преобразования дробно­рациональных выражений: сокращение дробей, приведение   алгебраических   дробей   к   общему   знаменателю,   сложение,   умножение, деление алгебраических дробей, возведение алгебраической дроби в натуральную и целую отрицательную степень;  выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни;  выделять   квадрат   суммы   или   разности   двучлена   в   выражениях,   содержащих квадратные корни;  выполнять преобразования выражений, содержащих модуль. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  выполнять   преобразования   и   действия   с   числами,   записанными   в   стандартном виде;  выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных предметов. Уравнения и неравенства  Оперировать   понятиями:   уравнение,   неравенство,   корень   уравнения,   решение неравенства,   равносильные   уравнения,   область   определения   уравнения   (неравенства, системы уравнений или неравенств);  решать   линейные   уравнения   и   уравнения,   сводимые   к   линейным   с   помощью тождественных преобразований;  решать квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным с помощью тождественных преобразований;  решать дробно­линейные уравнения;  решать простейшие иррациональные уравнения вида  ,  ;  f x  a  f x    g x   решать уравнения вида  ; nx a  решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;  использовать   метод   интервалов   для   решения   целых   и   дробно­рациональных неравенств;  решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;  решать несложные квадратные уравнения с параметром;  решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;  решать несложные уравнения в целых числах. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  составлять   и   решать   линейные   и   квадратные   уравнения,   уравнения,   к   ним сводящиеся,   системы   линейных   уравнений,   неравенств   при   решении   задач   других учебных предметов;  выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и квадратных уравнений и систем линейных уравнений и неравенств при решении задач других учебных предметов;  выбирать   соответствующие   уравнения,   неравенства   или   их   системы   для составления   математической   модели   заданной   реальной   ситуации   или   прикладной задачи;  уметь   интерпретировать   полученный   при   решении   уравнения,   неравенства   или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи. Функции  Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы   задания   функции,   аргумент   и   значение   функции,   область   определения   и множество   значений   функции,   нули   функции,   промежутки   знакопостоянства, монотонность функции, четность/нечетность функции;   строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности, функции вида:  y   a ,  k  x b y x , y 3 x y 3 x ,  ; y x  на примере квадратичной функции, использовать преобразования графика функции y=f(x) для построения графиков функций  ;  y  af kx b     c  составлять уравнения прямой по заданным условиям: проходящей через две точки с заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;  исследовать функцию по ее графику;  находить   множество   значений, монотонности квадратичной функции;  оперировать   понятиями:   последовательность,   арифметическая   прогрессия, геометрическая прогрессия;  решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  иллюстрировать   с   помощью   графика   реальную   зависимость   или   процесс   по   их характеристикам;  использовать   свойства   и   график   квадратичной   функции   при   решении   задач   из других учебных предметов.   промежутки   знакопостоянства,   нули, Текстовые задачи  Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;  использовать   разные   краткие   записи   как   модели   текстов   сложных   задач   для построения поисковой схемы и решения задач;  различать   модель   текста   и   модель   решения   задачи,   конструировать   к   одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;  знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);  моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф­схемы;  выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;  уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;  анализировать затруднения при решении задач;  выполнять   различные   преобразования   предложенной   задачи,   конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные;  интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;  анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;  исследовать   всевозможные   ситуации   при   решении   задач   на   движение   по   реке, рассматривать разные системы отсчета;  решать разнообразные задачи «на части»,   решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;  осознавать   и   объяснять   идентичность   задач   разных   типов,   связывающих   три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;  владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;  решать  задачи на  проценты, в  том  числе,  сложные проценты  с  обоснованием, используя разные способы;  решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;  решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решение;  решать несложные задачи по математической статистике;  овладеть   основными   методами   решения   сюжетных   задач:   арифметический, алгебраический,   перебор   вариантов,   геометрический,   графический,   применять   их   в новых по сравнению с изученными ситуациях. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные   от   реальных   (те,   от   которых   абстрагировались),   конструировать   новые ситуации   с   учетом   этих   характеристик,   в   частности,   при   решении   задач   на концентрации, учитывать плотность вещества;  решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;  решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета. Статистика и теория вероятностей   Оперировать понятиями: столбчатые  и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;  извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;  составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;  оперировать   понятиями:   факториал   числа,   перестановки   и   сочетания, треугольник Паскаля;  применять правило произведения при решении комбинаторных задач;  оперировать   понятиями:   случайный   опыт,   случайный   выбор,   испытание, элементарное   случайное   событие   (исход),   классическое   определение   вероятности случайного события, операции над случайными событиями;  представлять информацию с помощью кругов Эйлера;  решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью комбинаторики. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах,   на   диаграммах,   графиках,   отражающую   свойства   и   характеристики реальных процессов и явлений;  определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;  оценивать вероятность реальных событий и явлений. История математики  Характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей;  понимать роль математики в развитии России. Методы математики  Используя   изученные   методы, опровержение;  выбирать изученные методы и их комбинации для решения математических задач;  использовать   математические   знания   для   описания   закономерностей   в окружающей действительности и произведениях искусства;  применять  простейшие  программные  средства  и электронно­коммуникационные системы при решении математических задач. Выпускник   получит   возможность   научиться   в   7­9   классах   для   успешного продолжения образования на углубленном уровне Элементы теории множеств и математической логики  Свободно оперировать3  понятиями: множество, характеристики множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение, равенство множеств, способы задание множества;   3 Здесь и далее – знать определение понятия, знать и уметь доказывать свойства (признаки, если они есть) понятия, характеризовать связи с другими понятиями, представляя одно понятие как часть целостного комплекса, использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении задач. задавать множества разными способами; проверять выполнение характеристического свойства множества;   проводить   доказательство,   выполнять свободно   оперировать   понятиями:   высказывание, строить высказывания с использованием законов алгебры высказываний. находить НОД и НОК чисел разными способами и использовать их при решении задач; выполнять   вычисления   и   преобразования   выражений,   содержащих   действительные понимать и объяснять разницу между позиционной и непозиционной системами записи переводить числа из одной системы записи (системы счисления) в другую; доказывать и использовать признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 3, 6, 9, 10, 11 суммы и строить рассуждения на основе использования правил логики; использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для    истинность   и   ложность высказывания, сложные и простые высказывания, отрицание высказываний; истинность и ложность   утверждения   и   его   отрицания,   операции   над   высказываниями:   и,   или,   не; условные высказывания (импликации);  В повседневной жизни и при изучении других предметов:   описания реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов. Числа  Свободно оперировать понятиями: натуральное число, множество натуральных чисел, целое число, множество целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число, множество рациональных чисел, иррациональное число, корень степени   n,   действительное   число,   множество   действительных   чисел,   геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;  чисел;   произведения чисел при выполнении вычислений и решении задач;  выполнять округление рациональных и иррациональных чисел с заданной точностью;  сравнивать действительные числа разными способами;  упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби, числа, записанные с использованием арифметического квадратного корня, корней степени больше 2;   числа, в том числе корни натуральных степеней. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  выполнять и объяснять результаты сравнения результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений, используя разные способы сравнений;  использованием разных систем измерения;   практических задач и задач из других учебных предметов. Тождественные преобразования  Свободно оперировать понятиями степени с целым и дробным показателем;  выполнять доказательство свойств степени с целыми и дробными показателями;  оперировать понятиями «одночлен», «многочлен», «многочлен с одной переменной», «многочлен   с   несколькими   переменными»,   коэффициенты   многочлена,   «стандартная запись многочлена», степень одночлена и многочлена;   использованием комбинаций различных приемов;  использовать теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета, для поиска корней квадратного трехчлена и для решения задач, в том числе задач с параметрами на основе квадратного трехчлена;  свободно владеть приемами преобразования целых и дробно­рациональных выражений; выполнять   разложение   многочленов   на   множители   разными   способами,   с записывать,   сравнивать,   округлять   числовые   данные   реальных   величин   с составлять   и   оценивать   разными   способами   числовые   выражения   при   решении выполнять деление многочлена на многочлен с остатком; доказывать свойства квадратных корней и корней степени n; выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни, корни степени свободно   оперировать   понятиями   «тождество»,   «тождество   на   множестве»,   n;  «тождественное преобразование»;  выполнять   различные   преобразования   выражений,   содержащих   модули. владеть   разными   методами   решения   уравнений,   неравенств   и   их   систем,   уметь выполнять   преобразования   и   действия   с   буквенными   выражениями,   числовые выполнять   преобразования   рациональных   выражений   при   решении   задач   других выполнять   проверку   правдоподобия   физических   и   химических   формул   на   основе решать   разные   виды   уравнений   и   неравенств   и   их   систем,   в   том   числе   некоторые использовать   метод   интервалов   для   решения   неравенств,   в   том   числе   дробно­ решать   алгебраические   уравнения   и   неравенства   и   их   системы   с   параметрами знать теорему Виета для уравнений степени выше второй; понимать смысл теорем о равносильных и неравносильных преобразованиях уравнений В повседневной жизни и при изучении других предметов:  коэффициенты которых записаны в стандартном виде;  учебных предметов;  сравнения размерностей и валентностей. Уравнения и неравенства  Свободно оперировать понятиями: уравнение, неравенство, равносильные уравнения и неравенства,   уравнение,   являющееся   следствием   другого   уравнения,   уравнения, равносильные на множестве, равносильные преобразования уравнений;  уравнения 3 и 4 степеней, дробно­рациональные и иррациональные;   и уметь их доказывать;  выбирать метод решения и обосновывать свой выбор;  рациональных и включающих в себя иррациональные выражения;  алгебраическим и графическим методами;    системами. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  учебных предметов;  уравнений, неравенств и их систем при решении задач других учебных предметов;  учебных предметов;  или прикладную задачу, интерпретировать полученные результаты. Функции  Свободно   оперировать   понятиями:   зависимость,   функциональная   зависимость, зависимая   и   независимая   переменные,   функция,   способы   задания   функции,   аргумент   и значение функции, область определения и множество значения функции, нули функции, промежутки   знакопостоянства,   монотонность   функции,   наибольшее   и   наименьшее владеть разными методами доказательства неравенств; решать уравнения в целых числах; изображать   множества   на  плоскости,   задаваемые   уравнениями,   неравенствами   и   их составлять и решать уравнения и неравенства с параметрами при решении задач других составлять уравнение, неравенство или их систему, описывающие реальную ситуацию составлять и решать уравнения, неравенства, их системы при решении задач других выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении различных значения,   четность/нечетность   функции,   периодичность   функции,   график   функции, вертикальная, горизонтальная, наклонная асимптоты; график зависимости, не являющейся функцией,   разных значениях показателя степени,  строить графики функций: линейной, квадратичной, дробно­линейной, степенной при ; y x  использовать преобразования графика функции     для построения графиков y   f x  функций  y  af kx b   ;    c   арифметическая   прогрессия, использовать   метод   математической   индукции   для   вывода   формул,   доказательства анализировать свойства функций и вид графика в зависимости от параметров; свободно   оперировать   последовательность,   понятиями: исследовать последовательности, заданные рекуррентно; решать комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.     ограниченная последовательность,   монотонно   возрастающая   (убывающая)   последовательность,   предел последовательности,   геометрическая   прогрессия, характеристическое свойство арифметической (геометрической) прогрессии;   равенств и неравенств, решения задач на делимость;   В повседневной жизни и при изучении других предметов:  конструировать   и   исследовать   функции,   соответствующие   реальным   процессам   и явлениям,   интерпретировать   полученные   результаты   в   соответствии   со   спецификой исследуемого процесса или явления;  использовать графики зависимостей для исследования реальных процессов и явлений;  конструировать и исследовать функции при решении задач других учебных предметов, интерпретировать   полученные   результаты   в   соответствии   со   спецификой   учебного предмета. Статистика и теория вероятностей   Свободно   оперировать   понятиями:   столбчатые   и   круговые   диаграммы,   таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;  свойствам и целям анализа;   размещения, треугольник Паскаля;  свободно   оперировать   понятиями:   случайный   опыт,   случайный   выбор,   испытание, элементарное   случайное   событие   (исход),   классическое   определение   вероятности случайного   события,   операции   над   случайными   событиями,   основные   комбинаторные формулы;  свободно   оперировать   понятиями:   случайный   опыт,   случайный   выбор,   испытание, элементарное   случайное   событие   (исход),   классическое   определение   вероятности случайного   события,   операции   над   случайными   событиями,   основные   комбинаторные формулы;    знать примеры случайных величин, и вычислять их статистические характеристики; использовать формулы комбинаторики при решении комбинаторных задач; решать задачи на вычисление вероятности в том числе с использованием формул. вычислять числовые характеристики выборки; свободно   оперировать   понятиями:   факториал   числа,   перестановки,   сочетания   и выбирать   наиболее   удобный   способ   представления   информации,   адекватный   ее представлять информацию о реальных процессах и явлениях способом, адекватным ее оценивать вероятность реальных событий и явлений в различных ситуациях. Решать простые и сложные задачи, а также задачи повышенной трудности и выделять различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели знать и применять три способа поиска решения задач (от требования к условию и от анализировать затруднения при решении задач; выполнять   различные   преобразования   предложенной   задачи,   конструировать   новые моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф­схемы; выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа; уметь   выбирать   оптимальный   метод   решения   задачи   и   осознавать   выбор   метода, В повседневной жизни и при изучении других предметов:  свойствам и цели исследования;  анализировать и сравнивать статистические характеристики выборок, полученных в процессе   решения   прикладной   задачи,   изучения   реального   явления,   решения   задачи   из других учебных предметов;  Текстовые задачи  их математическую основу;  распознавать разные виды и типы задач;  использовать   разные   краткие   записи   как   модели   текстов   сложных   задач   и   задач повышенной   сложности   для   построения   поисковой   схемы   и   решения   задач,   выбирать оптимальную для рассматриваемой в задаче ситуации модель текста задачи;  решения сложных задач разные модели текста задачи;  условия к требованию, комбинированный);    рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;   задачи из данной, в том числе обратные;  решение задачи;  измененное преобразованное;  анализировать   всевозможные   ситуации   взаимного   расположения   двух   объектов   и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении   задач   на   движение   двух   объектов   как   в   одном,   так   и   в   противоположных направлениях, конструировать новые ситуации на основе изменения условий задачи при движении по реке;  рассматривать разные системы отсчета;   нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;  объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;  использовать их в новых ситуациях по отношению к изученным в процессе обучения;  разные способы;  блоками данных с помощью таблиц; интерпретировать   вычислительные   результаты   в   задаче,   исследовать   полученное изменять   условие   задач   (количественные   или   качественные   данные),   исследовать  решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя исследовать   всевозможные   ситуации   при   решении   задач   на   движение   по   реке, решать разнообразные задачи «на части»; решать   и   обосновывать   свое   решение   задач   (выделять   математическую   основу)   на владеть   основными   методами   решения   задач   на   смеси,   сплавы,   концентрации, решать   задачи   по   комбинаторике   и   теории   вероятностей   на   основе   использования решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета; конструировать задачные ситуации, приближенные к реальной действительности.  изученных методов и обосновывать решение;  решать несложные задачи по математической статистике;  овладеть   основными   методами   решения   сюжетных   задач:   арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях. В повседневной жизни и при изучении других предметов:  конструировать   новые   для   данной   задачи   задачные   ситуации   с   учетом   реальных характеристик,   в  частности,   при   решении   задач  на   концентрации,   учитывать   плотность вещества; решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;   История математики  Понимать   математику   как   строго   организованную   систему   научных   знаний,   в частности   владеть   представлениями   об   аксиоматическом   построении   геометрии   и первичными представлениями о неевклидовых геометриях;  развития науки, понимать роль математики в развитии России. Методы математики   утверждений и самостоятельно применять их;  задач изученных методов или их комбинаций;  природе, использовать математические закономерности в самостоятельном творчестве. рассматривать   математику   в   контексте   истории   развития   цивилизации   и   истории Владеть знаниями о различных методах обоснования и опровержения математических владеть навыками анализа условия задачи и определения подходящих для решения характеризовать произведения искусства с учетом математических закономерностей в Содержание учебного предмета математика Содержание   курсов   математики   5–6   классов,   алгебры   и   геометрии   7–9   классов объединено   как   в   исторически   сложившиеся   линии   (числовая,   алгебраическая, геометрическая,   функциональная   и   др.),   так   и   в   относительно   новые   (стохастическая линия,   «реальная   математика»).   Отдельно   представлена   линия   сюжетных   задач, историческая линия. Элементы теории множеств и математической логики Согласно   ФГОС   основного   общего   образования   в   курс   математики   введен   раздел «Логика», который не предполагает дополнительных часов на изучении и встраивается в различные   темы   курсов   математики   и   информатики   и   предваряется   ознакомлением   с элементами теории множеств.  Множества и отношения между ними Множество,   характеристическое   свойство   множества,   элемент   множества,   пустое, конечное,   бесконечное   множество.   Подмножество.   Отношение   принадлежности, включения,   равенства.   Элементы   множества,   способы   задания   множеств,   распознавание подмножеств и элементов подмножеств с использованием кругов Эйлера. Операции над множествами Пересечение   и   объединение   множеств.   Разность   множеств,   дополнение   множества. Интерпретация операций над множествами с помощью кругов Эйлера.  Высказывания Истинность и ложность высказывания. Сложные и простые высказывания. Операции над высказываниями с использованием логических связок: и, или, не. Условные высказывания (импликации).  Содержание курса математики в 7–9 классах Алгебра Числа Рациональные числа Множество   рациональных   чисел.   Сравнение   рациональных   чисел.   Действия   с рациональными числами. Представление рационального числа десятичной дробью.  Иррациональные числа Понятие   иррационального   числа.   Распознавание   иррациональных   чисел.   Примеры доказательств в алгебре. Иррациональность числа   . Применение в геометрии. Сравнение иррациональных чисел. Множество действительных чисел. Тождественные преобразования Числовые и буквенные выражения Выражение   с   переменной.   Значение   выражения.   Подстановка   выражений   вместо переменных.  Целые выражения Степень   с   натуральным   показателем   и   ее   свойства.   Преобразования   выражений, содержащих степени с натуральным показателем.  Одночлен, многочлен. Действия с одночленами и многочленами (сложение, вычитание, умножение).  Формулы  сокращенного  умножения:  разность  квадратов,   квадрат  суммы  и разности. Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка,   применение   формул   сокращенного   умножения.   Квадратный   трехчлен, разложение квадратного трехчлена на множители. Дробно­рациональные выражения Степень с целым показателем. Преобразование дробно­линейных выражений: сложение, умножение, деление. Алгебраическая дробь. Допустимые значения переменных в дробно­ рациональных   выражениях.   Приведение   Сокращение   алгебраических   дробей. алгебраических   дробей   к   общему   знаменателю.   Действия   с   алгебраическими   дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень. Преобразование выражений, содержащих знак модуля. Квадратные корни Арифметический   квадратный   корень.   Преобразование   выражений,   содержащих квадратные   корни:   умножение,   деление,   вынесение   множителя   из­под   знака   корня, внесение множителя под знак корня.  Уравнения и неравенства Равенства Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равенство с переменной.  Уравнения Понятие   уравнения   и   корня   уравнения.   Представление   о   равносильности   уравнений. Область определения уравнения (область допустимых значений переменной). Линейное уравнение и его корни Решение линейных уравнений. Линейное уравнение с параметром. Количество корней линейного уравнения. Решение линейных уравнений с параметром. Квадратное уравнение и его корни Квадратные   уравнения.   Неполные   квадратные   уравнения.  Дискриминант   квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Решение квадратных уравнений:использование формулы для нахождения корней,   графический   метод   решения,   разложение   на   множители,   подбор   корней   с использованием теоремы Виета. Количество корней квадратного уравнения в зависимости от   его   дискриминанта.   Биквадратные   уравнения.   Уравнения,   сводимые   к   линейным   и квадратным. Квадратные уравнения с параметром. Дробно­рациональные уравнения Решение   простейших   дробно­линейных   уравнений.   Решение   дробно­рациональных уравнений.  Методы   решения   уравнений:   методы   равносильных   преобразований,   метод   замены переменной, графический метод. Использование свойств функций при решении уравнений. Простейшие иррациональные уравнения вида   ,   f x  a  .  f x    g x  Уравнения вида nx a .Уравнения в целых числах. Системы уравнений Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными. Прямая как графическая интерпретация линейного уравнения с двумя переменными.  Понятие системы уравнений. Решение системы уравнений.  Методы   решения   систем   линейных   уравнений   с   двумя   переменными:   графический метод, метод сложения, метод подстановки.  Системы линейных уравнений с параметром. Неравенства Числовые   неравенства.   Свойства   числовых   неравенств.   Проверка   справедливости неравенств при заданных значениях переменных.  Неравенство   с   переменной.   Строгие   и   нестрогие   неравенства.   Область   определения неравенства (область допустимых значений переменной). Решение линейных неравенств. Квадратное неравенство и его решения. Решение квадратных неравенств: использование свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов. Запись решения квадратного неравенства. Решение целых и дробно­рациональных неравенств методом интервалов. Системы неравенств Системы   неравенств   с   одной   переменной.   Решение   систем   неравенств   с   одной переменной:   линейных,   квадратных.   Изображение   решения   системы   неравенств   на числовой прямой. Запись решения системы неравенств. Функции Понятие функции Декартовы координаты на плоскости. Формирование представлений о метапредметном понятии   «координаты».   Способы   задания   функций:   аналитический,   графический, табличный.   График   функции.   Примеры   функций,   получаемых   в   процессе   исследования различных   реальных   процессов   и   решения   задач.   Значение   функции   в   точке.   Свойства функций: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, четность/нечетность,   промежутки   возрастания   и   убывания,   наибольшее   и   наименьшее значения. Исследование функции по ее графику.  Представление об асимптотах. Непрерывность функции. Кусочно заданные функции. Линейная функция Свойства и график линейной функции. Угловой коэффициент прямой. Расположение графика  линейной функции в зависимости от ее углового  коэффициента и свободного члена.   Нахождение   коэффициентов   линейной   функции   по   заданным   условиям: прохождение прямой через две точки с заданными координатами, прохождение прямой через данную точку и параллельной данной прямой. Квадратичная функция Свойства   и   график   квадратичной   функции   (парабола).   Построение   графика квадратичной функции по точкам. Нахождение нулей квадратичной функции, множества значений, промежутков знакопостоянства, промежутков монотонности. Обратная пропорциональность Свойства функции    . Гипербола.  y  k x Графики   функций.   Преобразование   графика   функции       для   построения y  ( ) f x графиков функций вида   y  af kx b   .   c Графики функций  y   a  , k  x b y x  ,  ,  y x  .  y 3 x Последовательности и прогрессии Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей. Бесконечные последовательности.   Арифметическая   прогрессия   и   ее   свойства.   Геометрическая прогрессия.   Формула   общего   члена   и   суммы   n   первых   членов   арифметической   и геометрической прогрессий. Сходящаяся геометрическая прогрессия. Решение текстовых задач Задачи на все арифметические действия Решение   текстовых   задач   арифметическим   способом.   Использование   таблиц,   схем, чертежей, других средств представления данных при решении задачи.  Задачи на движение, работу и покупки Анализ   возможных   ситуаций   взаимного   расположения   объектов   при   их   движении, соотношения объемов выполняемых работ при совместной работе.  Задачи на части, доли, проценты Решение   задач   на   нахождение   части   числа   и   числа   по   его   части.   Решение   задач   на проценты и доли. Применение пропорций при решении задач. Логические задачи Решение логических задач. Решение логических задач с помощью графов, таблиц.  Основные   методы   решения   текстовых   задач:  арифметический,   алгебраический, перебор   вариантов.   Первичные   представления   о   других   методах   решения   задач (геометрические и графические методы). Статистика и теория вероятностей Статистика Табличное и графическое представление данных, столбчатые и круговые диаграммы, графики, применение диаграмм и графиков для описания зависимостей реальных величин, извлечение информации из таблиц, диаграмм и графиков. Описательные статистические показатели   числовых   наборов:   среднее   арифметическое,   медиана,   наибольшее   и наименьшее значения. Меры рассеивания: размах, дисперсия и стандартное отклонение.  Случайная   изменчивость.   Изменчивость   при   измерениях.   Решающие   правила. Закономерности в изменчивых величинах. Случайные события Случайные   опыты   (эксперименты),   элементарные   случайные   события   (исходы). Вероятности   элементарных   событий.   События   в   случайных   экспериментах   и благоприятствующие элементарные события. Вероятности случайных событий. Опыты с равновозможными   элементарными   событиями.   Классические   вероятностные   опыты   с использованием   монет,   кубиков.   Представление   событий   с   помощью   диаграмм   Эйлера. Противоположные   события,   объединение   и   пересечение   событий.   Правило   сложения вероятностей. Случайный выбор. Представление эксперимента в виде дерева. Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий. Последовательные независимые испытания. Представление о независимых событиях в жизни. Элементы комбинаторики Правило   умножения,   перестановки,   факториал   числа.   Сочетания   и   число   сочетаний. Формула   числа   сочетаний.   Треугольник   Паскаля.   Опыты   с   большим   числом равновозможных   элементарных   событий.   Вычисление   вероятностей   в   опытах   с применением   комбинаторных   формул.   Испытания   Бернулли.   Успех   и   неудача. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.  Случайные величины Знакомство со случайными величинами на примерах конечных дискретных случайных величин.   Свойства математического ожидания. Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей. Применение   закона   больших   чисел   в   социологии,   страховании,   в   здравоохранении, обеспечении безопасности населения в чрезвычайных ситуациях.   Распределение   вероятностей.   Математическое   ожидание. История математики Возникновение   математики   как   науки,   этапы   ее   развития.   Основные   разделы математики. Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки. Бесконечность множества простых чисел. Числа и длины отрезков. Рациональные числа. Потребность в иррациональных числах. Школа Пифагора Зарождение   алгебры   в   недрах   арифметики.   Ал­Хорезми.   Рождение   буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений степеней, больших четырех. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н.Х. Абель, Э. Галуа. Появление   метода   координат,   позволяющего   переводить   геометрические   объекты   на язык алгебры. Появление графиков функций. Р. Декарт, П. Ферма. Примеры различных систем координат. Задача   Леонардо   Пизанского   (Фибоначчи)   о   кроликах,   числа   Фибоначчи.   Задача   о шахматной доске. Сходимость геометрической прогрессии. Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма, Б.Паскаль, Я. Бернулли, А.Н.Колмогоров. Роль   российских   ученых   в   развитии   математики:   Л.   Эйлер.   Н.И.   Лобачевский, П.Л.Чебышев, С. Ковалевская, А.Н. Колмогоров.  Математика   в   развитии   России:   Петр   I,   школа   математических   и   навигацких   наук, развитие российского флота, А.Н. Крылов. Космическая программа и М.В. Келдыш. Содержание курса математики в 7­9 классах (углубленный уровень) Алгебра Числа Рациональные числа Сравнение   рациональных   чисел.   Действия   с   рациональными   числами.   Конечные   и бесконечные десятичные дроби. Представление рационального числа в виде десятичной дроби.  Иррациональные числа Понятие   иррационального   числа.   Распознавание   иррациональных   чисел.   Действия   с иррациональными   числами.   Свойства   действий   с   иррациональными   числами.   Сравнение иррациональных чисел. Множество действительных чисел. Представления о расширениях числовых множеств.  Тождественные преобразования Числовые и буквенные выражения Выражение   с   переменной.   Значение   выражения.   Подстановка   выражений   вместо переменных.  Законы арифметических действий. Преобразования числовых выражений, содержащих степени с натуральным и целым показателем.  Многочлены Одночлен, степень одночлена. Действия с одночленами. Многочлен, степень многочлена. Значения   многочлена.   Действия   с   многочленами:   сложение,   вычитание,   умножение, деление.   Преобразование   целого   выражения   в   многочлен.   Формулы   сокращенного умножения:   разность   квадратов,   квадрат   суммы   и   разности.   Формулы   преобразования суммы и разности кубов, куб суммы и разности. Разложение многочленов на множители: вынесение   общего   множителя   за   скобки,   группировка,   использование   формул сокращенного умножения. Многочлены с одной переменной. Стандартный вид многочлена с одной переменной.  Квадратный   трехчлен.   Корни   квадратного   трехчлена.   Разложение   на   множители квадратного   трехчлена.   Теорема   Виета.   Теорема,   обратная   теореме   Виета.   Выделение полного квадрата. Разложение на множители способом выделения полного квадрата.  Понятие тождества Тождественное преобразование. Представление о тождестве на множестве. Дробно­рациональные выражения Алгебраическая   дробь.   Преобразования   выражений,   содержащих   степени   с   целым показателем.   Допустимые   значения   переменных   в   дробно­рациональных   выражениях. Сокращение   алгебраических   дробей.   Приведение   алгебраических   дробей   к   общему знаменателю. Действия с алгебраическими дробями: сложение, умножение, деление.  Преобразование выражений, содержащих знак модуля. Иррациональные выражения Арифметический квадратный корень. Допустимые значения переменных в выражениях, содержащих арифметические квадратные корни. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.  Корни   n­ых  степеней.   Допустимые   значения  переменных   в  выражениях,  содержащих корни n­ых степеней. Преобразование выражений, содержащих корни n­ых степеней.  Степень с рациональным показателем. Преобразование выражений, содержащих степень с рациональным показателем. Уравнения  Равенства Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равенство с переменной. Уравнения Понятие уравнения и корня уравнения. Представление о равносильности уравнений и уравнениях­следствиях. Представление   о   равносильности   на   множестве.   Равносильные   преобразования уравнений. Методы решения уравнений Методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод. Использование свойств функций при решении уравнений, использование теоремы Виета для уравнений степени выше 2. Линейное уравнение и его корни Решение   линейных   уравнений.   Количество   корней   линейного   уравнения.   Линейное уравнение с параметром. Квадратное уравнение и его корни Дискриминант   квадратного   уравнения.   Формула   корней   квадратного   уравнения. Количество   действительных   корней   квадратного   уравнения.   Решение   квадратных уравнений: графический метод решения, использование формулы для нахождения корней, разложение на множители, подбор корней с использованием теоремы Виета. Биквадратные уравнения.   Уравнения,   сводимые   к   линейным   и   квадратным.   Квадратное   уравнение   с параметром.   Решение   простейших   квадратных   уравнений   с   параметрами.   Решение некоторых типов уравнений 3 и 4 степени.  Дробно­рациональные уравнения Решение дробно­рациональных уравнений.  Простейшие иррациональные уравнения вида:  решение. Решение иррациональных уравнений вида    ;      и их  f x    g x  ;  f x  a .  f x    g x  Системы уравнений Уравнение   с   двумя   переменными.   Решение   уравнений   в   целых   числах.   Линейное уравнение   с   двумя   переменными.   Графическая   интерпретация   линейного   уравнения   с двумя переменными.  Представление   о   графической   интерпретации   произвольного   уравнения   с   двумя переменными: линии на плоскости.  Понятие системы уравнений. Решение систем уравнений.  Представление о равносильности систем уравнений.  Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными графический метод, метод сложения, метод подстановки. Количество решений системы линейных уравнений. Система линейных уравнений с параметром.  Системы нелинейных уравнений. Методы решения систем нелинейных уравнений. Метод деления, метод замены переменных. Однородные системы.  Неравенства Числовые   неравенства.   Свойства   числовых   неравенств.   Проверка   справедливости неравенств при заданных значениях переменных.  Неравенство   с   переменной.   Строгие   и   нестрогие   неравенства.   Доказательство неравенств. Неравенства о средних для двух чисел. Понятие о решении неравенства. Множество решений неравенства. Представление о равносильности неравенств. Линейное   неравенство   и   множества   его   решений.   Решение   линейных   неравенств. Линейное неравенство с параметром. Квадратное неравенство и его решения. Решение квадратных неравенств: использование свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов. Запись решения квадратного неравенства. Квадратное неравенство с параметром и его решение.  Простейшие   иррациональные   неравенства   вида:  f x  a ; ;  f x  a .  f x    g x  Обобщенный метод интервалов для решения неравенств. Системы неравенств Системы   неравенств   с   одной   переменной.   Решение   систем   неравенств   с   одной переменной: линейных, квадратных, дробно­рациональных, иррациональных. Изображение решения системы неравенств на числовой прямой. Запись решения системы неравенств. Неравенство с двумя переменными. Представление о решении линейного неравенства с двумя   переменными.   Графическая   интерпретация   неравенства   с   двумя   переменными. Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными. Функции Понятие зависимости Прямоугольная   система   координат.   Формирование   представлений   о   метапредметном понятии «координаты». График зависимости. Функция Способы задания функций: аналитический, графический, табличный. График функции. Примеры функций, получаемых в процессе исследования различных процессов и решения задач. Значение  функции  в  точке.  Свойства  функций:  область  определения,  множество значений,   нули,   промежутки   знакопостоянства,   четность/нечетность,   возрастание   и убывание, промежутки монотонности, наибольшее и наименьшее значение, периодичность. Исследование функции по ее графику.  Линейная функция Свойства,   график.   Угловой   коэффициент   прямой.   Расположение   графика   линейной функции в зависимости от ее коэффициентов. Квадратичная функция Свойства. Парабола. Построение графика квадратичной функции. Положение графика квадратичной   функции   в   зависимости   от   ее   коэффициентов.   Использование   свойств квадратичной функции для решения задач. Обратная пропорциональность Свойства функции    . Гипербола. Представление об асимптотах.  y  k x Степенная функция с показателем 3 Свойства. Кубическая парабола.  Функции , , y x y x y 3 x .Их   свойства   и   графики.   Степенная   функция   с показателем степени больше 3. Преобразование   графиков   функций:   параллельный   перенос,   симметрия, растяжение/сжатие, отражение.  Представление о взаимно обратных функциях.  Непрерывность функции и точки разрыва функций. Кусочно заданные функции. Последовательности и прогрессии Числовая   последовательность.   Бесконечные   последовательности. Арифметическая  прогрессия  и  ее  свойства.  Геометрическая  прогрессия.  Суммирование первых   членов   арифметической   и   геометрической   прогрессий.   Сходящаяся   Сумма   сходящейся   геометрической   прогрессии. геометрическая   прогрессия. Гармонический ряд. Расходимость гармонического ряда.    Примеры. Метод математической индукции, его применение для вывода формул, доказательства равенств и неравенств, решения задач на делимость. Решение текстовых задач Задачи на все арифметические действия Решение   текстовых   задач   арифметическим   способом.   Использование   таблиц,   схем, чертежей, других средств представления данных при решении задачи. Решение задач на движение, работу, покупки Анализ   возможных   ситуаций   взаимного   расположения   объектов   при   их   движении, соотношения объемов выполняемых работ при совместной работе.  Решение задач на нахождение части числа и числа по его части Решение задач на проценты, доли, применение пропорций при решении задач. Логические задачи Решение логических задач. Решение логических задач с помощью графов, таблиц.  Основные методы решения задач Арифметический,   алгебраический,   перебор   вариантов.   Первичные   представления   о других методах решения задач (геометрические и графические методы). Статистика и теория вероятностей Статистика Табличное и графическое представление данных, столбчатые и круговые диаграммы, извлечение нужной информации. Диаграммы рассеивания. Описательные статистические показатели:   среднее   арифметическое,   медиана,   наибольшее   и   наименьшее   значения числового набора. Отклонение. Случайные выбросы. Меры рассеивания: размах, дисперсия и стандартное отклонение. Свойства среднего арифметического и дисперсии. Случайная изменчивость.   Изменчивость   при   измерениях.   Решающие   правила.   Закономерности   в изменчивых величинах. Случайные опыты и случайные события Случайные   опыты   (эксперименты),   элементарные   случайные   события   (исходы). Вероятности   элементарных   событий.   События   в   случайных   экспериментах   и благоприятствующие элементарные события. Вероятности случайных событий. Опыты с равновозможными   элементарными   событиями.   Классические   вероятностные   опыты   с использованием   монет,   кубиков.   Представление   событий   с   помощью   диаграмм   Эйлера. Противоположные   события,   объединение   и   пересечение   событий.   Правило   сложения вероятностей. Случайный выбор. Независимые события. Последовательные независимые испытания.   Представление   эксперимента   в   виде   дерева,   умножение   вероятностей. Испытания до первого успеха. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Элементы комбинаторики и испытания Бернулли Правило   умножения,   перестановки,   факториал.   Сочетания   и   число   сочетаний. Треугольник   Паскаля   и   бином   Ньютона.   Опыты   с   большим   числом   равновозможных элементарных   событий.   Вычисление   вероятностей   в   опытах   с   применением   элементов комбинаторики.   Испытания   Бернулли.   Успех   и   неудача.   Вероятности   событий   в   серии испытаний Бернулли.  Геометрическая вероятность Случайный   выбор   точки   из   фигуры   на   плоскости,   отрезка   и   дуги   окружности. Случайный выбор числа из числового отрезка. Случайные величины Дискретная   случайная   величина   и   распределение   вероятностей.   Равномерное дискретное  распределение.  Геометрическое  распределение  вероятностей.  Распределение Бернулли.   Биномиальное   распределение.   Независимые   случайные   величины.   Сложение, умножение случайных величин. Математическое ожидание и его свойства. Дисперсия и стандартное   отклонение   случайной   величины;   свойства   дисперсии.   Дисперсия   числа успехов   в   серии   испытаний   Бернулли.   Понятие   о   законе   больших   чисел.   Измерение вероятностей   и   точность   измерения.   Применение   закона   больших   чисел   в   социологии, страховании,   в   здравоохранении,   обеспечении   безопасности   населения   в   чрезвычайных ситуациях.  История математики Возникновение   математики   как   науки,   этапы   ее   развития.   Основные   разделы математики. Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки. Бесконечность множества простых чисел. Числа и длины отрезков. Рациональные числа. Потребность в иррациональных числах. Школа Пифагора Зарождение   алгебры   в   недрах   арифметики.   Ал­Хорезми.   Рождение   буквенной символики. П. Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений степеней, больших четырех. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н.Х. Абель, Э.Галуа. Появление   метода   координат,   позволяющего   переводить   геометрические   объекты   на язык алгебры. Появление графиков функций. Р. Декарт, П. Ферма. Примеры различных координат. Задача   Леонардо   Пизанского   (Фибоначчи)   о   кроликах,   числа   Фибоначчи.   Задача   о шахматной доске. Сходимость геометрической прогрессии. Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма, Б. Паскаль, Я. Бернулли, А.Н. Колмогоров. № Название  раздела  (темы)  программы Выражения,  тождества,  уравнения Тематическое планирование (на уровень основного общего образования) по алгебре 7­9 класс Количество часов Практическая часть (количество часов)  Содержательные единицы программы  Планируемые  результаты  Контр.раб оты Практич.  работы Зачеты  Лабораторные работы 7 класс «Алгебра» 26 2 Расширение множества  натуральных чисел до  множества целых,  множества целых чисел до  множества рациональных.  Рациональное число как  отношение    т/п, где т —  целое число, а п —  натуральное число. Выпускник научится:  Описывать множество  целых чисел, множество рациональных чисел,  соотношение между  этими множествами. Сравнивать и  упорядочивать  рациональные числа,  выполнять вычисления  с рациональными  числами, Выполнять  элементарные знаково­ символические  действия: применять  буквы для обозначения  чисел, для записи  общих утверждений;  составлять буквенные  выражения по  условиям, заданным  словесно, рисунком или чертежом;  преобразовывать алгебраические суммы  и произведения  (выполнять приведение  подобных слагаемых,  раскрытие скобок,  упрощение  произведений). Вычислять числовое  значение буквенного  выражения; Выпускник  получит возможность:  понимать сущности  алгоритмических  предписаний и умение  действовать в  соответствии с  предложенным  алгоритмом. Понимать и  использовать  математические  средства наглядности  (диаграммы, таблицы,  схемы и др.) для  иллюстрации,  интерпретации,  аргументации. Выпускник научится:  Находить значение  функции по заданному  значению аргумента;  находить значение  Функции 18 1 Свойства и график линейной функции. Угловой  коэффициент прямой.  Расположение графика  линейной функции в зависимости от ее углового  коэффициента и свободного  члена. Нахождение  коэффициентов линейной  функции по заданным  условиям: прохождение  прямой через две точки с  заданными координатами,  прохождение прямой через данную точку и  параллельной данной  прямой. аргумента по заданному значению функции в  несложных ситуациях; определять положение  точки по ее  координатам,  координаты точки по ее положению на  координатной  плоскости; строить  график линейной  функции; проверять,  является ли данный  график графиком  заданной функции  линейной,  квадратичной, обратной пропорциональности;  определять  приближенные значения координат точки  пересечения графиков  функций; Выпускник  получит возможность:  использовать графики  реальных процессов и  зависимостей для  определения их свойств (наибольшие и  наименьшие значения,  промежутки  возрастания и 18 1 Степень с  натуральным  показателем Степень с натуральным  показателем и ее свойства.  Преобразования выражений,  содержащих степени с  натуральным показателем. убывания, области  положительных и  отрицательных  значений и т.п.); использовать свойства  линейной функции и ее  график при решении  задач из других  учебных предметов. Выпускник научится:  выполнять несложные  преобразования для  вычисления значений  числовых выражений,  содержащих степени с  натуральным  показателем, степени с  целым отрицательным  показателем; выполнять несложные  преобразования целых  выражений: раскрывать  скобки, приводить  подобные слагаемые;  Выпускник получит  возможность: понимать  смысл записи числа в  стандартном виде;  оперировать на базовом уровне понятием  «стандартная запись  числа». Многочлены 23 2 23 2 Формулы  сокращенного умножения Одночлен, многочлен.  Действия с одночленами и  многочленами (сложение,  вычитание, умножение). Формулы сокращенного  умножения: разность  квадратов, квадрат суммы и  разности. Разложение  многочлена на множители:  вынесение общего  множителя за скобки,  группировка, применение  формул сокращенного  умножения. Выпускник научится:  выполнять несложные  преобразования целых  выражений: раскрывать  скобки, приводить  подобные слагаемые;  Выпускник получит  возможность: понимать  смысл записи числа в  стандартном виде;  оперировать на базовом уровне понятием  «стандартная запись  числа». Выпускник научится:  использовать формулы  сокращенного  умножения (квадрат  суммы, квадрат  разности, разность  квадратов) для  упрощения вычислений  значений выражений;  выполнять несложные  преобразования  дробно­линейных  выражений и  выражений с  квадратными корнями. Выпускник получит  возможность: понимать смысл записи числа в стандартном виде;  оперировать на базовом уровне понятием  «стандартная запись  числа». Выпускник научится:  решать системы  несложных линейных  уравнений; проверять,  является ли данное  число решением  уравнения Выпускник получит  возможность:  составлять и решать  линейные уравнения  при решении задач,  возникающих в других  учебных предметах. Уравнение с двумя  переменными. Линейное  уравнение с двумя  переменными. Прямая как  графическая  интерпретация линейного  уравнения с двумя  переменными.  Понятие системы уравнений. Решение системы уравнений. Методы решения систем  линейных уравнений с двумя переменными: графический  метод, метод сложения,  метод подстановки. 17 1 Системы  линейных  уравнений 8 1 2 Повторение Итоговый  зачет Итоговая  контрольная  работа Итого 136 10