Составитель Швырева Н.А.

Рабочая тетрадь по геометрии для студентов 1 курса на базе основного общего образования. БОУ ОО СПО «Омавиат», 2013 г.

Рабочая тетрадь предназначена для  организации обучения и контроля по разделу «Многогранники» как на уровне стандарта математического образования, так и на более высоком уровне. Содержит задания для закрепления, повторения, обобщения изученного материала. Решения выполняются непосредственно в рабочей тетради, что, кроме всего  прочего, экономит время студента, избавляя его от выполнения механической работы по  перечерчиванию условий задач.

Предлагаемая система заданий позволяет быстро и оперативно получать информацию об усвоении учебного материала студентами. 

Предисловие

           Данное пособие по геометрии направлено на формирование у студентов  основных математических умений, пространственного мышления и развитие самостоятельного познания. Предлагаемые задания соответствуют стандарту математического образования и дают возможность преподавателю организовывать работу учащихся на уроках и дома.

           Пособие включает обучающие и проверочные задания по учебной дисциплине естественно - научного цикла: «Математика» по теме «Многогранники», с использованием методов таксономии Б.Блума. Задания расположены по степени усложнения характера познавательной деятельности: знание, понимание, применение, анализ, синтез, оценка. 

           Предложенные задания в учебном пособии различные по форме и содержанию.            Первая группа заданий, проверяющих знание формулировок, конкретных фактов, основных понятий. Эти задания предлагают вставить пропущенные слова в утверждения, чтобы оно было верным, закончить формулировку определения или ответить на вопросы.            Вторая группа заданий проверяет понимание смысла определений, теорем, свойств, признаков. В заданиях такого рода необходимо объяснить факты, правила, принципы, ответить на вопросы, уточняющие некоторые детали, тонкости в содержании геометрического факта. Также преобразовать словесный материал в графическую форму.            Третья группа направлена на практическое применение теории в конкретных ситуациях, а также формирует у учащихся умение подвести условие задания под некоторое геометрическое понятие или факт, использовать свойства и признаки в новых ситуациях. Многие из этих заданий способствуют дальнейшему развитию пространственного мышления учащихся.

            В четвертой группе заданий предусмотрен анализ решения выборочных задач, заполнение пропусков в частично решенных задачах. Данные задания обучают учащихся вычленять части целого, выявлять взаимосвязь между ними, видеть ошибки и упущения в логике рассуждений, проводить различие между фактами и следствиями.

            Пятая группа заданий обозначает умение комбинировать элементы, чтобы получить целое, обладающее новизной. В заданиях такого рода необходимо составить условие задач, предварительно составить план решения или графическое изображение фигур.

            Последняя группа заданий обозначает умение оценивать значение того или иного материала. Это задания с выбором ответа и с данным ответом, что позволяет осуществить учащимися самоконтроль за качеством своего обучения.

             Предложенные задания могут быть использованы преподавателями на занятиях в ходе закрепления, повторения, обобщения изученного материала по теме, а также учащимися в самостоятельной работе, для самопроверки и самоконтроля.

Содержание

§1. Понятие многогранника. Призма

1.1.Теоретические сведения……………………………………………………………………6

1.2.Упражнения…………………………………………………………………………………9

1.3.Практические решения задач……………………………………………………………...14

1.4.Задачи для самостоятельного решения…………………………………………………..19

§2. Пирамида. Усеченная  пирамида

1.1.Теоретические сведения……………………………………………………………………19

1.2.Упражнения…………………………………………………………………………………21

1.3.Практические решения задач……………………………………………………...............27

1.4.Задачи для самостоятельного решения…………………………………………………...31

§3. Правильные многогранники

3.1.Теоретические сведения……………………………………………………………………31

3.2.Упражнения………………………………………………………………………………....37

Список литературы……………………………………………………………………………..39

§1. Понятие многогранника. Призма

1.1 Теоретические сведения

Замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, и ограниченное ею некоторое геометрическое тело, называется  многогранником.  Многогранниками являются тетраэдр, параллелепипед.

                                                           Тетраэдр                        Параллелепипед

Многоугольники, из которых составлена поверхность многогранника, называются его гранями.

Стороны граней называются ребрами, а  концы ребер – вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две  вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Многогранник обычно обозначается перечислением его вершин.

Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. 

На рисунке 1, б и в изображены выпуклые многогранники, а, г и д – невыпуклые многогранники.

Свойства выпуклых многогранников

Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.

Свойство 2. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360⁰.

Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогранника имеет место равенство

В - Р + Г = 2,

где В - число вершин, Р - число ребер и Г - число граней данного многогранника.

Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти.

Обозначения:

V — объем;

S_полн — площадь полной поверхности;

S_бок — площадь боковой поверхности; 

S_о — площадь основания;

P_о — периметр основания;

P_о — периметр перпендикулярного сечения; l — длина ребра; h — высота. 

Многогранник, составленный из двух равных многоугольников  А₁ А₂…А_n и В₁ В₂…В_n (рис. 2), расположенных в параллельных плоскостях  и n параллелограммов, называется призмой.

                           Элементы призмы:                                                                           

1.      Параллелограммы A₁B₁B₂A₂, A₂B₂B₃A₃, и т. д.   называются  боковыми гранями призмы.

2.      Многоугольники            A₁A₂A₃…A_n, В₁В₂В₃…В_n,   называются  основаниями.

3.      Отрезки A₁B₁, …А_nB_n   называются боковыми ребрами

призмы.

4.      Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного

основания к плоскости другого основания, называется его  высотой.      Рис. 2

5.      Отрезок, соединяющий  две  вершины не принадлежащие  одной  грани называется диагональю.

Свойства призмы:

1.    Основания призмы являются равными многоугольниками.

2.    Боковые грани призмы  являются   параллелограммами.

3.    Боковые ребра призмы  равны.

4.    Противоположные ребра параллельны и равны.

5.    Все боковые ребра равны и параллельны.

6.    Противоположные боковые грани равны и параллельны.

7.    Высота перпендикулярна каждому основанию.

8.    Диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней  пополам.

9.    Площадь боковой  поверхности  прямой  призмы равна  произведению  периметра основания  на высоту  призмы.

       S = P · h   бок осн

P -  периметр h – высота  призмы

10. Площадь  полной  поверхности  призмы  называется  сумма  площадей  всех ее граней.

                                                                                   S       S    + 2S       .

                                                                                      пол =    бок            осн

11.Объем призмы равен произведению площади основания на высоту.

V= S_осн∙Н

б) По расположению боковых  ребер к основанию.

5. V= S_осн∙Н

в) Правильные призмы это прямые призмы в основании которых лежит правильный многоугольник.

г) Параллелепипеды. Параллелепипед это призма, в основании которой лежит параллелограмм.

                  Наклонный параллелепипед.                                  Прямой параллелепипед.

1.2. Упражнения

1. Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются многогранниками и закончите предложение.

Многогранник  -  это геометрическое тело, поверхность которого состоит  _________

 __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________   2. Заполните таблицу 

                                         1                                               2

      3. Выполните чертеж выпуклого многогранника и закончите предложение.

                                                                                 Многогранник называется выпуклым,

                                                                    если он расположен__________________

                                                                          ___________________________________

                                                                          ___________________________________

                                                                          ___________________________________                                                                           ___________________________________

4.  Выполните чертеж наклонной четырехугольной призмы, обозначьте ее и             запишите:

                                                                      Призма          _____________________

                                                                                                             Вершины       _____________________

                                                                                                             Основания     _____________________

                                                                                                             Боковые ребра ____________________

      Боковые грани ____________________         _________________________________       Противоположные  грани __________

                                                                                     _________________________________

                                                                                     _

5.  Закончите предложения.

1.       Призмой называется многогранник, составленный_____________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________ 

2.       Высотой призмы называется _______________________________________________  __________________________________________________________________________

3.       Диагональю призмы называется ____________________________________________  __________________________________________________________________________

4.       Призма называется наклонной, если _________________________________________

 __________________________________________________________________________

5.       Призма называется прямой, если ____________________________________________  __________________________________________________________________________

6.       Призма называется правильной, если ________________________________________

 __________________________________________________________________________

7.       Боковой поверхностью призмы называется ___________________________________  __________________________________________________________________________

8.       Параллелепипедом называется _____________________________________________

 __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

9.       Прямоугольным параллелепипедом называется _______________________________  __________________________________________________________________________

10.   Кубом называется _______________________________________________________

 __________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________ 11. Примеры моделей призмы и параллелепипеда из вашей профессии ______________

 __________________________________________________________________________  __________________________________________________________________________

6. Выполните задания.

1.      Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются призмами.

     1           2        3           4         5           6             7            8

Ответ: ____________________________________________________________________

2.      Среди изображенных  тел выберите номера тех, которые являются параллелепипедами.

         1         2       3          4          5           6             7            8

Ответ: ____________________________________________________________________

3.      Начертите прямую четырехугольную призму. Обозначьте:

4.      В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁постройте сечение, проходящее через вершины А; В₁; С.

 ____________________________ 

 ____________________________¹¹   

 ____________________________ 

 ____________________________ 

 ____________________________ 

   5.Проведите сечение треугольной наклонной призмы, проходящее через середины         боковых ребер. Как расположено это сечение по отношению к плоскости основания? Какая фигура получиться в сечении?

Поясните свои рассуждения

 ____________________________ 

 ____________________________ 

 ____________________________ 

 ____________________________   ____________________________   ____________________________ 

7. Ответьте на вопросы.

1. Какие многоугольники лежат в основаниях призмы? ___________________________  __________________________________________________________________________ 2. Какими отрезками являются боковые ребра призмы? ___________________________

 __________________________________________________________________________ 3. Какими фигурами  являются боковые грани призмы? __________________________  __________________________________________________________________________

4.               Что представляет собой диагональное сечение призмы? ________________________  __________________________________________________________________________

5.               Какими фигурами являются все грани параллелепипеда? _______________________  __________________________________________________________________________

6.               Какими фигурами являются все грани прямоугольного параллелепипеда? _________  __________________________________________________________________________

7.               Сколько измерений у прямоугольного параллелепипеда? _______________________  __________________________________________________________________________

8.               Что является высотой прямой призмы? ______________________________________  __________________________________________________________________________ 9. Какие многоугольники являются основанием и боковой гранью пятиугольной призмы? __________________________________________________________________  __________________________________________________________________________

10. Призма имеет 30 граней. Какой многоугольник лежит в ее основании? ___________  __________________________________________________________________________ 11. Будет ли сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, перпендикулярно к ее боковой грани? Ответ обоснуйте __________________________________________  __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

12. В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте? _______________________  __________________________________________________________________________ 13. Если все ребра призмы равны, то будет ли она правильной? Ответ обоснуйте____

 __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

14. Существует ли призма, у которой только одна баковая грань перпендикулярна основанию? Ответ обоснуйте _______________________________________________  __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

       8. Выполните задания.

1.        Начертите прямую призму, в основании которой лежит прямоугольник

2.        Напишите название грани, которая является нижним основанием призмы

3.        Напишите одну пару параллельных ребер

4.        Сколько в данной призме пар взаимно перпендикулярных ребер?

5.        Выделите на чертеже штриховкой одну пару параллельных граней

6.        Запишите отрезок, который является высотой призмы

7.        Запишите одну пару равных граней призмы

8.        Начертите диагональ призмы

9.        Вычислите площадь полной поверхности призмы, если стороны основания призмы равны 5 и 7 см., а боковое ребро – 9 см.

10.    Вычислите объем призмы

Решение:

 2. _______________________________   3. _______________________________   4. _______________________________ 

 6. _______________________________   7. _______________________________ 

9.  _______________________________ 

  ________________________________ 

  ________________________________ 

10.                     ________________________________ ______________________________   

9.     Докажите.

        Докажите, что площадь боковой  поверхности призмы вычисляется по формуле       S = P*h ,где Р – периметр основания, h–высота призмы

 Доказательство: _________________ 

  ____________________________ 

  ____________________________ 

  ____________________________ 

  ____________________________ 

  ____________________________ 

  ____________________________ 

  ____________________________ 

10. Заполните пропуски, чтобы утверждение было верным. 1. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине   ________________360⁰.

2.  У параллепипеда противоположные грани __________________  и  ______________

3.  Диагонали параллелепипеда пересекаются  ___________________________________

 __________  и    ____________________________________________________________

4.  В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен   _____________  __________________________________________________________________________

5.  Площадью полной поверхности призмы называется сумма  _____________________

 __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

6.  Площадью боковой поверхности призмы называется ___________________________  __________________________________________________________________________

7.  Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению _____________

 __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

8.  Все двугранные углы при боковых гранях прямой призмы ______________________  __________________________________________________________________________ 9. Правильная четырехугольная призма, высота которой равна стороне основания называется ________________________________________________________________  __________________________________________________________________________

        11. Выберите верный ответ из числа предложенных. 1. Чему равна площадь боковой поверхности куба с ребром 10 см?

               а) 40см²;             б) 400см²;       в) 100см²;    г) 400см.

2.    Чему равна площадь полной поверхности куба с ребром 6 см?

              а) 36см²;           б) 144см²;         в) 216см²;         г) 144см.

3.    Чему равна площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы,               если ее высота h, сторона основания a?

             а) ha;                 б) 4ah;              в) 4²h;                г) 4(a+h).

4.    Чему равна площадь полной поверхности куба, если его диагональ равна d?

            а) 2d²;                б) 6d²;                в) 3d²;                г) 4d.  

5.    Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения, равные a=5см; b=8см;  h=10см. Какова площадь его полной поверхности?

            а) 400см²;         б) 160см²;         в) 280см²;          г) 340см².

6.    Сколько всего диагоналей можно провести в четырехугольной призме?

            а) 2;                   б) 4;                  в) 6;                   г) 8.

1.3. Практическое решение задач.

1. Ознакомьтесь с условием задачи и разберите ее решение.

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием, равным 6см., и углом при вершине 120⁰. Диагональ боковой грани, содержащей основание равнобедренного треугольника, равна 10см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.     

Решение.

1.      В плоскости  рассмотрим ΔАВС. Проведем ВК⟘АС.

2.      АК=КС, ∠1=∠2 (свойство высоты равнобедренного треугольника)

4.      Рассмотрим ΔАА₁С – прямоугольный.

5.      S_бок.п. = Р_ΔАВС·АА1=(2АВ+АС)·АА1;

            S_бок.п = 

Ответ: S

2.      Проанализируйте решение задачи и допишите в приведенном решении нужные      обоснования.

         Каждое ребро правильной шестиугольной призмы равно 4 см (достройте рисунок).          Найдите площадь ее боковой и полной поверхностей.

следовательно, площадь ее боковой поверхности равна_________________________________периметра ______________на ____________________призмы, т. е. S_бок = Р * ______, где Р = _______* 6 = ______ (см),  h = ______ см.

Таким образом, S _бок = _________*________ = _______(см²).

2.  Площадь полной поверхности _____________________________ любой призмы равна ___________________ площадей________________ее граней. т.е.

                         S_пол     =          ______     +     2     ________.     Основание     данной     призмы     - 

___________________ шестиугольник со стороной а = 4 см, следовательно, S_осн   _______= _________* 4² = _______(см²).

        Итак, S_пол = (_______ + __________) см².

Ответ: S _бок =___________,  S_пол = ____________. 

3.      Ознакомьтесь с условием задачи и запишите ее решение по указанному плану.

Дано: АВСА1В1С1 – прямая

треугольная призма, АС = ВС,           угол АВС = 90˚, ВN = NA, угол CNC1 = 45˚,CC1 = 6

                                                                                               Решение:

                                            План:                                         1. ___________________________ 

^1.  Определите углы и вид  ______________________________   треугольника СС₁N, найдите СN 2. ___________________________ 

^2.  Определите углы и вид  треугольника СВN, найдите ВN  ______________________________   3. Вычислите площадь треугольника 3. ___________________________   АВС, определив чем является в  ______________________________   этом треугольнике СN 4. ___________________________ 

4.      Вычислите объем

                                                                              ______________________________ 

          4. Решите задачи.                                                    Ответ: 

1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 25 и 3. Диагональ параллелепипеда  образует с плоскостью основания угол в 45⁰. Найдите боковое ребро параллелепипеда.

Дано: __________________________

 _______________________________  _______________________________

_Найти: _____________________  

______________________________________________________________ 

           ______________________________________________________________________             ______________________________________________________________________ 

               ______________________________________________________________________ 

______________________________________________________________________ 

______________________________________________________________________ ₁₆                   ______________________________________________________________________ 

Ответ: _______________________________________________________ 

2. В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площади боковой и поной поверхности призмы, если: n = 4, а = 12 дм, h = 8 дм

Дано: __________________________ 

 _______________________________ 

 _______________________________ 

_Найти: ______________________ 

 Решение _______________________________________________________________

  ______________________________________________________________________

  ______________________________________________________________________

  ______________________________________________________________________

  ______________________________________________________________________   ______________________________________________________________________

 ______________________________________________________________________     Ответ: _______________________________________________________ 

3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6см., а диагональ боковой грани равна 10см. Найти площадь боковой и полной поверхности призмы.

                                                                                                 Дано: __________________________ 

                                                                                                  _______________________________ 

            _______________________________        Найти: _________________________ 

 Решение ______________________________________________________________ 

 ______________________________________________________________________   ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

 ______________________________________________________________________ 

5 ________________________________. Выполните задания.   ______________________________________ 

 ______________________________________________________________________ 

1Ответ:. Составьте зад ________________________________ачу на нахождение площади полной поверхности_______________________ прямоугольного   параллелепипеда. Решите еѐ.

Задача:  ___________________________________________________________________  __________________________________________________________________________  __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

               Решение ______________________________________________________________ 

               ______________________________________________________________________ 

            ______________________________________________________________________              ______________________________________________________________________             ______________________________________________________________________ 

              _Ответ:________________________________________________________ 

2. Составьте задачу на нахождение объема прямой призмы. Решите еѐ.

Задача:  ___________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________  __________________________________________________________________________

                                                                                                 Дано: __________________________ 

            _______________________________         _______________________________        Найти: _________________________ 

 Решение _______________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

 _Ответ: _______________________________________________________ 

1.4. Задачи для самостоятельного решения.

1.      Дана прямая четырехугольная призма со сторонами основания 4 и 6 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Вычислите S_полн.  и V призмы

2.      Дана прямая четырехугольная призма со сторонами основания 5 и 7 см. Боковое ребро призмы равно 8 см. Вычислите диагональ призмы.

3.      Дан прямоугольный параллелепипед с измерениями 5, 7, и 10 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

4.      Диагональ куба равна . Найдите его объем.

5.      Дана прямая четырехугольная призма со сторонами основания 6 и 5 см. Боковое ребро призмы равно 12 см. Вычислите диагональ призмы и ее объем

§2. Пирамида. Усеченная  пирамида.

2.1 Теоретические сведения

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой.

                                Рис. 3

называются боковыми ребрами. Многоугольник A A …A   

называется основанием, а треугольники с общей вершиной – боковые  грани. Точка S — вершиной пирамиды

Высота пирамиды – перпендикуляр SP, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания. 

В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), пятиугольной (n=5) (рис. 4) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. 

 Рис. 4

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей всех ее граней:

Sполн. = Sосн .+ Sбок.,

где S_осн – площадь основания, S_бок – площадь боковой поверхности пирамиды.       Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковой грани

Пирамида называется правильной, если еѐ основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является еѐ высотой. 

Все боковые грани правильной пирамиды  - равные

                                                                   равнобедренные треугольники.

          Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле:

Sбок. = ½ ∙ Pосн ∙ d,

где Р – периметр основания пирамиды, d – апофема (высота боковой грани, проведенная из вершины).

                  Объем пирамиды вычисляется по формуле:

                                                       V ,

где S_осн – площадь основания пирамиды,  h – высота пирамиды.

         Перпендикуляр, проведенный из какой – либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке СН – высота усеченной пирамиды.

              Боковые грани усеченной пирамиды представляют собой трапеции.

              Усечѐнная пирамида, полученная из правильной пирамиды, сечением, параллельным еѐ основанию, называется правильной  усечѐнной пирамидой.

           Основания правильной усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а боковые грани – равнобедренные трапеции. Высоты этих трапеций называется апофемами.

          Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней.

                Площадь боковой   поверхности    правильной     усечѐнной     пирамиды       равна             произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

                                                         S_{бок ,} 

        где Р, р – периметры оснований пирамиды, h – апофема.

                Площадь полной поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей          оснований и площади боковой поверхности пирамиды.                 Объем усеченной пирамиды   вычисляется по формуле: 

V h(SS₁  S*S₁) ,

         где  h – высота усеченной пирамиды, S и S₁ - площади оснований усеченной           пирамиды.    

2.2. Упражнения

1.  Выполните чертеж четырехугольной пирамиды, обозначьте ее и запишите:

 вершины       _____________________  боковые ребра ____________________  боковые грани ____________________  _________________________________  основание________________________

 _________________________________

2.  Закончите предложения.

1.   Высотой пирамиды называется _____________________________________________  __________________________________________________________________________

2.   Пирамида называется правильной, если ______________________________________

 __________________________________________________________________________ 3. Апофемой правильной пирамиды называется _________________________________  __________________________________________________________________________

4.         Площадью полной поверхности пирамиды называется _________________________  __________________________________________________________________________

5.         Площадью боковой поверхности пирамиды называется ________________________  __________________________________________________________________________ 6. Усеченная пирамида – нижний многогранник, отсекаемый от пирамиды плоскостью, параллельной  __________________________________________________  __________________________________________________________________________ 7. Усеченная пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью  ___________________________________________

 __________________________________________________________________________

8.  Выпуклый многогранник называется правильным, если  ________________________  __________________________________________________________________________

9.  Примеры моделей пирамиды и правильных многогранников из вашей профессии: _

 __________________________________________________________________________

3. Ответьте на вопросы:

1. Сколько сторон основания, боковых ребер, вершин имеет семиугольная пирамида?   __________________________________________________________________________ 2. Сколько оснований у усеченной пирамиды? __________________________________

 __________________________________________________________________________ 3. Какие многоугольники лежат в основаниях правильной усеченной шестиугольной пирамиды? ________________________________________________________________  __________________________________________________________________________

4.      Сколько боковых граней у шестиугольной пирамиды? ________________________

 __________________________________________________________________________

5.      Как называется точка пресечения всех боковых ребер пирамиды? _______________

 __________________________________________________________________________ 6. В каком взаимном расположении находятся ребро основания и апофема пирамиды? _____________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

7.      Какая фигура может лежать в основании прямой четырехугольной пирамиды? ___

 __________________________________________________________________________

8.      Из каких фигур состоит пирамида?_________________________________________

 __________________________________________________________________________ 9. Сколько боковых ребер и сторон основания у десятиугольной пирамиды? _______  __________________________________________________________________________ 10. Сколько боковых ребер и сторон основания у семиугольной усеченной пирамиды?   __________________________________________________________________________

11.  Сколько (и какие) виды правильных выпуклых многогранников Вы знаете? _____  __________________________________________________________________________ 12. Какое наименьшее число ребер, граней, вершин имеет правильный многогранник?  Как он называется? _________________________________________________________ 13. Всякий ли параллелограмм может быть основанием правильной пирамиды?

Ответ поясните ________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________ 14. Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной пирамиды?

Ответ поясните ________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________ 15. Основанием треугольной пирамиды является равносторонний треугольник. Одна из боковых граней ее перпендикулярна к плоскости основания. Является ли данная пирамида правильной?

          Ответ поясните рисунком и          соответствующими записями.  _____       ________________________________      ________________________________       ________________________________  

 ____________________________22   

 ____________________________ 

 ____________________________   ____________________________ 

4. Выполните задания.

1.  Среди изображенных тел выберите номера тех, которые являются пирамидами.

        1              2                     3                4              5                  6             7

Ответ:  ____________________________________________________________________

2.  SABCD – правильная четырехугольная пирамида. Проведите высоту SO. Как определить угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания? Чему равен этот угол, если предположить, что высота SO вдвое меньше бокового ребра?

                                                                                          Ответ поясните _________________ 

                                                                                           ________________________________ 

            ________________________________       ________________________________       ________________________________ 

                                                                                           ________________________________ 

                                                                                           ________________________________ 

                                                                                           ________________________________  

        3.Сделайте рисунок пятиугольной  усеченной пирамиды, обозначьте ее и запишите:

 а) боковые ребра _________________    ________________________________   б) основания _____________________ 

  ________________________________ 

4. Проведите диагональное сечение в правильной четырехугольной усеченной

                                                                                         Поясните рассуждения.  ___________ 

                                                                                           ________________________________ 

                                                                                           ________________________________ 

                                                                                           ________________________________ 

                                                                                           ________________________________ 

                                                                                           ________________________________ 

                                                                                           ________________________________ 

                                                                                           ________________________________  

6. Поясните, что является осью симметрии:

а) квадрата ________________________________________________________________

б) окружности _____________________________________________________________

в) правильного треугольника _________________________________________________ г) параллелограмма

д) ромба

5. Заполните пропуски, чтобы утверждение было верным.

1.   Каждая точка высоты правильной пирамиды равноудалена от всех ___________________________________________ основания.

2.   Боковыми гранями правильной пирамиды являются ___________________________  __________________________________________________________________________ 3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на _________________________________________________  __________________________________________________________________________ 4. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на _____________________________  __________________________________________________________________________

5.  Боковыми гранями правильной усеченной пирамиды являются  _________________

 __________________________________________________________________________

6.  Каждая точка высоты правильной пирамиды равноудалена от всех _________________________________________________ граней.

7.У правильной пирамиды:

а) боковые грани ___________________________________________________________

б) боковые ребра ___________________________________________________________

в) двугранные углы при основании ____________________________________________

г) двугранные углы при боковых ребрах _______________________________________

д) апофемы ________________________________________________________________ 8. Диагональное сечение усеченной пирамиды – сечение ее плоскостью, проходящей через два  _________________________________________________________________ боковых ребра пирамиды.

6. Выберите верный ответ из числа предложенных.

1.  Чему равна высота правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и боковым ребром b?

                а) ;          б) ;         в)  .

2.  Чему равна сторона основания правильной шестиугольной пирамиды, если ее высота  hи боковой ребро b?

              а) ;           б) ;          в)  .

3.  Сколько плоскостей симметрии имеет правильная четырехугольная пирамида?

             а) 1;                                       б) 3;                                   в) 4.

4.  Выберите правильную формулу для нахождения площади полной поверхности  правильной пирамиды

             а) ;             б) ;             в) .

где h – высота,l– апофема, P– периметр основания

5.  Чему равна апофема правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h?

               а) ;            б) ;        в)  .

6.  Чему равна апофема правильной треугольной пирамиды со стороной основания aи боковым ребром b?

              а) ;               б) ;         в)  .

7.  Чему равна апофема правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h?

             а) ;                   б) ;          в)  .

8.  Чему равна высота правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и боковым ребром b?

            а) ;                   б) ;        в)  .

9.  Имеет ли правильная пятиугольная пирамида ось симметрии?

           а) да;                                          б) нет.               

7. Выполните задание.

1.      Постройте правильную пирамиду и выделите угол между одним из ее боковых ребер и плоскостью основания.

2.      Постройте произвольную пирамиду, в основании которой лежит квадрат. Можно ли еще построить пирамиды с этим же основанием? Если да, то сколько? Ответ аргументируйте чертежом.

3.      Постройте правильную треугольную пирамиду. Выпишите все ребра, которые пересекаются с основанием пирамиды.

4.      Постройте  четырехугольную пирамиду. Постройте отрезки, соединяющие середины боковых ребер пирамиды. Выпишите все пары параллельных отрезков.

 ____________________________ 

 ____________________________ 

 ____________________________ 

 ____________________________ 

 ____________________________ 

5.     

____________________________ 

____________________________  ____________________________  ____________________________ 

____________________________ 

. Постройте четырехугольную пирамиду, одно ребро которой перпендикулярно

7.  Постройте треугольную пирамиду, одна грань которой перпендикулярна плоскости основания.

8.  Докажите.

Докажите, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра на основание.

                                                                    Дано:_______________________________________

 ____________________________________________

 Доказательство: _____________________________ 

  ____________________________________________ 

  ____________________________________________ 

  ____________________________________________ 

  ____________________________________________ 

  ____________________________________________ 

                                                                    ____________________________________________ 

       2.3. Практическое решение задач. ________________________________ ^____________  

1. Ознакомьтесь с условием  задачи и разберите ее решение.

            В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см., а боковое ребро – 5 см. Найдите угол, образованный боковым ребром с плоскостью основания.

Решение:

1.      SD-  - наклонная к α, SO⟘α, значит ОD – проекция SD на плоскость α (ОD= пр_αSD).

2.      ∠(SD,α)=∠SDО (по определению).

3.      SO⟘α, ОDα, следовательно, SO⟘ОD (по определению прямой, перпендикулярной плоскости).

4.      ΔSOD – прямоугольный (по п.3).4

Ответ:  

3. Проанализируйте решение задачи и допишите в приведенном решении нужные обоснования.

Боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды равно 5 см, а сторона основания

– 6 см. найдите площадь ее боковой  и полной  поверхности

                                                                                                   Решение:

                                                                Площадь боковой поверхности  правильной                                                                 пирамиды равна произведению___________                                                                 основания на _________________________,

                                                                т. е. S_бок = _____ * d,  где d = MK ,                                                                 CK   ___ =____(см).

                                                                              Итак, d , Р = 6 * ___ =

= _______(см), S_бок = _____ * _____ =  _____(см²).

         2) S_пол = _________ + S_осн, где S_осн = ______(см²).

Следовательно, S_пол = _______+____________(см²).

Ответ:  S_бок =____________, S_пол =_______+____________(см²).

4. Ознакомьтесь с условием задачи и запишите ее решение по указанному плану.

5.  

В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро, равное 10 дм., образует с плоскостью основания угол равный 60⁰. Найдите высоту пирамиды.

 4. Решите задачи.

1. Апофема пирамиды  равна 5см., а высота 4см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

 Дано: __________________________ 

  _______________________________ 

 _______________________________₂₈ 

Найти: _________________________ 

 Решение _______________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

            ______________________________________________________________________ 

            ______________________________________________________________________             Ответ: _________________________________________________________________ 

2.Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник ABC, сторона которого равна a. Ребро DA перпендикулярно к плоскости ABC, а плоскость DBC составляет с плоскостью ABC угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

                                                                                                Дано: __________________________ 

                                                                                                 _______________________________ 

            _______________________________        Найти: _________________________ 

 Решение ______________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

3.Ответ: Найдите объѐм правильной пирамиды, если боковое ребро равно 3см, а сторона  _______________________________________________________  основания – 4см.

                                                                                      Дано: __________________________ 

                                                                                       _______________________________ 

                                                                                       _______________________________ 

                                                                                      Найти: _________________________ 

               Решение ______________________________________________________________ 

                _____________________________________________________________________ 

                _____________________________________________________________________ 

                _____________________________________________________________________ 

                _____________________________________________________________________ 

            _____________________________________________________________________   _____________________________________________________________________ 

29

Ответ: _______________________________________________________ 

5. Выполните задания.

1. Составьте задачу на нахождение объема прямой пирамиды. Решите еѐ.

Задача:  ___________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________

                                                                                                Дано: __________________________ 

                                                                                                 _______________________________ 

            _______________________________        Найти: _________________________ 

 Решение _______________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________ 

  ______________________________________________________________________    ______________________________________________________________________ 

  ____________________________________________________________ 

 Ответ: _________________________________________________________________ 

2. Составьте задачу на нахождение объема правильной пирамиды. Решите еѐ.

Задача:  ___________________________________________________________________

 __________________________________________________________________________  __________________________________________________________________________

 Решение _______________________________________________________________

  ______________________________________________________________________

  ______________________________________________________________________

  ______________________________________________________________________

  ______________________________________________________________________

       Ответ: _______________________________________________________ 

2.4. Задачи для самостоятельного решения.

1.             Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 4см. высота пирамиды равна 5 см. Найдите боковое ребро пирамиды и ее объем.

2.             В основании пирамиды лежит прямоугольник со сторонами 3см. и 4см. Высота пирамиды равна 8 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

3.             Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12см., а боковая сторона - 10см. Боковые грани образуют с основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту пирамиды.

4.             Высота и апофема правильной четырехугольной пирамиды соответственно равны 4 и 17 см. Вычислите объем пирамиды.

5.             Основание пирамиды – квадрат. Сторона основания равна 20 дм, а  еѐ высота равна 21 дм. Найдите объѐм пирамиды.  

§3. Правильные многогранники 3.1 Теоретические сведения

          Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

         Все ребра правильного многогранника — равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

         Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): куб, правильный тетраэдр, правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (додекаэдр), правильный двадцатигранник (икосаэдр).

     В приведенных ниже формулах использованы следующие обозначения: V — объем многогранника, S — площадь поверхности, R — радиус описанной сферы, r — радиус вписанной сферы, Н — высота многогранника, а — каждое из равных ребер многогранника.  а) Куб

      Все шесть граней куба — равные квадраты (рис. 5).

  Рис.  5

 б) Правильный тетраэдр

        Все четыре грани — равные правильные треугольники (рис. 6).

   Рис. 6

в) Правильный октаэдр        Все восемь граней — равные правильные треугольники (рис. 7).

Рис.7

г) Правильный додекаэдр

         Все двенадцать граней — равные правильные пятиугольники (рис.8). Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных  пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине додекаэдра равна 324°.

Рис. 8

д) Правильный икосаэдр

         Все двадцать граней — равные правильные треугольники (рис. 9). Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине икосаэдра равна 300°.

Рис. 9

3.2 Упражнения

1. Заполните пропуски  

1.Выпуклый___________________________________называется        правильным, если________его грани - ________________________________многоугольники, и в __________________его_________________________________сходится одно и то же число.

2.Существует_________________правильных многогранников.

3. Тетраэдром называется_______________________________________________________

_____________________________________________________________________________.

4.Кубом называется____________________________________________________________ _____________________________________________________________________________.

5.Октаэдром называется________________________________________________________ _____________________________________________________________________________.

Икосаэдром называется_________________________________________________________ _____________________________________________________________________________.

6. Додекаэдром называется_____________________________________________________ __________________________________________________________________________.

2.Докажите, что куб является правильным многогранником.

Доказательство:

Проверим, обладает ли куб всеми признаками правильного _________________________, указанными в определении.

1)      Куб______________________ выпуклым многогранником.

2)      Каждая грань куба - ______________________, т. е. ___________________________ многоугольник, и все грани_______________________ между собой

3)      В_______________________ вершине куба сходится ___________________ число ребер, а именно _____ребра.

      Итак, у куба____________________ все признаки, указанные в определении________________________ многогранника. Следовательно, куб_______________

     правильным_____________________, что и  требовалось доказать.

2.Запишите в таблицу значения параметров: n — число сторон грани правильного многогранника; k — число ребер, сходящихся в одной вершине; В — число вершин многогранника; Р — число ребер; Г — число граней. Напишите названия многогранников.

Вычислите        для        каждого        из        них        величину        В        +        Г        –        Р.

3. а) Дорисуйте на развертке правильного додекаэдра клапаны для склеивания, добавляя их через одно ребро. Вырежите развертку и склейте модель многогранника.

б) Измерьте длину ребра и вычислите площадь поверхности правильного додекаэдра.

Ответ. б) см².

4.а) Дорисуйте на развертке правильного икосаэдра клапаны для склеивания, добавляя их через одно ребро. Вырежите развертку и склейте модель многогранника.

б) Измерьте длину ребра и вычислите площадь поверхности правильного икосаэдра.

Ответ. б) см².

-

5. а) Дорисуйте на развертке правильного додекаэдра клапаны для склеивания, добавляя их через одно ребро. Вырежите развертку и склейте модель многогранника.

б) Измерьте длину ребра и вычислите площадь поверхности правильного додекаэдра.

Ответ. б) см².

Список литературы

1.      Алешина Т. Н. Обучающие и проверочные задания. Геометрия. 10 класс (Тетрадь)/ Алешина Т. Н. – М: Интелект – Центр. – 2011. – 108 с.

2.      Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., « Геометрия: учебник для 10-11 кл.» - М: Просвещение, 2009.-256 с.

3.      Глазков Ю. А., Юдина И.И. Геометрия 10 класс.  Рабочая тетрадь: учебное пособие для общеобразоват. учреждений (базовый и профильный уровни) / М.:

Просфещение, 2011. – 95 с.

4.      Евдокимов Н. ИН. Краткий справочник по математике. 9 – 11 классы. – СПб.:

Издательский Дом «литера», 2010. – 288 с.

5.      Смирнова И.М. Геометрия  10 класс. Рабочая тетрадь: учебное пособие для общеобразоват. учреждений/ И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Мнемозина, 2009. – 103 с.