Рабочая тетрадь по математике на теме «Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда плоскостью».

Задача 1а Дан куб ABCDA1B1C1D1. На его ребре АА1 дана точка Q.                             Построить  точку пересечения   прямой В1Q с плоскостью, в                       которой лежит грань ABCD.                                                                                                                                                                                                                                                                                            РЕШЕНИЕ. 1. Проекция точки В1 на плоскость ABC ­ точка  В. 2. Проекция точки Q на плоскость АВС ­ точка  А. 3. Проекция В1Q на плоскость АВС – прямая  АВ. 4. Точка пересечения  АВ  и В   1  Q есть точка М. 5. Точка   F    – искомая , т. к.    плоскости грани       A   A   1  B   1   B   .    F    принадлежит плоскости грани   ABCD и  Задача 1в Дан куб ABCDA1B1C1D1. На ребре СС1 дана точка N, а точка М  принадлежит грани AA1D1D. Построить точку пересечения прямой  MN с плоскостью основания.                                                                  РЕШЕНИЕ.   1. Проекция точки   N    на плоскость АВС – точка  С. 2. Проекция точки М на плоскость АВС – точка К . 3. Проекция  N    на плоскость АВС – прямая СК.   4. Точка пересечения 5. Точка Р – искомая, т.к. она принадлежит прямой       плоскости грани АВС       N    и СК есть точка Р.   М    М   D   .     М   N    и Задача 2а Дан тетраэдр DABC и плоскость MNP, заданная  тремя точками на  ребрах тетраэдра.   N принадлежит DB,     M принадлежит DA,            P принадлежит АC. Построить линию пересечения плоскости MNP и  плоскости основания.                                                         РЕШЕНИЕ. 1. Проекция точки М на плоскость основания – точка  А_. 2. Проекция точки N на плоскость основания – точка В. 3. Тогда проекция MN на плоскость основания – прямая АВ. 4. Точка пересечения MN и AB точка _  R   _ принадлежит плоскости  основания, и точка P принадлежит этой плоскости.  Следовательно, _секущая плоскость   MNP   пересекутся по прямой     RP    и плоскость основания         .   Построим сечение тетраэдра плоскостью MNP 5. Точка пересечения ВС и _    RP  6. MNKP­ сечение тетраэдра.  _ ­ точка _К_. Задача 2б Дан тетраэдр DABC и плоскость MNP, заданная  тремя точками на  ребрах тетраэдра.   N принадлежит DB,     M принадлежит DA,            P принадлежит DC. Построить линию пересечения плоскости MNP и  плоскости основания. 1. Проекция точки М на плоскость основания – точка _А_. 2. Проекция точки N на плоскость основания –_точка В. _  прямая АВ. 3. Тогда проекция MN на плоскость основания – 4. Точка пересечения MN и AB точка _ 5. Проекция точки Р на плоскость основания – точка С. 6. Проекция МР на плоскость – прямая АС. 7. Точка пересечения МР и АС точка Т. 8. Точки   R   .  R    и Т принадлежат плоскости АВС, следовательно, секущая    плоскость  MNР и плоскость основания пересекаются по прямой   R   Т.  1. Метод внутреннего проектирования. 2. Метод внешнего проектирования. 3. Комбинированный метод. Задача 3(I метод) Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей  через точки M, N, K. РЕШЕНИЕ 1. Соединим точки  K    и   N   ,   N    иМ. 2. Через точку М поведем на грани ВВ1С1С прямую  параллельно NK     до  пересечения с ребром СС1 . Получим точку    Q   .  3. Проведем через точку   Q  на грани CC1D1D прямую параллельно МN до  пересечения с _  DC   _. Получим точку _F_. 4. Соединим  К  и _  F   _, т. к. они принадлежат грани  ABCD 5. MNKFQ ­ искомое сечение.    _. Задача 4 ( I I метод) Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей  через точки M, N, K. РЕШЕНИЕ 1. Проекция точки М на плоскость АВС точка _  B   _. Проекция точки N на  плоскость АВС точка _  A   _, тогда проекция MN – есть _  AB   _. 2. Продолжим  MN и АВ. Точка _  G   _ принадлежит АВС , это точка  пересечения _  AB    и     MN   _. 3. Точка _К_ принадлежит АВС, поэтому  прямая_  G   К_  «след» , линия  пересечения секущей плоскости и плоскости АВС. 4. Продолжим ВС до пересечения с_  G   К_  , получим точку _Н_. 5. Соединим точки М и _Н_. Точка пересечения  с ребром СС1  точка Q   _. 6.    MNKFQ  ­ искомое сечение. Задача 5 ( I I I метод) Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей  через точки M, N, K. 1. Строим точку  Р ­ точку пересечения секущей плоскости с плоскостью АВС. 2. Проведем    РК   до пересечения  с DC. Получим точку  _F_   . 3. Через точку  _  F   _  проведем  _  FQ //  MN до пересечения с СС1 . 4. Соединим точку М с точкой     Q    , а точку N с точкой  _К  .  5. MNKFQ  ­ искомое сечение.