Работа

Основные правила комбинаторики.

Формулы для подсчета числа перестановок сочетаний и размещений.

Часть 2.

Правило суммы (правило сложения).

Если элемент А может быть выбран к1 способами, а объект В другими к2 способами, причем выборы А и В являются взаимно исключающими, то выбор «либо А, либо В» может быть осуществлен к1+к2 способами.

 

Задача 1:

В одной семье было много детей.

7 из них любили капусту, 6 – морковь, 5 - горох, 4 - капусту и морковь,а 3 -капусту и горох, 2 - морковь и горох, 1 любил все.

Сколько детей в семье.

 

Задача 2:

Сколько существует натуральных чисел от 1 до 100, которые не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5.

 

Задача 3 (Соросовская олимпиада 1996-1997гг.):

Три колокола начинают бить одновременно. Интервалы м/у ударами первого колокола 4/3 секунды, второго – 5/3 секунды, третьего – 1 секунда. Совпавшие во времени ударами воспринимаются как один. Сколько ударов за одну минуту?

 

Правило произведения (правило умножения).

Если элемент А может быть выбран к1 способами, и после каждого из таких выборов элемент В может быть выбран к2 способами, то выбор «А и В» может быть осуществлен к1*к2 способами.

 

Задача 4:

Сколько 3х значных четных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6, если цифры могут повторяться?

 

Задача 5:

Сколько всего 4х значных чисел можно составить из цифр 1,5,6,7?

 

Задача 6:

Из 33 букв русского алфавита составляются слова из 4 букв так, что соседние буквы в слове различны. Сколько таких слов можно составить?

 

Размещение без повторения.

Сколькими способами можно выбрать и разместить по к различным местам к из n различных предметов.

 

 

Задача 7:

Сколько всего 7 значных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?

 

Задача 8:

Сколько существует 2х значных чисел, в которых цифра десятков и цифра едениц различны и нечетны 1,3,5,7,9.

 

Задача 9:

В классе 20 мальчиков, 20 девочек. Для участия в концерте нужно выделить танцевальный дуэт, дуэт певцов и гимнастический дуэт (1м+1д). Сколькими способами это можно сделать?

 

Перестановки.

Сколькими способами можно переставить n различных предметов расположенных на n различных местах?

 

Задача 10:

Сколько всего 6 значных четных чисел можно составить из цифр 1,3,4,5,7,9, если каждая из них не повторяется?

 

Задача 11:

Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

 

Задача 12:

30 книг (27 различных авторов и 3х томник одного автора) помещены на одной книжной полке. Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?

 

Сочетания.

Сколькими способами можно выбрать к из n различных предметов?

 

Задача 13:

Сколькими способами читатель может выбрать 2 книги из 5 имеющихся?

 

Задача 14:

12 человек играют в городки. Сколькими способами они могут набрать команду на соревнование?

 

Задача 15:

Дано 5 различных чисел А,В,С, D. Сколько можно составить различных произведений из этих чисел, состоящих из:

a) 2х различных сомножителей;

b) 3х;

с) 4х;

d) 5и.

 

Задача16:

Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку, состоящую из вратаря, 2 защитников и 3 нападающих?

 

Задача 17:

Для проведения письменного экзамена по комбинаторике надо составить 4 варианта по 7 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 28 задач на 4 варианта?

 

 

                       Основные понятия теории вероятности.  

                               Задачи математического боя.

 

 

Задача 1:

Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что:

a) выпадает четное число очков, кратное 3 (событие A);

b) выпадает число очков, кратное 3 ( событие В);

с) выпадает любое число очков, кроме 5 ( событие С).

 

Задача 2:

В партии 100 деталей имеется 5 бракованных. Определите вероятность того, что взятая на удачу деталь окажется стандартной.

 

Задача 3:

 Выбирают наугад число от 1 до 100. Определите вероятность того, что в том числе не окажется цифры 3.

 

Задача 4:

Найдите вероятность того, что наугад выбранное число от 1 до 60 делится на 60.

 

Задача 5:

Даны 5 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой. Найти вероятность того, что, выбрав наугад 2 точки, учащийся получит нужную прямую.

 

Задача 6:

В классе 17 девочек и 14 мальчиков. Определить вероятность того, что оба вызванных ученика окажутся:

a) мальчиками;

b) девочками.

 

Задача 7:

В 7ми значном телефонном номере забыта последняя цифра. Определите вероятность того, что наугад выбранная цифра (от 0 до 9) окажется верной.

 

Задача 8:

Из коробки, содержащей n пронумерованных шаров, наугад вынимают один за другим все находящиеся в ней шары. Определите вероятность того, что номера шаров расположатся по порядку.

 

Задача 9:

Из букв составлено слово «книга». Это слово рассыпали и произвольно собрали снова. Какова вероятность того, что снова получится слово «книга»?

.

 

Задача 10:

Класс, в котором учится 12 девочек и 12 мальчиков, случайным образом делят на 2 равные группы для занятий на компьютерах. Какова вероятность того, что мальчиков и девочек в них  окажется поровну?

 

Методические рекомендации:

Задачи разбиты на 5 групп по темам. Каждой теме полезно посвящать от двух до четырех занятий, дополнив новыми задачами. При этом необходимо возвращаться постоянно к пройденному материалу. Знакомство с определениями и понятиями комбинаторики полезно начинать с 7-8 класса.

 

 

 

Составитель Пантелеева Н.В.