РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ для практических занятий по дисциплине Математика, 12курс

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ для практических работ по дисциплине «Математика» для студентов  2 курс  специальностей: 210709­ Многоканальные телекоммуникационные системы 210723­ Сети связи и системы коммутации 210705­ Средства связи с подвижными объектами Студент__________________________ Группа___________________________ Преподаватель:___________________ Оценк а № П/Р Роспись  преподавате ля № П/Р Оценк Роспись  а преподавате ля             № П/Р Оценк Роспись  а преподавате ля             № П/Р Оценк Роспись  а преподавате ля             № П/Р Оценк Роспись  а преподавате ля 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 2018 г. Рабочая тетрадь для практических работ рекомендован для преподавателей  математики и студентов 2 курса, обучающихся по специальностям  210709 ,210723,  210705. Рабочая   тетрадь   для   практических   работ   является   частью     методического обеспечения учебного процесса и направлена на приобретение практических навыков при   решении   прикладных   задач;   содержит   двадцать   пять   практических   работ   и примерные вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» 2 курс. Дата _______________ Практическая работа №1. Тема: Вычисление пределов функции в точке. Цель работы: овладеть навыками вычисления пределов функции в точке. Вопросы допуска: 1. Сформулировать определение предела функции в точке? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ____________________________ 2. Как раскрывается неопределенность 0/0? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _____________________ 3. Чему равен предел константы? ______________________________________________________________________ _______ Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 1 Вычислить пределы  Вариант 3 1.  2.  функций:  при  2 3 xx 814 lim  2 472 xx а) x0=2; б) x0=4  xx 0 Вычислить пределы  функций: 1.     2 352 xx lim  2 1543 xx  xx 0 x  37 lim2   x 2 x . x при а) x0=2; б) x0=3 2.  x lim4   x x  71 4 x Вариант 2 Вычислить пределы  функций: 1.  2.     2 4 xx 25 lim  2 152 xx при а) x0=2; б) x0=5 25 25  xx 0 x lim1  35  x  1 x x Вариант 4 Вычислить пределы  функций: 1.     2 274 xx lim  2 2 xx 6  xx 0 при а) x0=0; б) x0=2 2.   x lim2  62  x 2 x x Вариант 5 Вычислить пределы  функций: 1.     2 352 xx lim  2 xx 65  xx 0 при а) x0=3; б) x0=­3 2.  x lim5   x x  91 5 x Вариант 6 Вычислить пределы  функций: 1.   2 11 3 xx lim  2 252 xx 10  xx 0  при а) x0=­3; б) x0=­2  x lim2  73 2 x 2.   x x Решение: Вариант Контрольные вопросы:   1. Пределы суммы, произведения и частного двух функций? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________   2. Какая функция называется бесконечно большой? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________   3. Какая функция называется бесконечно малой? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________ 4. Какая функция называется ограниченной? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________  5. Перечислить свойства бесконечно малых функций? _________________________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _________________________________________________    Дата_________________ Тема: Вычисление пределов функции на бесконечности. Практическая работа №2. Цель   работы:  овладеть   навыками   вычисления   пределов   функции   на бесконечности. Вопросы допуска:     1.Что называется пределом функции на бесконечность? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________________ __________________________________________________________________________ ________     2. Какие виды неопределенностей вы знаете? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________________   3. Понятие бесконечно малой величины? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________ Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вычислить пределы Вычислить пределы Вычислить пределы 1.  2.    3. 1.  2.  3.  функций:     14 x x 7  8  4 2 x 3 lim 2 2 x  x lim  x 2 2 7 2 x x   26 3 x x   8 28 функций:   2 x lim 2 x 4 2    25 x x 15   25 25 1.  x 2.       5  26 x   3 x  4 28 2 x 7 2 x 2 lim  x     3.  lim  x x 2 2 x 2  15  15 x x 4   25 50 1.  2.  3.  2 2 x lim 2 3 x  x функций:    5 x  4 x 3 15         lim  x 2 3 x 2 x 2  5 x  3 x 3   6 5 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вычислить пределы Вычислить пределы Вычислить пределы lim  x 2 x 4 2 x 2 функций:      7 x  x 2 6         lim  x 6 x 3 4 x  13  2 8 x x 3  7  5 1.  2.  3.  функций:     5 x   5 x 3 6 2 2 x lim 2 x  x             5 1 lim  x 2 x 5 x 2  3  3 x x 2   1.  2.  3.  функций: lim  x 2 x 3 2 x  x 11  2 5 x   10 2 lim  x 4 x 3 x 5 5   3 x 2 x 2         1 1         2 15 x 3 x 7  6  4 lim  x 3 x 7 5 x 4 Решение: Вариант Контрольные вопросы: 1. Пределы суммы, произведения и частного двух функций? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________________________ 2. Понятие бесконечно большой величины? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________3. Понятие предела функции в точке? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________       ________________________________4. Правила раскрытия неопределенности  .? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________ 5. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величинами? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________________    Дата____________ Практическая работа №3. Цель работы: овладеть навыками вычисления замечателых пределов. Тема: Замечательные пределы. Вопросы допуска: 1.Что называется пределом функции в точке? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________  2. Как раскрывается неопределенность  ? 1 __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________     3. Первый замечательный предел? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________ Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 1 Вычислить пределы функций:  1.      2.   . 3.  lim 0 x x 2sin x x tg 4 x 2 lim   x 2 x   lim   x x x   3 2    Вариант 3 Вычислить пределы функций: 3. 1. 2. lim   x 1( x ) lim 0 x 1 x x 6sin x 5 1 3  x    2   lim 1 x    Вариант 5 x Вычислить пределы функций:   2.   1.  lim 0 x 3 x 5sin x x ctg 7 4 x lim   x 2  3.  .  x   lim   x x x   3 7    1.     1. 1.  Вариант 2 Вычислить пределы функций:   2.   lim 0 x x 4 tg 5 x x ctg 5 4 x lim   x 2    3.  x   lim   x x x   8 3    Вариант 4 Вычислить пределы функций: lim   x 1( 1 x x )     2. lim 0 x x sin tg 5 x    3.  x    1 lim   5 x    x Вариант 6 Вычислить пределы функций:   2.    3.  lim   x 1( 1 x 2 x ) lim 0 x x 3sin x 6 .  1 2 x    lim 1   4 x    x Решение: Вариант Контрольные вопросы 1. Как выглядит второй замечательный предел? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________ 2. Какие замечательные пределы вы еще знаете? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________ __________________________________________________________________________ ________ Дата____________ Практическая работа №4. Тема: Нахождение производных функций.  Цель работы: приобрести навыки вычисления производной функции. Вопросы допуска:        1. Сформулировать определение  производной  функции в точке? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________________ 2.Сформулировать геометрический смысл производной? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________________________         3. Сформулировать физический смысл производной? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ________________________________________ а)  б)  в)  функций: y  3 5 10 x  8 x  5 6 x  4 x  2 11 x  x ; 5 2 x  7 4 x  6 3 x 1 2  2 x  3 3 2 x  26 x y  ; . 1 3 2. Найти производные сложных  функций: а) б) y= cos 2 (e 2x 3+ 3x 2 + 11 ) ; y=−e 4x+ ln ( x 2− x ) . Вариант 3 1. Найти производные следующих  функций:  Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 1 1. Найти производные следующих  ; 2 x  11 x  37 3 2 ; функций: y  1 2 6 x  4 3 x  3 2 x  2 x  3 x  13 4 x y  5 x   8 1 3 а)  б)  в)  . y  cos 3 ( xx  5 x  )11 2. Найти производные сложных  функций: а) б) y=ln 2(5 x+ 1+ e x ) ; y=− x e+ tgln(8x 2+ 5x) . Вариант 2 1. Найти производные следующих  x 3  2 5 x  26 y  cos x ( 6 x  2 5 x  2 x  )7 а)  б)  в)  y=5x 5− 3 4 x 4+ x 3−5x 2+ x−1 ; y  5 2 x  3 4 4 x x 3   2 3 3 4 x x y  tgx ( x 3  2 2 x  ;  1  2 x 15 2 x 5 x .   ) 1 x а) б) функций: y=cos3(( x+ 1)2+ 15x) ; y =− 5 4x 2+ 2x + sin (ln2x ) . 1. Найти производные следующих  функций: 4 x  3 2 x  52 x 2  x 12 ; y  1 4 а)  б)  в)  ; y  6 2 x x   x 2 5 x   10 15 2. Найти производные сложных  а) б) функций: y=ln 3( ln 5 x) ; y=− x 4x+ 1+ cos( sinx ) . 2. Найти производные сложных  y= sinx ( x 3− 4x 2+ x ) . . Вариант 4 1. Найти производные следующих  функций: Решение: ; 2 x  2 x  8 Вариант 6 1. Найти производные следующих  а)   б)  в)  y  3 6 x  3 x 4  1 2 6 x  4 y  x 3 3 x  2 3  x 3 2 x  13  6 y=cosx (2x 3− 2x2− x+ 3) ; x  11 . 2. Найти производные сложных  а) б) функций: y = ln 2(2 2x 2− x + 1+ e 2x) . y=− x 3+ tgln ( x 2+ 5) ; Вариант 5 Решение: Вариант 7 x  9 7 x  53 x 2  6 x  12 ; функций: y  5 4 ; 5  x  4  10 х  11 x y  2 x x 2 а)  б)  в)  y= sinx ( x 3− 4x 2+ x ) 2. Найти производные сложных  функций: ; y=ln 3( ln 5 x) а) б)    . Контрольные вопросы: 1. Сформулировать правила дифференцирования? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________ 2. Записать таблица производных? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _______________________________________________________________ 3. Записать понятие сложной функции? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ __________________________________________   4. Чему равна производная сложной функции? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________   5. Записать уравнение касательной к графику функции? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________ Дата_________________ Тема: Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Практическая работа №5. Цель работы: приобрести навыки вычисления дифференциала функции. Вопросы допуска: 1. Сформулировать определение производной функции в точке? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________ 2. Сформулировать определения дифференциала функции первого порядка? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________ 3. Сформулировать определение дифференциала второго порядка? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________  Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 1 1. Вычислить приближенное значение функции y=x3­4x2+5x+3 при x=1,03 c  применением дифференциала функции. 2. Найти приближенное значение  (9,01)3  с помощью дифференциала. 3.Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:    1   2 004,1 . _______________________________________________________________________ ______ Вариант 2 1. Вычислить приближенное значение функции  y=(1+x)(1­x) при x=9,9 (с  использованием дифференциала функции). 2. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:  (4,012)2. 3. Найти приближенное значение приращения функции y= , при    x=25,  2 x 4 dx=0,01. _______________________________________________________________________ ______ Вариант 3 1. Вычислить значение дифференциала функции    при x=3,  . 02,0x y  1  21 x 2. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:   . 006,1 3.Найти приближенное значение приращения функции у=х ∆х=0,001.  3 ­2х+1 при х=2 и  _______________________________________________________________________ ____ Вариант 4 1. Вычислить приближенное значение приращения функции y=x3­x+5 при  изменении аргумента от 2 до 2,01. 2. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:  . 84,24 3. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:  ln 0,99. Вариант 5 1. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:    . 1 004 ,1 2. Найти приближенное значение приращения функции y=x3­x2, при    x=2, dx=0,01. 3. Найти приближенное значение приращения функции y = x2 – 2x, при изменении  аргумента от 3 до 3,01.  _______________________________________________________________________ __ Вариант 6 1. Найти приближенное значение выражения с помощью дифференциала:    . 1 002 ,1 2. Найти приближенное значение приращения функции y=2x3­x2, при    x=3,  dx=0,02. 3. Найти приближенное значение приращения функции y = 3x2 – 2x, при  изменении аргумента от 3 до 3,01.  Решение: Вариант Контрольные вопросы:  1. Записать чему равен дифференциал аргумента? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ______________   8.2. Записать формулу для простейших приближенных вычислений? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ______________   3. Записать формулу для простейших приближенных вычислений степенной  функции? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________   4. Записать формулу для простейших приближенных вычислений корня n­ой  степени? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________   8.5. Записать формулу для простейших приближенных вычислений для sinх? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________ Дата _______________ Тема: Нахождение неопределенного интеграла методом непосредственного Практическая работа №6. интегрирования. Цель   работы:  приобрести   навыки   нахождения   неопределенного   интеграла методом непосредственного интегрирования.  Вопросы допуска: 1.Что называется первообразной? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________           2. Первообразная элементарных функций? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________  3. Что называется неопределенным интегралом? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________ Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 1 Найдите следующие интегралы. 1.  ;   2.    1( x 2) dx  5( cos х  8 5 х  2 х  )4 dx Вариант 2 Найдите следующие интегралы. 1.  ;     2.  ;   2( x 2)3 dx dx  x 3.    dx 7( )3 x ;          4.    dx x 4 3.  4.   sin5( x   6 2 x  )6 dx ;    .   dx 6( )3 x Вариант 3 Найдите следующие интегралы. Вариант 4 Найдите следующие интегралы. 1.  ;        2.  ; 1.   ( 2 x  )(4 x  )1 dx ;         2.  ;   dx x 2 3.  ;                   4.  . 3.   xdx sin ;                4.  .   dx e x ( )5 Вариант 5 Найдите следующие интегралы. Вариант 6 Найдите следующие интегралы. 1.  3.  ;           2.  ;   2( x 2)1 dx   x 2 x dx   e x ( x )3 dx ;           4.   xdx cos 1.  3.  ;          2.    dx x 3  ( 3 x  2 4 x  dxx )3 ;              4.  dxx3 .  (cos x  7 5 x ) dx Решение: Вариант Контрольные вопросы: 1. Таблица интегралов? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________ 2. Основные свойства неопределенного интеграла? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________ 3. Какие методы интегрирования вы знаете? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________ 4. В чем заключается метод непосредственного интегрирования? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________   5. В чем заключается метод интегрирование по частям?    ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________ Дата _______________ Практическая работа №7 Тема: Нахождение неопределенного интеграла методом подстановки.  Цель работы: приобрести навыки нахождения неопределенного интеграла  методом подстановки.   Вопросы допуска: 1.Сформулировать определение неопределенного интеграла? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________          2. В чем заключается интегрирование методом подстановки?  ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________   ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________ Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 1 Найдите следующие  интегралы. Вариант 2 Найдите следующие  интегралы. ;              1.  2.  3.  4.    x 3)27( dx ;               1.    x 4)52( dx ;  3( x  dx )1  2.  ;  3 dx  3( x 2)5 2  х 3 4( x  10 dxx ) .  sin x cos dxx ;      3.  4.   x x  e ; . 2 ( x  3 )1 dx x ( e  dx )1 Вариант 3 Найдите следующие  интегралы. 1.  ;       dx  2( x 2)4    2.  3 4   3)24( x ; dx 3.  3 x      4.  4 3( x  )2 dx cos x   sin 1 x dx ;      . Вариант 4 Найдите следующие  интегралы. ;              dx   3)1 5( x ; 2)6 dx 3 x  ( Вариант 5 Найдите следующие  интегралы. 1.  ;          Вариант 6 Найдите следующие  интегралы. 1.  ;        4)2 dx   3( x 2. 3   2)27( x ; dx  4(    2.  x  8)1 dx ;  2)3 dx 3 x 4( ;            3   4)51( x ;        3.  dx . cos x  1 x sin2 dx dx x 4.  x 12 dx   x 1( ln 3.  x ( x 3 2  2 )1 ;        dx .    4.  . x ) 3 x e 3 x  1 dx e 1.  2.  3.  4.  Решение: Вариант Дата _______________ Тема: Нахождение неопределенного интеграла методом по частям. Практическая работа №8. Цель работы: приобрести навыки нахождения неопределенного интеграла  методом по частям. Вопросы допуск: 1.Сформулировать определение неопределенного интеграла? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________          2. В чем заключается метод интегрирование по частям?  ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________   ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________ 3. Таблица интегралов? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________ Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 1 Найдите следующие  Вариант 2 Найдите следующие  интегралы. Вариант 3 Найдите следующие  интегралы. 1.  2.  3.  4.  интегралы. ;           xdx ln ;   3( x 2sin)4 xdx ;   dx xe x2 .  x cos xdx 1.  2.  3.  4.    )52( x cos xdx ; ex x32 dx ;    arctgxdx .  x sin2 xdx ;        1.  2.  3.  4.  ;           xdx x ln ;   5( x sin)4 xdx ; x  dx 2 ex .  2 x cos xdx Вариант 4 Найдите следующие  интегралы. ;           x ln3 xdx Вариант 5 Найдите следующие  интегралы. 1.  ;           x 2 ln xdx Вариант 6 Найдите следующие  интегралы. 1.  ;           xdx x ln   2( x sin)1 xdx ; 2.    6( x sin)2 xdx ; 2.  ;   3( x sin)5 xdx ;  dx xe x3 .  x cos 2 xdx 3.  4.  ;  dx 2 xe x .  4 x cos xdx 3.  4.  ; x  dx 4 ex .  3 x cos xdx 1.  2.  3.  4.  Решение: Вариант Дата _______________ Практическая работа №9. Тема: Вычисление определенного интеграла. Цель работы: приобрести навыки вычисления определенного интеграла. Вопросы допуска 1.Сформулировать определение неопределенного интеграла? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________ 2. Сформулировать определение определенного интеграла? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________  3.  Записать основные свойства определенного интеграла? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________ Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 3 Вычислить определенные  интегралы. 1.  ;               Вариант 1 Вычислить  определенные  интегралы. 1.  ;            1   xe x dx 0    2.  Вариант 2 Вычислить  определенные  интегралы. 1.    1 dxx 1 0 2.  ; dx x 4 1 2 x 1 6 6 dx   221 x 0 ;                ; 2.   3  4 xdx  2 sin x ; 34 dx   2 64 x 4 3.  4.  33 4 3 4 4 dx   216 9 x ;           3.  3.  ;        ) 2 dx 4.   3 x sin( 3  2 9 .  4.  4 dx   2 2x x 1 10 . 1 dx  3x 1 3 1   1  ;           2 xdx   2 1 . x dx   1 x 2 2 3 1 2 Вариант 4 Вычислить  определенные  интегралы. 1.  Вариант 5 Вычислить  определенные  интегралы. 1.  ;          4 2 1 4 1 8 2.  3.  3 x  ( x  8( 2 3 x dx ) ; 2)1 dx    2.    sin 0 ; 3. dx x 3 (  2  ) 4  2 0 dxx sin 16  1 dxx 2 dx   6( x 0 2)4 Вариант 6 Вычислить определенные  интегралы. 1.  ;            9  18  sin dx 2 3 x ; ; 2.  3.  ; 4 dx   2 25 x 3 ;               ln xdx 3 1 4.  4.  . 4 7 dx   3x 4  2(  3  6  4.  cos x  sin5 x ) dx . dx   xe x 1 0 Решение: Вариант Контрольные вопросы: 1. Записать формулу Ньютона­Лейбница? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________  2. Замена переменных в определенном интеграле? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________ 3.  Описать метод интегрирование по частям в определенном интеграле? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________   4. Таблица интегралов? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ________________________________________________________ Дата _______________ Практическая работа №10. Тема:   Вычисление   площадей   плоских   фигур   и   объема   тела   вращения   с помощью определенных интегралов. Цель работы: приобрести навыки вычисления площадей плоских фигур и объема  тела вращения с помощью определенных интегралов. Вопросы допуска: 1. Записать формулу Ньютона­Лейбница? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ _____________________  2. Записать определение криволинейной трапеции? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________ чертеж   3. Записать формулу вычисления  площади криволинейной трапеции? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ _____________________ Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 1 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж).  y = x ; y = 9. 2 2. Вычислить объем тела, полученного  вращением плоской фигуры вокруг одной из  осей координат (сделать чертеж).  у = x , ось OX. x43  2x 4 _______________________________________________________________________ ______ Вариант 2 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж). y = е , x = 0,5; x = 1; y = 0. x2 2. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из  осей координат (сделать чертеж).  y =  ; y = 1, y = 5, ось OY. _______________________________________________________________________ ______ Вариант 3 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж). y = ­ ; x = 1; x = 5. 2 x 2. Вычислить объем тела, полученного  вращением плоской фигуры вокруг одной  из осей координат (сделать чертеж).  y = sinx, 0 , ось OX. Пx  _______________________________________________________________________ ______ Вариант 4 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж).  y= sinx; x = ­ ; y = 0. ; x =  П 4 П 3 2. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из  осей координат (сделать чертеж). y = 3x, y = 2, y = 4, ось OY. _________________________________________________________________________ _______ Вариант 5 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж).  y = lnx; x =  ; x = е; y = 0. 1 е 2. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из  y =  осей координат (сделать чертеж).  ; x[ ;2], ось OX. 1 x 1 2 _________________________________________________________________________ _______ Вариант 6 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж).  y =6x­x ; x = ­1; x = 3; y = 0. 2 2. Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг одной из  осей координат (сделать чертеж).  Y = x ; x[0;1], ось OY. 2 _______________________________________________________________________ ______Решение: Вариант Контрольные вопросы: 1. Как вычисляются площади плоских фигур? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ __________________________________________ 2. Как вычисляются объем тел вращения? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ________________________________________________________ Дата _______________ Практическая работа №11. Тема: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися  переменными.  Цель   работы:  приобрести   навыки   решения   дифференциальных   уравнений   с разделяющимися переменными. Вопросы допуска: 1. Записать определение дифференциального уравнения? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________  2. Записать определение дифференциального уравнения с разделяющими  переменными? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________ 3. От чего зависит порядок дифференциального уравнения? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________ Задание: Выполните задание согласно варианту. Вариант 1 1. Найти общие решения уравнений: а)  ;  dyxdxy 0)1()1( 2 3 б)  x 2 dx=3 y 2 dy . 2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным  условиям: . y dy = x dx ; y = 4 при x =− 2 _______________________________________________________________________ ______ Вариант 2 1. Найти общие решения уравнений: а)  ; 0ln)4( 2  ydy ydx x . б)  √ x dy=√ y dx 2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным  условиям: x dy = y dx ; y = 6 при x = 2 _______________________________________________________________________ . ______ Вариант 3 1. Найти общие решения уравнений: а)  cos  ydy 0sinsin cos x xydx ; б)  (1+ y ) dx =( x − 1 ) dy . 2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным  условиям: . dy y 2 ; y= 2 при x=0 x 2 =dx _______________________________________________________________________ ______ Вариант 4 1. Найти общие решения уравнений: а)  ; sinln 3 x  ydy 0cos б)  ydx . xy dx =(1+ x 2) dy 2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным  условиям: . (1+ y ) dx =(1 − x ) dy ; y = 3 при x =− 2 _______________________________________________________________________ ______ Вариант 5 1. Найти общие решения уравнений: а)  ;  22 0)()( dyxyxdxyxy 22 б)  y 2 dx+ ( x− 2) dy =0 . 2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным  условиям: y dy = x dx ; y = 4 при x =− 2 _______________________________________________________________________ 2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным  условиям: . . ______ Вариант 6 1. Найти общие решения уравнений: а)  ; sin 2  0cos4 xdx yxdy б)  (1+ y 2) dx =√ x dy . =dx dy y− 2 x−1 Решение: ; y= 4 при x=0 Вариант Контрольные вопросы: 1. Дать понятие дифференциального уравнения 1­го порядка? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________    2. Понятие дифференциального уравнения n­го  порядка? ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ ____________________________3. Понятие общего решения дифференциального  уравнения n­го порядка?