РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по теме «Матрицы и определители» для СПО

Главное управление образования Курганской области Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение   «Курганский технологический колледж имени Героя Советского Союза Н.Я. Анфиногенова» РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ  по теме «Матрицы и определители»   для специальностей 21.02.05 Земельно­имущественные отношения 09.02.02 Компьютерные сети 09.02.04 Информационные системы (по отраслям) 09.02.05 Прикладная информатика (по отраслям) 11.02.02 Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям)         Курган, 2015 1 Сапожникова, Е. В. Рабочая тетрадь   по дисциплине «Математика» к разделу «Матрицы и определители»/ Е. В. Сапожникова. – Курган, 2015. – 36 с.   Рекомендовано к печати МС колледжа  Рецензенты: Колотовкина  Е.Ю.­ преподаватель первой категории ГБПОУ  КТК Папулова Е.В.­ преподаватель высшей категории ГБПОУ  КТК Автор: Сапожникова Е. В. – преподаватель ГБПОУ «КТК» Сборник   теоретических   основ   и   заданий     по   организации   работы студентов     преподавателями   дисциплины   математика   в   учреждениях   среднего профессионального образования.                                      Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 09.02.04   Информационные   системы   (по   отраслям),   09.02.05   Прикладная информатика (по отраслям), 09.02.02 Компьютерные сети, 11.02.02 Техническое обслуживание   и   ремонт   радиоэлектронной   техники   (по   отраслям),   21.02.05 Земельно­имущественные отношения по дисциплине «Математика»           2 © ГБПОУ  «КТК», 2015 © Сапожникова Е.В. 2015 Тема 1: Матрицы, действия над матрицами Матрицей называется множество чисел образующих прямоугольную таблицу,  которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используют  следующее обозначение        а 11 а 21 ... a m 1 а 12 а 22 ... a m 2 ... ... ... ... n а 1 а 2 n ... a mn       Для любого элемента первый индекс­ номер строки, второй­ номер столбца. Виды матриц: 1. Прямоугольная:    А= а 12 а 22 а 11 а 21      а 13 а 23      2. Квадратная:    В=    а 11 а 21 а 12 а 22    Число строк квадратной матрицы называется ее порядком. Диагональ а11­а22 –главная, а12­а21 – побочная. Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной  диагонали, называется диагональной. Пример:  А=    2 0 0  4    ­ Диагональная матрица 2­го порядка 3 ­Диагональная матрица 3­го порядка                 В=      3 0 0  0 0 09 4 0      ­ Единичная матрица 3­го порядка                 Е=      001 010 100                     О=    00 00    ­ Нулевая матрица Два матрицы называются равными, если имеют одинаковое число строк m  и  одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей­строкой.  Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей­столбцом.  Треугольной называется квадратная  матрица, все элементы которой,  расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.  Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы: Пример:  А= (2 6 9 0 5 −9 0 0 5)  – верхняя;   В= ( 7 0 0 4 −6 0 −9 1 9) ­нижняя. Квадратная матрица называется симметрической, если равны элементы,  симметричные относительно главной диагонали. Пример:    А= (1 5 7 7 3 0) 5 2 3   ;    В= (−2 8 8 −2) . Линейные операции над матрицами 4 Суммой матриц   А и В называют такую матрицу М, элементы которой равны    сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только  матрицы, имеющие одинаковое строение. Найти суммы матриц:  1.   и       42  5  7 12 0 10 10 4 50            100 0 7 8 68 0 7 8 40        Ответ:    58 5 0      20 68 10 17 12 10       и  2.       18  7 31 32 15 14 4 12 3               17 7 31    32 14 14  4 12 4             Ответ: Е Можно ли сложить две матрицы размерами 2х3 и 3х2? Свойства сложения матриц: 1. А+В=В+А (переместительный закон) 2. (А+В)+С=А+(В+С)  (сочетательный закон) 3. А+0=А (0­нулевая матрица) 4. Для любой матрицы А существует матрица –А, такая, что А+(­А)=0. Произведением   элемент которой равен КАij , т.е. умножение матриц на число сводится к     матрицы А на число К называется такая матрица КА, каждый  умножению на это число всех элементом матрицы. Умножить матрицу А=      2 0 2   1 5 1  4 3 0       на К=3. Ответ: 3А=      6 0 6   3 15 3 12  9 0      5 Найти линейные комбинации матриц: 1.   3А­2В, если А=      2  1 0  4 5 3 0 1 7       ,  В= .        4 0 2  1  3 0   2 5 4      Подсказка: 1. Найти матрицу 3А;      2. Найти матрицу 2В; 3. Найти разность 3А­2В.       Ответ:          2 3 4  10 21 9 4 7 13        2.   2А­В, если  А= , В= 2 3       16 4 0       5 0      2  1 3 2       .   Ответ: 9 6       14 1  1 10      Умножение матриц Рассмотрим умножение квадратных матриц 2­го порядка:  Пусть А=    а 11 а 21 а 12 а 22    , В=    в 11 в 21 в 12 в 22    , тогда АВ=    ва 11 11 ва 21 11   ва 12 21 ва 22 21 ва 12 11 ва 12 21   ва 12 22 ва 22 22          Найти произведение матриц, сверить с ответом:  1. А=  и В= .      5 1  2   1     34 08    Решение:   а11=                   а12=                      а21=                        а22=       23 40 5 16    Ответ: АВ= 6 Решение:   а11=                   а12=                      а13= 2.  31 21            121 013                                             а21=                    а22=                        а23=    Ответ:  10 7      15 14      3.       113 212 321           1 2 1 1  1 0   1  1   1       Решение:   а11=                   а12=                      а13= а21=                    а22=                       а23=                                                                   а31=                    а32=                       а33=    Ответ:      6 6 8 2 1  1   1  1   4  4.       4 5 0 3 2 2   0  1    1       12 4 2  1  1 0             Решение:   а11=                   а12=               а21=                    а22=                                                                                                 а31=                    а32=                        7 Ответ:      60 66  1 3 26      Найти произведение матриц:  3 1 0)(1 2 3 3 5 4) (1 2 1 2 0 1 5.    Решение: Ответ: 3 −7 −1 6 −3 ( 5 2 −4 1)(4 −1 3 3)  Решение: 4 −2 −6 2 0 6. Ответ: 7.   7 12 4  1       8 1 3 1    0 4 02 1 1 2 5             1 10 0 1  1 1 5 2  0 3  43  32 0 0        Решение: 8 Ответ: Свойства произведения матриц:   1.   А(ВС)=АВ(С) 2. А(В+С)=АВ+АС 3. (А+В)С=АС+ВС 4. к(АВ)=(кА)В Тема 2: Определители Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число detA (или  , или  ),   А называемое ее определителем, следующим образом: 1. n=1; А=(а1);  detA=а1 2. n=2; А=    а 11 а 21 а 12 а 22    ;  detA= а 11 а 21 а 12 а 22 =а11а22 ­ а12а21     Пример:     А=  3 2     3 6    3. n=3; А=      а 11 а а 21 31 а 12 а а 22 32 а 13 а а 23 33 = ­18­ (­6)=­12           ;    ;       detA=а11 а22 а33 + а12 а23 а31 +а21 а32 а13  –а31 а22 а13 –а21 а12 а33 –а32 а23 а11     Пример:     А= ;        2 3 2  1 1 0 1 4 3        =2∙1∙(­3)+(­1)∙(­4)∙2+(­3)∙0∙1­1∙1∙2­(­3)∙(­1)∙(­3)­0∙(­4)∙2= ­6+8­0­2+9­0=9.       9 Для удобства вычисления и более легкого запоминания формулы применяют  графическое правило:      Правило Сарруса = ­ *** *** *** *** *** *** *** *** *** Вычислить определители матриц и сверить с ответом: =                          =27          ;    1.     2 5  3 6     2.     вава вава     =                                       =2ав­2в2                ;      =                                                                           =9  3.  ;        5 3 6  2 1 0 1 4 3        Вычислить определители:        Решение:       4.  123 352 343       Решение:      3 8 2 4 7  1   5 2 8 5.     10 Решение:       6.  05 23 70 0 0  1 Основные свойства определителей: 1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с  соответствующими столбцами (т.е. транспонировать) = а 11 а 12 а а 21 22 а 11 а 21 а 12 а 22    (свойство равноправности строк и столбцов) Примеры: 1.  5 3 42  =                            =           3  5 2 4  2.  4 3 0 1 12   2 5 4  =                                       = 0 3 4 1 52   2 1 4 2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменит свой знак на  противоположный.   = ­ 21 а а 11 22 а а 12 а 11 а 21 а 12 а 22 Пример:  = 1 2 3    32 14 25  поменяем местами 1­й и 2­й столбцы:  =    312 124 235 11 3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за  знак определителя:  а 11 а 21 ка 12 ка 22 =к а 11 а 21 а 12 а 22 Пример:  3 7   2 6 =                           ­2 = 13 37 4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0. Пример:  = 1 1 2 3 1 1 3  41 5. Из свойств 3 и 4: Если все элементы двух строк (столбцов) определителя  пропорциональны, то определитель равен 0. Пример:  = 73 32 64 1  1  2 6. Если к какой­либо строке (или столбцу) определителя прибавить  соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на  одно и то же число, то определитель не изменится. = а 11 а 21 а 12 а 22 а 11 а 21   ка 12 ка 22 а 11 а 22 Пример:  = 43 65  Умножим 1­й столбец на 2 и сложим со вторым:  = 3 5 10 16 7. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (ниже)  главной диагонали,­ нули, равен произведению элементов главной диагонали. 12 а 11 а а 21 31 0 а а 22 32 =а11 а22 а33 = а 11 0 0 0 0 а 33 а 12 а а 22 32 а 13 а а 23 33 Пример:  = 5 0 0 10  2 0  10 4  1 8.Если какая­либо строка (столбец) определителя состоит из одних нулей, то  определитель=0. 9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их  определителей. Тема 3: Миноры и алгебраические дополнения элементов  определителя Минором Мij определителя  ∆ , где I и j меняются от 1 до n, называется  такой новый определитель, который получается из  ∆  вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент. Пример:   Из  = ∆  можно получить М12= а а 21 31 а а 23 33 а 13 а а 23 33 а 12 а а 22 32 а 11 а а 21 31 Задание: Записать и вычислить М32 и М24 определителя  = ∆ 1 0 3 1 2  1 2 4 4 3 5 2  41  23 =                                М24= Решение: М32= 1 0 1 4 3 5 2 23  13 Алгебраическим дополнением элемента Аij называется минор этого  элемента, взятый со знаком (­1)i+j.  Аij=(­1)i+j Мij. Примеры: 1.  Найти алгебраические дополнения элементов а13 , а21 ,  а31  определителя  = ∆ .    21 2 0 3 2  3 3 5 Решение: А13=(­1)1+3∙ 02 23 =                           А21=(­1)1+2∙ = 32 52                  А31= 2. Найти алгебраические дополнения элементов а12 , а22 ,  а32 определителя  ∆ .   Решение: А12=              = 40 2  071 0 25    А22=                                                                   А32= Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца: Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя ∆  на их алгебраические дополнения равна этому определителю. ∆ =ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin       или       ∆ = a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj Эти соотношения называются разложением определителя по элементам i –той  строки или j­го столбца. Пример: Определитель  = ∆ 3  1 0 2 1 2 5 24     а) разложить по элементам 1 строки                      б) по элементам 2­го столбца 14 Решение: а)  =3 ∆ ­1 51 0 2 2 5 24  +2  1 0 2 4  =                  б)  ∆  =  Вычислить определители любым способом:  1.  = 3 4 10 5 7 11  0 10 3        2.  =     21 02 83 3 6 12   3.  = 03 32 40 25 2 0  41  32 0 1   4.  =            2 0 3 3  11 1 2  21 1 6 0  1 3 1 15 7.  = 2  4  1 0  9 20  1  5 0 10  1  5 8 1 2 3   9.  1 5 9 13     2 6 10 14 3 7 11 15     4 8 12 16    10.  =     1 5 9 13 2 6 10 14     3 7 11 15 4 8 12 16 16 11.  =  1 4 5 8  2 3 6 7 3 2 7 6  4 1 8 5  Практическое занятие №1  Определите тип матриц:  1¿(−9 0 1 2)                        4) ( 4 0)       3) (2 1 12) −8 0 4 −6)  ­                  2) (8 −6 1 12 −5 6)                        5) ( 2 5 −9 8  ­   7 44 17 6) Найти 3А+2В, если  А= 6 3  1        4 2 5      , В=       0 2 4  1 5 0      .   Ответ: Решение:  7) Найти 2А+3В­С, если А=    2 3    1  4  , В=    1 2 04     , С=  7 18      4 8    .  Ответ: Решение:       8) Найти А2­ 3А+5Е, если А= (−1 −3 4 ).    Ответ: 2 Решение:  Найти произведение матриц: 18 1) А= ( 2 3 0 −2 −1 4)  и  В=  (1 −1 2 1 −2−4) 03     Решение: ( 8 −4 −2 7 1 −6−6 5 −8−19) 48     Ответ:  2) А= (1 2 −3 2 ) 6 0  и  В=  (1 2 0−1 02) 2 1 1−2 3 1    Решение: Ответ:  (−4 1 2−11 12 14 0−2 )     3) А= ( 2 −4 0,5 3) 1 4 ( 0 1 −1 9) −2 5    и  В=   Решение:  Ответ:  Убедитесь, что АВ ≠ ВА, если:   1) А= (3 4 5 1),    В= (8 1 2 3)     19 Решение:       Ответ: АВ= (32 15 42 8 ) 0 −2 1)  2) А= ( 1 2 −1 2 −1 0  ,    ВА= , В= (−1 0 1 2 −1 1 1 0 −2)   Решение:      3   ,   ВА= Решение:      0 −5 Ответ: АВ= ( 2 −2 5 −3 2 −4) 3) А= (1 −3 2 2 −5 3) 3 −4 1 , В= (2 5 6 1 3 2) 1 2 5   20 Ответ: АВ=                       , ВА= Вычислить определители: 3 −3|  = 1)  |4 −5 −sinx cosx|   =      2)  |cosx sinx а а−в|  =   3) |а+в а ав в2|   =  4) |а2 ав 5) |1 2 3 7 8 9|   = 6) |2 0 0 0 −4|  = 7) |2 3 −4 3| =    8) |23−34 2305|  = 21−12 6210 5 6 8 0 0 0 7 4 5 6 0 5 21 9) |3−142 6−298|  = 5201 021−3 Домашнее задание Найти произведение матриц: А=(5 8 −4 4 7 −3) 6 9 −5  и В= (3 2 5 4 −1 3 9 6 5)     Вычислить определитель:    | 1234 13141516|    9101112 5678 Тема 4: Транспонирование матриц. Обратная матрица 22 Матрица АТ, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом  с тем же номером, называется транспонированной относительно матрицы А. А= ( 1 0 3 −2 1 3) 2 4 6      АТ= (1 2 −2 3 6 3) 0 4 1 Обратная матрица Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен о. Если А­квадратная матрица, то обратной по отношению к ней называется  матрица А­1:  АА­1=А­1А=Е Если обратная матрица А­1  существует, то матрица А называется обратимой. Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и  достаточно, чтобы матрица А было невырожденной. 1 ∆(А11 А21… Аn1 А1n А2n Аmn) А12 А22 Аn2 А­1= Найти обратную матрицу для матрицы А: 1) А= (1 4 6 −2)    Решение: D=­26≠0   A11= ­2,  A12=­6,   A21= ­4,   A22=1,   В= (−2 −6 −4 1 ) ВТ= (−2 −4 −6 1 )     А­1= −1 26(−2 −4 −6 1 )   =   ( 1 13 3 13 2 13 −1 26)      Проверка: АА­1=Е 2)  А= ( 2 3 −1 1)   23 Решение: D=5≠0,    A11=           A12=               A21=            A22=               В= ВТ=                      А­1=                             =   (0,2 −0,6 0,4 ) 0,2        Проверка: АА­1=Е 3) А= (1 2 3 0 −1 2 3 0 7)    Решение: D=        ≠0       A11=                           A12=                                 A13=     A21=                                      A22=                                         A23=        A31=                                      A32=                                         A33=      В=                                       ВТ=                                       А­1=(−1 2 −1 3 −1 7 7 3 3 14 7 1 2 −1 7 −1 14)   Проверка: АА­1=Е (самостоятельно) 4) А= ( 3 −3 1 1 −2 1) −3 5 −2              D=1≠0     24 1 2 3  А­1= (1 1 1 1 3 6) 5) А= (4 0 5 3 0 4) 0 1 −6 А­1= ( 4 6)А= (3 4) 5) 0 −5 −18 1 24 −3 0 1 −2 2 1 4 3 −1              D=1≠0                   D=36≠0     1 36( 11 −3 5 −17 21 −11 −10 2 ) 6  А­1= 25 7)А= (2 1 −1 2 0 −1) 3 −2 1              D=5≠0      А­1= (0,4 0,2 −0,2 0,8 0,4 −1,4) −1 1 0 Практическое занятие №2 Транспонировать матрицы: А= (0 −2 1 4 )      2) В= (15 −3 1 7 1) −1 −1 0 0          Вычислить обратную матрицу, выполнить проверку: 1) А= (1 2 3 4)          2) В= (2 −3 1 1) 3 −1 0 1 1           26 3)  D= (3 −4 3 −5 −1) 2 −3 5 1 4) F= (4 1 1 1 1 2) 1 3 1     5) F= (2 1 −1 1 −1 2) 3 2 −2     27 Домашнее задание Вычислить обратную матрицу, выполнить проверку: 1)А= (−1 2 −3 4)     2) В= (2 −1 1 2 0 −1) 3 2 −1           Тема 5: Решение систем линейных уравнений методом  Крамера Пусть дана система n  линейных уравнений с n неизвестными: А11х1+а12х2+а13х3+...+а1nxn=в1 28 А21х1+а22х2+а23х3+...+а2nxn=в2 ...... Аn1х1+аn2х2+аn3х3+...+аnnxn=вn Система n линейных уравнений с N неизвестными, определитель которой не  равен 0, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно  дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель  получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при  искомом неизвестном на столбец свободных членов. Примеры: 1.Решить систему линейных уравнений      5 2 х х  ;12  .7 3 у у Решение:  (5 3 2 −1 7 )−расширенаяматрица, 12 = ∆ 5 2 3  1 =­11,    х= 12 7 3  1 =­33,     у= =11 5 2 12 7 Найдем х и у по формулам Крамера: х= =­1       Ответ: (3;­1)   =3,  у=  у   х  2.  {х+2у+3z=−5; −3х+z=−3; 2х+у−z=5   ( 1 2 3−5 2 1 −15)−расширенаяматрица, −3 0 1−3  х= |−5 2 3 5 1 −1|=¿                  −3 0 1    ∆ =­12,       у=   29  z= Найдем х,у и z по формулам Крамера:  =                                     у= х=  х  =                              z= =           z   у  Ответ: (0;2;­3)        3.  3 5 x      у у   ;3 z х    х 2 ;3 z  z .2 2 2 y Ответ: (1;­1;2) Практическое занятие №3 Решить систему линейных уравнений методом Крамера: 1)  {3х−2у=5; 6х−4у=11     30 2) { 5х+8у+z=2; 2х+у−z=−5 3х−2у+6z=−7;       3) {2х−3у+z=−7; х+4у+2z=−1; х−4у=−5       4*) { 2х+5у+4z+t=20; 2х+10у+9z+9t=40; 3х+8у+9z+2t=37 х+3у+2z+t=11; 31 Домашнее задание {2х−7у+z=−4; 3х+у−z=17; х−у+3z=3      Тема 6. Решение систем линейных уравнений методом  Гаусса Метод Крамера –для СЛУ из 3 уравнений, Гаусс­если больше! Метод состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной  (т.е. имеющей такое же решение) с треугольной матрицей. Для этого используют  следующие преобразования: 1. 2. 3. 4. Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число. сложение и вычитание уравнений. Перестановку уравнений системы. Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при  неизвестных и свободные члены равны 0. Т.о. для нахождения всех решений СЛУ надо: 1) Выписать расширенную матрицу этой системы 2) привести матрицу к ступенчатому виду 3)выписать соответствующую ступенчатую СЛУ 4) Решить СЛУ, двигаясь снизу вверх 32 Решить системы линейных уравнений: 1.  х 3 3  х x        у 4 ;0   5 у z  y .4 2 z 6 z      ;21 Ответ: (­2;­3;5)      2.  5 х 4 х  x        5 у  5 z у   y 3  4 z  ;11  z 6 ;3 .9 Ответ: (­ ;­ ;­ ) 58 21 43 3 120 7 33 3.      х 2 3 4    4 2 у 3 z t    3 4 х у z t   2 x 4 y z t   x y z 3 2 t ;11 ;12 ;13 .14        Ответ: (2;1;1;1)   4.         ;10  2 х 3  2 у х  y x  2 x 2   у 3 z 5 t   5 z ;5 t  2 3 t z ;2   t y .1 z Ответ: (1;0;1;2) 34 5.         3 х 4 x   х 77 zу 2 t    3 8 у 10 z t   7 z x 14 y 5 t    z y 2 3 t .12 ;22 ;35 ;48 Ответ: (1;0;­3;­2) Практическое занятие №4 {2х+у−z=1; х+у+z=1; 3х−у+z=4       1) {2х+у−3z=−5; х−2у+2z=17; х+у+3z=4 2)       35 { 3х−5у+z=−1; 12х+3у−15z=42; −3х+4у+2z=−1       3) { х−3у+4z+5t=6; 2х+у+3t=−4; 3х−5у+2z=20; 2х+4у−10z+t=−26 4) 5)  { 3х−у+2z+t=5; 5у−2z−3t=0; −10у+z−t=−10; х+2у−z=2 Домашнее задание 36 { х+у+4z+3t=2; х−у+12z+6t=6; 4х+4у−4z+3t=0; 2х+2у+8z−3t=1 Примерный вариант контрольной работы  Задание 1. Даны матрицы:    А=  (1 0 13 4 5 1−1)   и   В ¿(−1 0 4 −2 12 ) 512 . Найти а) А+В;     б) 4А­2В;    в) ВТ. Задание 2. 37 и  В= (4 −1 5 0 0 2 −2 1 3) . Даны матрицы А ¿( 0 −1 0 2) 1 −3 6 4 5 Найти А∙В и В∙А. Задание 3.  Вычислить определители:  а)  |−3 −1 10 −6|  ;   б)  | 1 3 2 0 3 −2| . −1 2 4 Задание 4.  Найти А­1, если А= | 1 −2 6 −1 0 1| . 4 0 5 Задание 5.  Решить СЛУ методом Крамера: : { 3х+2y+z=5 2x+3y+z=1 2x+у+2z=11 Задание 6.  Решить СЛУ методом Гаусса: : { 3х−y=5 −2x+y+z=0 2x−y+4z=15 38