Рабочая тетрадь для практических работ рекомендован для преподавателей математики и студентов 2 курса, обучающихся по специальностям 210709 ,210723, 210705.
Рабочая тетрадь для практических работ является частью методического обеспечения учебного процесса и направлена на приобретение практических навыков при решении прикладных задач; содержит двадцать пять практических работ и примерные вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» 2 курс.
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
для практических работ
по дисциплине «Математика»
для студентов 2 курс
специальностей:
210709 Многоканальные телекоммуникационные системы
210723 Сети связи и системы коммутации
210705 Средства связи с подвижными объектами
Студент__________________________
Группа___________________________
Преподаватель:___________________
Оценк
а
№ П/Р
Роспись
преподавате
ля
№ П/Р
Оценк
Роспись
а
преподавате
ля
№ П/Р
Оценк
Роспись
а
преподавате
ля
№ П/Р
Оценк
Роспись
а
преподавате
ля
№ П/Р
Оценк
Роспись
а
преподавате
ля
1
6
11
16
21
2
7
12
17
22
3
8
13
18
23
4
9
14
19
24
5
10
15
20
252018 г.
Рабочая тетрадь для практических работ рекомендован для преподавателей
математики и студентов 2 курса, обучающихся по специальностям 210709 ,210723,
210705.
Рабочая тетрадь для практических работ является частью методического
обеспечения учебного процесса и направлена на приобретение практических навыков
при решении прикладных задач; содержит двадцать пять практических работ и
примерные вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» 2 курс.Дата _______________
Практическая работа №1.
Тема: Вычисление пределов функции в точке.
Цель работы: овладеть навыками вычисления пределов функции в точке.
Вопросы допуска:
1. Сформулировать определение предела функции в точке?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
____________________________
2. Как раскрывается неопределенность 0/0?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_____________________
3. Чему равен предел константы?
______________________________________________________________________
_______
Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Вычислить пределы
Вариант 3
1.
2.
функций:
при
2
3
xx
814
lim
2
472
xx
а) x0=2; б) x0=4
xx
0
Вычислить пределы
функций:
1.
2
352
xx
lim
2
1543
xx
xx
0
x
37
lim2
x
2
x
.
x
при а) x0=2; б) x0=3
2.
x
lim4
x
x
71
4
x
Вариант 2
Вычислить пределы
функций:
1.
2.
2
4
xx
25
lim
2
152
xx
при а) x0=2; б) x0=5
25
25
xx
0
x
lim1
35
x
1
x
x
Вариант 4
Вычислить пределы
функций:
1.
2
274
xx
lim
2
2
xx
6
xx
0
при а) x0=0; б) x0=2
2.
x
lim2
62
x
2
x
x
Вариант 5
Вычислить пределы
функций:
1.
2
352
xx
lim
2
xx
65
xx
0
при а) x0=3; б) x0=3
2.
x
lim5
x
x
91
5
x
Вариант 6
Вычислить пределы
функций:
1.
2
11
3
xx
lim
2
252
xx
10
xx
0
при а) x0=3; б) x0=2
x
lim2
73
2
x
2.
x
x
Решение:
ВариантКонтрольные вопросы:
1. Пределы суммы, произведения и частного двух функций?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________
2. Какая функция называется бесконечно большой?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________
3. Какая функция называется бесконечно малой?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________
4. Какая функция называется ограниченной?__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________
5. Перечислить свойства бесконечно малых функций?
_________________________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_________________________________________________
Дата_________________
Тема: Вычисление пределов функции на бесконечности.
Практическая работа №2.
Цель работы:
овладеть навыками вычисления пределов функции на
бесконечности.
Вопросы допуска:
1.Что называется пределом функции на бесконечность?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________
__________________________________________________________________________
________
2. Какие виды неопределенностей вы знаете?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________
3. Понятие бесконечно малой величины?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________
Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вычислить пределы
Вычислить пределы
Вычислить пределы
1.
2.
3.
1.
2.
3.
функций:
14
x
x
7
8
4
2
x
3
lim 2
2
x
x
lim
x
2
2
7
2
x
x
26
3
x
x
8
28
функций:
2
x
lim 2
x
4
2
25
x
x
15
25
25
1.
x
2.
5
26
x
3
x
4
28
2
x
7
2
x
2
lim
x
3.
lim
x
x
2
2
x
2
15
15
x
x
4
25
50
1.
2.
3.
2
2
x
lim 2
3
x
x
функций:
5
x
4
x
3
15
lim
x
2
3
x
2
x
2
5
x
3
x
3
6
5
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вычислить пределы
Вычислить пределы
Вычислить пределы
lim
x
2
x
4
2
x
2
функций:
7
x
x
2
6
lim
x
6
x
3
4
x
13
2
8
x
x
3
7
5
1.
2.
3.
функций:
5
x
5
x
3
6
2
2
x
lim 2
x
x
5
1
lim
x
2
x
5
x
2
3
3
x
x
2
1.
2.
3.
функций:
lim
x
2
x
3
2
x
x
11
2
5
x
10
2
lim
x
4
x
3
x
5
5
3
x
2
x
2
1
1
2
15
x
3
x
7
6
4
lim
x
3
x
7
5
x
4
Решение:
ВариантКонтрольные вопросы:
1. Пределы суммы, произведения и частного двух функций?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________________
2.
Понятие бесконечно большой величины?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________3. Понятие предела функции в точке?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________4. Правила раскрытия неопределенности
.?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________
5. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величинами?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________
Дата____________
Практическая работа №3.
Цель работы: овладеть навыками вычисления замечателых пределов.
Тема: Замечательные пределы.Вопросы допуска:
1.Что называется пределом функции в точке?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________
2. Как раскрывается неопределенность
?
1
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________
3. Первый замечательный предел?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________
Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Вычислить пределы функций:
1.
2.
. 3.
lim
0
x
x
2sin
x
x
tg
4
x
2
lim
x
2
x
lim
x
x
x
3
2
Вариант 3
Вычислить пределы функций:
3.
1.
2.
lim
x
1(
x
)
lim
0
x
1
x
x
6sin
x
5
1
3
x
2
lim
1
x
Вариант 5
x
Вычислить пределы функций:
2.
1.
lim
0
x
3
x
5sin
x
x
ctg
7
4
x
lim
x
2
3.
.
x
lim
x
x
x
3
7
1.
1.
1.
Вариант 2
Вычислить пределы функций:
2.
lim
0
x
x
4
tg
5
x
x
ctg
5
4
x
lim
x
2
3.
x
lim
x
x
x
8
3
Вариант 4
Вычислить пределы функций:
lim
x
1(
1
x
x
)
2.
lim
0
x
x
sin
tg
5
x
3.
x
1
lim
5
x
x
Вариант 6
Вычислить пределы функций:
2.
3.
lim
x
1(
1
x
2
x
)
lim
0
x
x
3sin
x
6
.
1
2
x
lim
1
4
x
x
Решение:
ВариантКонтрольные вопросы
1. Как выглядит второй замечательный предел?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________
2. Какие замечательные пределы вы еще знаете?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________
__________________________________________________________________________
________
Дата____________Практическая работа №4.
Тема: Нахождение производных функций.
Цель работы: приобрести навыки вычисления производной функции.
Вопросы допуска:
1. Сформулировать определение производной функции в точке?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________
2.Сформулировать геометрический смысл производной?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________________
3. Сформулировать физический смысл производной?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
________________________________________
а)
б)
в)
функций:
y
3
5
10
x
8
x
5
6
x
4
x
2
11
x
x
;
5
2
x
7
4
x
6
3
x
1
2
2
x
3
3
2
x
26
x
y
;
.
1
3
2. Найти производные сложных
функций:
а)
б)
y= cos 2 (e 2x 3+ 3x 2 + 11 )
;
y=−e 4x+ ln ( x 2− x )
.
Вариант 3
1. Найти производные следующих
функций:
Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
1. Найти производные следующих
;
2
x
11
x
37
3
2
;
функций:
y
1
2
6
x
4
3
x
3
2
x
2
x
3
x
13
4
x
y
5
x
8
1
3
а)
б)
в)
.
y
cos
3
(
xx
5
x
)11
2. Найти производные сложных
функций:
а)
б)
y=ln 2(5 x+ 1+ e x )
;
y=− x e+ tgln(8x 2+ 5x)
.
Вариант 2
1. Найти производные следующих
x
3
2
5
x
26
y
cos
x
(
6
x
2
5
x
2
x
)7а)
б)
в)
y=5x 5− 3
4
x 4+ x 3−5x 2+ x−1
;
y
5
2
x
3
4
4
x
x
3
2
3
3
4
x
x
y
tgx
(
x
3
2
2
x
;
1
2
x
15
2
x
5
x
.
)
1
x
а)
б)
функций:
y=cos3(( x+ 1)2+ 15x)
;
y =− 5 4x 2+ 2x + sin (ln2x )
.
1. Найти производные следующих
функций:
4
x
3
2
x
52
x
2
x
12
;
y
1
4
а)
б)
в)
;
y
6
2
x
x
x
2
5
x
10
15
2. Найти производные сложных
а)
б)
функций:
y=ln 3( ln 5 x)
;
y=− x 4x+ 1+ cos( sinx )
.
2. Найти производные сложных
y= sinx ( x 3− 4x 2+ x )
.
.
Вариант 4
1. Найти производные следующих
функций:
Решение:
;
2
x
2
x
8
Вариант 6
1. Найти производные следующих
а)
б)
в)
y
3
6
x
3
x
4
1
2
6
x
4
y
x
3
3
x
2
3
x
3
2
x
13
6
y=cosx (2x 3− 2x2− x+ 3)
;
x
11
.
2. Найти производные сложных
а)
б)
функций:
y = ln 2(2 2x 2− x + 1+ e 2x)
.
y=− x 3+ tgln ( x 2+ 5)
;
Вариант 5
Решение:
Вариант
7
x
9
7
x
53
x
2
6
x
12
;
функций:
y
5
4
;
5
x
4
10
х
11
x
y
2
x
x
2
а)
б)
в)
y= sinx ( x 3− 4x 2+ x )
2. Найти производные сложных
функций:
;
y=ln 3( ln 5 x)
а)
б)
.Контрольные вопросы:1. Сформулировать правила дифференцирования?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________
2. Записать таблица производных?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_______________________________________________________________
3. Записать понятие сложной функции?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________________________________________
4. Чему равна производная сложной функции?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
5. Записать уравнение касательной к графику функции?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
Дата_________________
Тема: Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Практическая работа №5.
Цель работы: приобрести навыки вычисления дифференциала функции.Вопросы допуска:
1. Сформулировать определение производной функции в точке?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
____________________________
2. Сформулировать определения дифференциала функции первого порядка?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
3. Сформулировать определение дифференциала второго порядка?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
1. Вычислить приближенное значение функции y=x34x2+5x+3 при x=1,03 c
применением дифференциала функции.
2. Найти приближенное значение (9,01)3 с помощью дифференциала.
3.Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
1
2
004,1
.
_______________________________________________________________________
______
Вариант 2
1. Вычислить приближенное значение функции y=(1+x)(1x) при x=9,9 (с
использованием дифференциала функции).
2. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
(4,012)2.
3. Найти приближенное значение приращения функции y=
, при x=25,
2
x
4
dx=0,01.
_______________________________________________________________________
______
Вариант 3
1. Вычислить значение дифференциала функции
при x=3,
.
02,0x
y
1
21
x2. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
.
006,1
3.Найти приближенное значение приращения функции у=х
∆х=0,001.
3
2х+1 при х=2 и
_______________________________________________________________________
____
Вариант 4
1. Вычислить приближенное значение приращения функции y=x3x+5 при
изменении аргумента от 2 до 2,01.
2. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
.
84,24
3. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала: ln 0,99.
Вариант 5
1. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
.
1
004
,1
2. Найти приближенное значение приращения функции y=x3x2, при x=2, dx=0,01.
3. Найти приближенное значение приращения функции y = x2 – 2x, при изменении
аргумента от 3 до 3,01.
_______________________________________________________________________
__
Вариант 6
1. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:
.
1
002
,1
2. Найти приближенное значение приращения функции y=2x3x2, при x=3,
dx=0,02.
3. Найти приближенное значение приращения функции y = 3x2 – 2x, при
изменении аргумента от 3 до 3,01.
Решение:
ВариантКонтрольные вопросы:
1. Записать чему равен дифференциал аргумента?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
______________
8.2. Записать формулу для простейших приближенных вычислений?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
______________
3. Записать формулу для простейших приближенных вычислений степенной
функции?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
4. Записать формулу для простейших приближенных вычислений корня nой
степени?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
8.5. Записать формулу для простейших приближенных вычислений для sinх?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
Дата _______________Тема: Нахождение неопределенного интеграла методом непосредственного
Практическая работа №6.
интегрирования.
Цель работы: приобрести навыки нахождения неопределенного интеграла
методом непосредственного интегрирования.
Вопросы допуска:
1.Что называется первообразной?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
2. Первообразная элементарных функций?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________
3. Что называется неопределенным интегралом?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
____________________________
Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Найдите следующие интегралы.
1.
; 2.
1(
x 2)
dx
5(
cos
х
8
5
х
2
х
)4
dx
Вариант 2
Найдите следующие интегралы.
1.
; 2.
;
2(
x
2)3
dx
dx
x
3.
dx
7(
)3
x
; 4.
dx
x 4
3.
4.
sin5(
x
6
2
x
)6
dx
;
.
dx
6(
)3
x
Вариант 3
Найдите следующие интегралы.
Вариант 4
Найдите следующие интегралы.
1.
; 2.
;
1.
( 2
x
)(4
x
)1
dx
; 2.
;
dx
x 23.
; 4.
.
3.
xdx
sin
; 4.
.
dx
e x
(
)5
Вариант 5
Найдите следующие интегралы.
Вариант 6
Найдите следующие интегралы.
1.
3.
; 2.
;
2(
x
2)1
dx
x 2
x
dx
e x
(
x
)3
dx
; 4.
xdx
cos
1.
3.
; 2.
dx
x 3
(
3
x
2
4
x
dxx
)3
; 4.
dxx3
.
(cos
x
7
5
x
)
dx
Решение:
ВариантКонтрольные вопросы:
1. Таблица интегралов?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________
2. Основные свойства неопределенного интеграла?___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
____________________________
3. Какие методы интегрирования вы знаете?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
5. В чем заключается метод интегрирование по частям?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
Дата _______________
Практическая работа №7
Тема: Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки.
Цель работы: приобрести навыки нахождения неопределенного интеграла
методом подстановки.
Вопросы допуска:
1.Сформулировать определение неопределенного интеграла?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
2. В чем заключается интегрирование методом подстановки?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
Найдите следующие
интегралы.
Вариант 2
Найдите следующие
интегралы.
;
1.
2.
3.
4.
x 3)27(
dx
;
1.
x 4)52(
dx
;
3(
x
dx
)1
2.
;
3
dx
3( x
2)5
2
х
3
4(
x
10
dxx
)
.
sin
x cos
dxx
;
3.
4.
x
x
e
;
.
2
(
x
3
)1
dx
x
(
e
dx
)1
Вариант 3
Найдите следующие
интегралы.
1.
;
dx
2( x
2)4
2.
3
4
3)24(
x
;
dx
3.
3
x
4.
4
3(
x
)2
dx
cos
x
sin
1
x
dx
;
.
Вариант 4
Найдите следующие
интегралы.
;
dx
3)1
5( x
;
2)6
dx
3
x
(
Вариант 5
Найдите следующие
интегралы.
1.
;
Вариант 6
Найдите следующие
интегралы.
1.
;
4)2
dx
3(
x
2.
3
2)27(
x
;
dx
4(
2.
x
8)1
dx
;
2)3
dx
3
x
4(
;
3
4)51(
x
;
3.
dx
.
cos
x
1
x
sin2
dx
dx
x
4.
x 12
dx
x
1(
ln
3.
x
(
x
3
2
2
)1
;
dx
.
4.
.
x
)
3
x
e
3
x
1
dx
e
1.
2.
3.
4.
Решение:
ВариантДата _______________
Тема: Нахождение неопределенного интеграла методом по частям.
Практическая работа №8.
Цель работы: приобрести навыки нахождения неопределенного интеграла
методом по частям.
Вопросы допуск:
1.Сформулировать определение неопределенного интеграла?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
2. В чем заключается метод интегрирование по частям?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
3. Таблица интегралов?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________
Задание:
Выполните задание согласно варианту.Вариант 1
Найдите следующие
Вариант 2
Найдите следующие
интегралы.
Вариант 3
Найдите следующие
интегралы.
1.
2.
3.
4.
интегралы.
;
xdx
ln
;
3(
x
2sin)4
xdx
;
dx
xe x2
.
x cos
xdx
1.
2.
3.
4.
)52(
x cos
xdx
;
ex x32
dx
;
arctgxdx
.
x sin2
xdx
;
1.
2.
3.
4.
;
xdx
x ln
;
5(
x
sin)4
xdx
;
x
dx
2
ex
.
2
x cos
xdx
Вариант 4
Найдите следующие
интегралы.
;
x ln3
xdx
Вариант 5
Найдите следующие
интегралы.
1.
;
x
2
ln
xdx
Вариант 6
Найдите следующие
интегралы.
1.
;
xdx
x ln
2(
x
sin)1
xdx
;
2.
6(
x
sin)2
xdx
;
2.
;
3(
x
sin)5
xdx
;
dx
xe x3
.
x
cos
2
xdx
3.
4.
;
dx
2
xe x
.
4
x cos
xdx
3.
4.
;
x
dx
4
ex
.
3
x cos
xdx
1.
2.
3.
4.
Решение:
ВариантДата _______________
Практическая работа №9.
Тема: Вычисление определенного интеграла.
Цель работы: приобрести навыки вычисления определенного интеграла.
Вопросы допуска
1.Сформулировать определение неопределенного интеграла?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
2. Сформулировать определение определенного интеграла?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
3. Записать основные свойства определенного интеграла?
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
____________________________
Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 3
Вычислить определенные
интегралы.
1.
;
Вариант 1
Вычислить
определенные
интегралы.
1.
;
1
xe x
dx
0
2.
Вариант 2
Вычислить
определенные
интегралы.
1.
1 dxx
1
0
2.
;
dx
x
4
1
2
x
1
6
6
dx
221
x
0
;
;
2.
3
4
xdx
2
sin
x
;
34
dx
2
64 x
4
3.
4.
33
4
3
4
4
dx
216
9
x
;
3.
3.
;
)
2
dx
4.
3
x
sin(
3
2
9
.
4.
4
dx
2
2x
x
1
10
.
1
dx
3x
1
3
1
1
;
2
xdx
2 1
.
x
dx
1 x
2
2
3
1
2
Вариант 4
Вычислить
определенные
интегралы.
1.
Вариант 5
Вычислить
определенные
интегралы.
1.
;
4
2
1
4
1
8
2.
3.
3
x
(
x
8(
2
3
x
dx
)
;
2)1
dx
2.
sin
0
;
3.
dx
x
3
(
2
)
4
2
0
dxx
sin
16
1
dxx
2
dx
6( x
0
2)4
Вариант 6
Вычислить определенные
интегралы.
1.
;
9
18
sin
dx
2 3
x
;
;
2.
3.
;
4
dx
2
25 x
3
;
ln xdx
3
14.
4.
.
4
7
dx
3x
4
2(
3
6
4.
cos
x
sin5
x
)
dx
.
dx
xe x
1
0
Решение:
ВариантКонтрольные вопросы:
1. Записать формулу НьютонаЛейбница?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
2. Замена переменных в определенном интеграле?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
3. Описать метод интегрирование по частям в определенном интеграле?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
____________________________
4. Таблица интегралов?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
________________________________________________________
Дата _______________
Практическая работа №10.
Тема: Вычисление площадей плоских фигур и объема тела вращения с
помощью определенных интегралов.
Цель работы: приобрести навыки вычисления площадей плоских фигур и объема
тела вращения с помощью определенных интегралов.
Вопросы допуска:
1. Записать формулу НьютонаЛейбница?
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
_____________________
2. Записать определение криволинейной трапеции?___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________
чертеж
3. Записать формулу вычисления площади криволинейной трапеции?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_____________________
Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж).
y = x
; y = 9.
2
2. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из
осей координат (сделать чертеж).
у = x
, ось OX.
x43
2x
4
_______________________________________________________________________
______
Вариант 2
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж).
y = е
, x = 0,5; x = 1; y = 0.
x2
2. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из
осей координат (сделать чертеж).
y =
; y = 1, y = 5, ось OY.
_____________________________________________________________________________
Вариант 3
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж).
y =
; x = 1; x = 5.
2
x
2. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной
из осей координат (сделать чертеж).
y = sinx, 0
, ось OX.
Пx
_______________________________________________________________________
______
Вариант 4
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж).
y= sinx; x =
; y = 0.
; x =
П
4
П
3
2. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из
осей координат (сделать чертеж).
y = 3x, y = 2, y = 4, ось OY.
_________________________________________________________________________
_______
Вариант 5
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж).
y = lnx; x =
; x = е; y = 0.
1
е
2. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из
y =
осей координат (сделать чертеж).
; x[
;2], ось OX.
1
x
1
2
_________________________________________________________________________
_______
Вариант 6
1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж).
y =6xx
; x = 1; x = 3; y = 0.
2
2. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из
осей координат (сделать чертеж).
Y = x
; x[0;1], ось OY.
2
_____________________________________________________________________________Решение:
ВариантКонтрольные вопросы:
1. Как вычисляются площади плоских фигур?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
__________________________________________
2. Как вычисляются объем тел вращения?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
________________________________________________________
Дата _______________
Практическая работа №11.
Тема: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными.
Цель работы: приобрести навыки решения дифференциальных уравнений с
разделяющимися переменными.
Вопросы допуска:
1. Записать определение дифференциального уравнения?
___________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
____________________________
2. Записать определение дифференциального уравнения с разделяющими
переменными?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
____________________________
3. От чего зависит порядок дифференциального уравнения?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
____________________________
Задание:
Выполните задание согласно варианту.
Вариант 1
1. Найти общие решения уравнений:
а)
;
dyxdxy
0)1()1(
2
3
б)
x 2 dx=3 y 2 dy
.
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным
условиям:
.
y dy = x dx ; y = 4 при x =− 2
_______________________________________________________________________
______
Вариант 2
1. Найти общие решения уравнений:
а)
;
0ln)4( 2
ydy
ydx
x
.
б)
√ x dy=√ y dx
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным
условиям:
x dy = y dx ; y = 6 при x = 2
_______________________________________________________________________
.
______
Вариант 3
1. Найти общие решения уравнений:
а)
cos ydy
0sinsin
cos
x
xydx
;б)
(1+ y ) dx =( x − 1 ) dy
.
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным
условиям:
.
dy
y 2 ; y= 2 при x=0
x 2 =dx
_______________________________________________________________________
______
Вариант 4
1. Найти общие решения уравнений:
а)
;
sinln 3
x
ydy
0cos
б)
ydx
.
xy dx =(1+ x 2) dy
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным
условиям:
.
(1+ y ) dx =(1 − x ) dy ; y = 3 при x =− 2
_______________________________________________________________________
______
Вариант 5
1. Найти общие решения уравнений:
а)
;
22
0)()(
dyxyxdxyxy
22
б)
y 2 dx+ ( x− 2) dy =0
.
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным
условиям:
y dy = x dx ; y = 4 при x =− 2
_______________________________________________________________________
2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным
условиям:
.
.
______
Вариант 6
1. Найти общие решения уравнений:
а)
;
sin 2
0cos4
xdx
yxdy
б)
(1+ y 2) dx =√ x dy
.
=dx
dy
y− 2
x−1
Решение:
; y= 4 при x=0
ВариантКонтрольные вопросы:
1. Дать понятие дифференциального уравнения 1го порядка?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
____________________________ 2. Понятие дифференциального уравнения nго
порядка?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
____________________________3. Понятие общего решения дифференциального
уравнения nго порядка?
РТ_Математика.docx
