Сборник теоретических основ и заданий по организации работы студентов преподавателями дисциплины математика в учреждениях среднего профессионального образования.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям 09.02.04 Информационные системы (по отраслям), 09.02.05 Прикладная информатика (по отраслям), 09.02.02 Компьютерные сети, 11.02.02 Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям), 21.02.05 Земельно-имущественные отношения по дисциплине «Математика»Сборник теоретических основ и заданий по организации работы студентов по дисциплине Математика.
Главное управление образования Курганской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Курганский технологический колледж
имени Героя Советского Союза Н.Я. Анфиногенова»
РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
по теме «Матрицы и определители»
для специальностей
21.02.05 Земельноимущественные отношения
09.02.02 Компьютерные сети
09.02.04 Информационные системы (по отраслям)
09.02.05 Прикладная информатика (по отраслям)
11.02.02 Техническое обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по
отраслям)
Курган, 2015
1Сапожникова, Е. В. Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» к разделу
«Матрицы и определители»/ Е. В. Сапожникова. – Курган, 2015. – 36 с.
Рекомендовано к печати МС колледжа
Рецензенты:
Колотовкина Е.Ю. преподаватель первой категории ГБПОУ КТК
Папулова Е.В. преподаватель высшей категории ГБПОУ КТК
Автор: Сапожникова Е. В. – преподаватель ГБПОУ «КТК»
Сборник теоретических основ и заданий по организации работы
студентов преподавателями дисциплины математика в учреждениях среднего
профессионального образования.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальностям
09.02.04 Информационные системы (по отраслям), 09.02.05 Прикладная
информатика (по отраслям), 09.02.02 Компьютерные сети, 11.02.02 Техническое
обслуживание и ремонт радиоэлектронной техники (по отраслям), 21.02.05
Земельноимущественные отношения по дисциплине «Математика»
2© ГБПОУ «КТК», 2015
© Сапожникова Е.В. 2015
Тема 1: Матрицы, действия над матрицами
Матрицей называется множество чисел образующих прямоугольную таблицу,
которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используют
следующее обозначение
а
11
а
21
...
a
m
1
а
12
а
22
...
a
m
2
...
...
...
...
n
а
1
а
2
n
...
a
mn
Для любого элемента первый индекс номер строки, второй номер столбца.
Виды матриц: 1. Прямоугольная: А=
а
12
а
22
а
11
а
21
а
13
а
23
2. Квадратная: В=
а
11
а
21
а
12
а
22
Число строк квадратной матрицы называется ее порядком.
Диагональ а11а22 –главная, а12а21 – побочная.
Матрица, у которой отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной
диагонали, называется диагональной.
Пример: А=
2
0
0
4
Диагональная матрица 2го порядка
3Диагональная матрица 3го порядка
В=
3
0
0
0
0
09
4
0
Единичная матрица 3го порядка
Е=
001
010
100
О=
00
00
Нулевая матрица
Два матрицы называются равными, если имеют одинаковое число строк m и
одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицейстрокой.
Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицейстолбцом.
Треугольной называется квадратная матрица, все элементы которой,
расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.
Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы:
Пример: А= (2 6
9
0 5 −9
0 0
5)
– верхняя; В= ( 7
0 0
4 −6 0
−9 1 9) нижняя.
Квадратная матрица называется симметрической, если равны элементы,
симметричные относительно главной диагонали.
Пример: А= (1 5 7
7 3 0)
5 2 3
; В= (−2 8
8 −2) .
Линейные операции над матрицами
4Суммой матриц
А и В называют такую матрицу М, элементы которой равны
сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только
матрицы, имеющие одинаковое строение.
Найти суммы матриц: 1.
и
42
5
7
12
0
10
10
4
50
100
0
7
8
68
0
7
8
40
Ответ:
58
5
0
20
68
10
17
12
10
и
2.
18
7
31
32
15
14
4
12
3
17
7
31
32
14
14
4
12
4
Ответ: Е
Можно ли сложить две матрицы размерами 2х3 и 3х2?
Свойства сложения матриц:
1. А+В=В+А (переместительный закон)
2. (А+В)+С=А+(В+С) (сочетательный закон)
3. А+0=А (0нулевая матрица)
4. Для любой матрицы А существует матрица –А, такая, что А+(А)=0.
Произведением
элемент которой равен КАij , т.е. умножение матриц на число сводится к
матрицы А на число К называется такая матрица КА, каждый
умножению на это число всех элементом матрицы.
Умножить матрицу А=
2
0
2
1
5
1
4
3
0
на К=3. Ответ: 3А=
6
0
6
3
15
3
12
9
0
5Найти линейные комбинации матриц:
1. 3А2В, если А=
2
1
0
4
5
3
0
1
7
, В=
.
4
0
2
1
3
0
2
5
4
Подсказка: 1. Найти матрицу 3А; 2. Найти матрицу 2В;
3. Найти разность 3А2В. Ответ:
2
3
4
10
21
9
4
7
13
2. 2АВ, если А=
, В=
2
3
16
4
0
5
0
2
1
3
2
. Ответ:
9
6
14
1
1
10
Умножение матриц
Рассмотрим умножение квадратных матриц 2го порядка:
Пусть А=
а
11
а
21
а
12
а
22
, В=
в
11
в
21
в
12
в
22
, тогда АВ=
ва
11
11
ва
21
11
ва
12
21
ва
22
21
ва
12
11
ва
12
21
ва
12
22
ва
22
22
Найти произведение матриц, сверить с ответом:
1. А=
и В=
.
5
1
2
1
34
08
Решение: а11= а12= а21= а22=
23
40
5
16
Ответ: АВ=
6Решение: а11= а12= а13=
2.
31
21
121
013
а21= а22= а23=
Ответ:
10
7
15
14
3.
113
212
321
1
2
1
1
1
0
1
1
1
Решение: а11= а12= а13=
а21= а22= а23=
а31= а32= а33=
Ответ:
6
6
8
2
1
1
1
1
4
4.
4
5
0
3
2
2
0
1
1
12
4
2
1
1
0
Решение: а11= а12=
а21= а22=
а31= а32=
7Ответ:
60
66
1
3
26
Найти произведение матриц:
3 1 0)(1 2 3
3 5 4)
(1 2 1
2 0 1
5.
Решение:
Ответ:
3 −7
−1 6 −3
( 5
2 −4 1)(4 −1 3
3) Решение:
4 −2 −6
2
0
6.
Ответ:
7.
7
12
4
1
8
1
3
1
0
4
02
1
1
2
5
1
10
0
1
1
1
5
2
0
3
43
32
0
0
Решение:
8Ответ:
Свойства произведения матриц:
1. А(ВС)=АВ(С)
2. А(В+С)=АВ+АС
3. (А+В)С=АС+ВС
4. к(АВ)=(кА)В
Тема 2: Определители
Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число detA (или
, или
),
А
называемое ее определителем, следующим образом:
1. n=1; А=(а1); detA=а1
2. n=2; А=
а
11
а
21
а
12
а
22
; detA=
а
11
а
21
а
12
а
22
=а11а22 а12а21
Пример: А=
3
2
3
6
3. n=3; А=
а
11
а
а
21
31
а
12
а
а
22
32
а
13
а
а
23
33
= 18 (6)=12
;
;
detA=а11 а22 а33 + а12 а23 а31 +а21 а32 а13 –а31 а22 а13 –а21 а12 а33 –а32 а23 а11
Пример: А=
;
2
3
2
1
1
0
1
4
3
=2∙1∙(3)+(1)∙(4)∙2+(3)∙0∙11∙1∙2(3)∙(1)∙(3)0∙(4)∙2= 6+802+90=9.
9Для удобства вычисления и более легкого запоминания формулы применяют
графическое правило:
Правило Сарруса
=
***
***
***
***
***
***
***
***
***
Вычислить определители матриц и сверить с ответом:
= =27
;
1.
2
5
3
6
2.
вава
вава
= =2ав2в2
;
= =9
3.
;
5
3
6
2
1
0
1
4
3
Вычислить определители:
Решение:
4.
123
352
343
Решение:
3
8
2
4
7
1
5
2
8
5.
10Решение:
6.
05
23
70
0
0
1
Основные свойства определителей:
1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с
соответствующими столбцами (т.е. транспонировать)
=
а
11
а
12
а
а
21
22
а
11
а
21
а
12
а
22
(свойство равноправности строк и столбцов)
Примеры: 1.
5
3
42
=
=
3
5
2
4
2.
4
3
0
1
12
2
5
4
=
=
0
3
4
1
52
2
1
4
2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель изменит свой знак на
противоположный.
=
21
а
а
11
22
а
а
12
а
11
а
21
а
12
а
22
Пример:
=
1
2
3
32
14
25
поменяем местами 1й и 2й столбцы:
=
312
124
235
113. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за
знак определителя:
а
11
а
21
ка
12
ка
22
=к
а
11
а
21
а
12
а
22
Пример:
3
7
2
6
= 2
=
13
37
4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен 0.
Пример:
=
1
1
2
3
1
1
3
41
5. Из свойств 3 и 4: Если все элементы двух строк (столбцов) определителя
пропорциональны, то определитель равен 0.
Пример:
=
73
32
64
1
1
2
6. Если к какойлибо строке (или столбцу) определителя прибавить
соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на
одно и то же число, то определитель не изменится.
=
а
11
а
21
а
12
а
22
а
11
а
21
ка
12
ка
22
а
11
а
22
Пример:
=
43
65
Умножим 1й столбец на 2 и сложим со вторым:
=
3
5
10
16
7. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (ниже)
главной диагонали, нули, равен произведению элементов главной диагонали.
12а
11
а
а
21
31
0
а
а
22
32
=а11 а22 а33
=
а
11
0
0
0
0
а
33
а
12
а
а
22
32
а
13
а
а
23
33
Пример:
=
5
0
0
10
2
0
10
4
1
8.Если какаялибо строка (столбец) определителя состоит из одних нулей, то
определитель=0.
9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их
определителей.
Тема 3: Миноры и алгебраические дополнения элементов
определителя
Минором Мij определителя ∆ , где I и j меняются от 1 до n, называется
такой новый определитель, который получается из ∆ вычеркиванием строки и
столбца, содержащих данный элемент.
Пример: Из
=
∆
можно получить М12=
а
а
21
31
а
а
23
33
а
13
а
а
23
33
а
12
а
а
22
32
а
11
а
а
21
31
Задание: Записать и вычислить М32 и М24 определителя
=
∆
1
0
3
1
2
1
2
4
4
3
5
2
41
23
= М24=
Решение: М32=
1
0
1
4
3
5
2
23
13Алгебраическим дополнением элемента Аij называется минор этого
элемента, взятый со знаком (1)i+j. Аij=(1)i+j Мij.
Примеры: 1. Найти алгебраические дополнения элементов а13 , а21 , а31
определителя
=
∆
.
21
2
0
3
2
3
3
5
Решение: А13=(1)1+3∙
02
23
= А21=(1)1+2∙
=
32
52
А31=
2. Найти алгебраические дополнения элементов а12 , а22 , а32 определителя ∆
. Решение: А12=
=
40
2
071
0
25
А22= А32=
Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца:
Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя
∆ на их алгебраические дополнения равна этому определителю.
∆ =ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin или ∆ = a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
Эти соотношения называются разложением определителя по элементам i –той
строки или jго столбца.
Пример: Определитель
=
∆
3
1
0
2
1
2
5
24
а) разложить по элементам 1 строки
б) по элементам 2го столбца
14Решение: а)
=3
∆
1
51
0
2
2
5
24
+2
1
0
2
4
=
б) ∆ =
Вычислить определители любым способом:
1.
=
3
4
10
5
7
11
0
10
3
2.
=
21
02
83
3
6
12
3.
=
03
32
40
25
2
0
41
32
0
1
4.
=
2
0
3
3
11
1
2
21
1
6
0
1
3
1
157.
=
2
4
1
0
9
20
1
5
0
10
1
5
8
1
2
3
9.
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
4
8
12
16
10.
=
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
4
8
12
16
1611.
=
1
4
5
8
2
3
6
7
3
2
7
6
4
1
8
5
Практическое занятие №1
Определите тип матриц: 1¿(−9 0
1 2)
4) ( 4
0)
3) (2 1 12)
−8
0 4 −6)
2) (8 −6 1
12 −5 6)
5) ( 2
5
−9 8
7
44
176) Найти 3А+2В, если А=
6
3
1
4
2
5
, В=
0
2
4
1
5
0
. Ответ:
Решение:
7) Найти 2А+3ВС, если А=
2
3
1
4
, В=
1
2
04
, С=
7
18
4
8
. Ответ:
Решение:
8) Найти А2 3А+5Е, если А= (−1 −3
4 ). Ответ:
2
Решение:
Найти произведение матриц:
181) А= ( 2
3
0 −2
−1 4) и В=
(1 −1
2 1 −2−4)
03
Решение:
( 8
−4 −2
7
1 −6−6
5 −8−19)
48
Ответ:
2) А= (1 2 −3
2 )
6 0
и В=
(1 2 0−1
02)
2 1 1−2
3 1
Решение:
Ответ:
(−4 1 2−11
12 14 0−2 )
3) А= ( 2
−4 0,5 3)
1
4
( 0 1
−1 9)
−2 5
и В=
Решение:
Ответ:
Убедитесь, что АВ ≠ ВА, если:
1) А= (3 4
5 1), В= (8 1
2 3)
19Решение:
Ответ: АВ= (32 15
42 8 )
0 −2 1)
2) А= ( 1
2 −1
2
−1 0
, ВА=
, В= (−1 0
1
2 −1 1
1
0 −2)
Решение:
3
, ВА=
Решение:
0 −5
Ответ: АВ= ( 2 −2 5
−3 2 −4)
3) А= (1 −3 2
2 −5 3)
3 −4 1
, В= (2 5 6
1 3 2)
1 2 5
20Ответ: АВ= , ВА=
Вычислить определители:
3 −3| =
1) |4 −5
−sinx cosx| =
2) |cosx sinx
а а−в| =
3) |а+в а
ав в2| =
4) |а2 ав
5) |1 2 3
7 8 9| =
6) |2 0
0 0 −4| =
7) |2 3 −4
3| =
8) |23−34
2305| =
21−12
6210
5 6
8 0
0
0
7
4 5 6
0 5
219) |3−142
6−298| =
5201
021−3
Домашнее задание
Найти произведение матриц: А=(5 8 −4
4 7 −3)
6 9 −5
и В= (3
2 5
4 −1 3
9
6 5)
Вычислить определитель: | 1234
13141516|
9101112
5678
Тема 4: Транспонирование матриц. Обратная матрица
22Матрица АТ, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом
с тем же номером, называется транспонированной относительно матрицы А.
А= ( 1 0 3
−2 1 3)
2 4 6
АТ= (1 2 −2
3 6 3)
0 4 1
Обратная матрица
Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен о.
Если Аквадратная матрица, то обратной по отношению к ней называется
матрица А1: АА1=А1А=Е
Если обратная матрица А1 существует, то матрица А называется обратимой.
Теорема: Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и
достаточно, чтобы матрица А было невырожденной.
1
∆(А11 А21… Аn1
А1n А2n Аmn)
А12 А22 Аn2
А1=
Найти обратную матрицу для матрицы А:
1) А= (1 4
6 −2)
Решение: D=26≠0 A11= 2, A12=6, A21= 4, A22=1, В= (−2 −6
−4 1 )
ВТ= (−2 −4
−6 1 )
А1=
−1
26(−2 −4
−6 1 )
=
( 1
13
3
13
2
13
−1
26)
Проверка: АА1=Е
2) А= ( 2 3
−1 1)
23Решение: D=5≠0, A11= A12= A21= A22= В=
ВТ= А1= =
(0,2 −0,6
0,4 )
0,2
Проверка: АА1=Е
3) А= (1 2
3
0 −1 2
3 0
7)
Решение: D= ≠0 A11= A12= A13=
A21= A22= A23=
A31= A32= A33=
В= ВТ= А1=(−1
2 −1
3
−1
7
7
3
3
14
7
1
2
−1
7
−1
14)
Проверка: АА1=Е (самостоятельно)
4) А= ( 3 −3 1
1 −2 1)
−3 5 −2
D=1≠0
241 2 3
А1= (1 1 1
1 3 6)
5) А= (4 0 5
3 0 4)
0 1 −6
А1= ( 4
6)А= (3
4)
5)
0 −5
−18 1 24
−3 0
1 −2
2
1
4
3 −1
D=1≠0
D=36≠0
1
36( 11 −3
5
−17 21 −11
−10
2 )
6
А1=
257)А= (2 1 −1
2 0 −1)
3 −2 1
D=5≠0
А1= (0,4 0,2 −0,2
0,8 0,4 −1,4)
−1
1
0
Практическое занятие №2
Транспонировать матрицы:
А= (0 −2
1 4 )
2) В= (15 −3 1
7 1)
−1 −1 0
0
Вычислить обратную матрицу, выполнить проверку:
1) А= (1 2
3 4)
2) В= (2 −3 1
1)
3 −1 0
1 1
263) D= (3 −4
3 −5 −1)
2 −3
5
1
4) F= (4 1 1
1 1 2)
1 3 1
5) F= (2 1 −1
1 −1 2)
3 2 −2
27Домашнее задание
Вычислить обратную матрицу, выполнить проверку:
1)А= (−1 2
−3 4)
2) В= (2 −1 1
2 0 −1)
3 2 −1
Тема 5: Решение систем линейных уравнений методом
Крамера
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:
А11х1+а12х2+а13х3+...+а1nxn=в1
28А21х1+а22х2+а23х3+...+а2nxn=в2
......
Аn1х1+аn2х2+аn3х3+...+аnnxn=вn
Система n линейных уравнений с N неизвестными, определитель которой не
равен 0, всегда имеет решение и притом единственное.
Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно
дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель
получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при
искомом неизвестном на столбец свободных членов.
Примеры: 1.Решить систему линейных уравнений
5
2
х
х
;12
.7
3
у
у
Решение:
(5 3
2 −1 7 )−расширенаяматрица,
12
=
∆
5
2
3
1
=11,
х=
12
7
3
1
=33,
у=
=11
5
2
12
7
Найдем х и у по формулам Крамера: х=
=1 Ответ: (3;1)
=3, у=
у
х
2. {х+2у+3z=−5;
−3х+z=−3;
2х+у−z=5
( 1 2 3−5
2 1 −15)−расширенаяматрица,
−3 0 1−3
х= |−5 2 3
5 1 −1|=¿
−3 0 1
∆ =12,
у=
29 z=
Найдем х,у и z по формулам Крамера:
= у=
х=
х
= z=
=
z
у
Ответ: (0;2;3)
3.
3
5
x
у
у
;3
z
х
х
2
;3
z
z
.2
2
2
y
Ответ: (1;1;2)
Практическое занятие №3
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
1) {3х−2у=5;
6х−4у=11
302) { 5х+8у+z=2;
2х+у−z=−5
3х−2у+6z=−7;
3) {2х−3у+z=−7;
х+4у+2z=−1;
х−4у=−5
4*) { 2х+5у+4z+t=20;
2х+10у+9z+9t=40;
3х+8у+9z+2t=37
х+3у+2z+t=11;
31Домашнее задание
{2х−7у+z=−4;
3х+у−z=17;
х−у+3z=3
Тема 6. Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса
Метод Крамера –для СЛУ из 3 уравнений, Гауссесли больше!
Метод состоит в следующем: систему уравнений приводят к эквивалентной
(т.е. имеющей такое же решение) с треугольной матрицей. Для этого используют
следующие преобразования:
1.
2.
3.
4.
Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то
же число.
сложение и вычитание уравнений.
Перестановку уравнений системы.
Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при
неизвестных и свободные члены равны 0.
Т.о. для нахождения всех решений СЛУ надо:
1) Выписать расширенную матрицу этой системы
2) привести матрицу к ступенчатому виду
3)выписать соответствующую ступенчатую СЛУ
4) Решить СЛУ, двигаясь снизу вверх
32Решить системы линейных уравнений:
1.
х
3
3
х
x
у
4
;0
5
у
z
y
.4
2
z
6
z
;21
Ответ: (2;3;5)
2.
5
х
4
х
x
5
у
5
z
у
y
3
4
z
;11
z
6
;3
.9
Ответ: (
;
;
)
58
21
43
3
120
7
333.
х
2
3
4
4
2
у
3
z
t
3
4
х
у
z
t
2
x
4
y
z
t
x
y
z
3
2
t
;11
;12
;13
.14
Ответ: (2;1;1;1)
4.
;10
2
х
3
2
у
х
y
x
2
x
2
у
3
z
5
t
5
z
;5
t
2
3
t
z
;2
t
y
.1
z
Ответ: (1;0;1;2)
345.
3
х
4
x
х
77
zу
2
t
3
8
у
10
z
t
7
z
x
14
y
5
t
z
y
2
3
t
.12
;22
;35
;48
Ответ: (1;0;3;2)
Практическое занятие №4
{2х+у−z=1;
х+у+z=1;
3х−у+z=4
1)
{2х+у−3z=−5;
х−2у+2z=17;
х+у+3z=4
2)
35{ 3х−5у+z=−1;
12х+3у−15z=42;
−3х+4у+2z=−1
3)
{ х−3у+4z+5t=6;
2х+у+3t=−4;
3х−5у+2z=20;
2х+4у−10z+t=−26
4)
5) { 3х−у+2z+t=5;
5у−2z−3t=0;
−10у+z−t=−10;
х+2у−z=2
Домашнее задание
36{ х+у+4z+3t=2;
х−у+12z+6t=6;
4х+4у−4z+3t=0;
2х+2у+8z−3t=1
Примерный вариант контрольной работы
Задание 1.
Даны матрицы: А=
(1 0 13
4 5 1−1) и В ¿(−1 0
4 −2 12 )
512
.
Найти а) А+В; б) 4А2В; в) ВТ.
Задание 2.
37и В= (4 −1
5
0
0
2 −2
1
3)
.
Даны матрицы А ¿( 0
−1 0 2)
1 −3
6 4
5
Найти А∙В и В∙А.
Задание 3.
Вычислить определители: а) |−3 −1
10 −6| ; б) | 1 3 2
0 3 −2| .
−1 2
4
Задание 4.
Найти А1, если А= | 1 −2 6
−1 0 1| .
4 0
5
Задание 5.
Решить СЛУ методом Крамера: : { 3х+2y+z=5
2x+3y+z=1
2x+у+2z=11
Задание 6.
Решить СЛУ методом Гаусса: : { 3х−y=5
−2x+y+z=0
2x−y+4z=15
38
Рабочая тетрадь Матрицы и определители 2015.docx
