МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА-ДЕТСКИЙ САД № 36»
МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДСКОЙ ОКРУГ СИМФЕРОПОЛЬ РЕСПУБЛИКА КРЫМ
«Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями»
РАБОТА
Галан Татьяны Николаевны,
учителя математики
г. Симферополь 2015г
Вспомним важнейшие свойства обратных тригонометрических функций.
Функция
определена и монотонно возрастает на
отрезке [- 1; 1];
.
Функция
определена и монотонно убывает на отрезке
[- 1; 1];
Функция
определена и монотонно возрастает на R;
.
Функция
определена и монотонно убывает на R;
Решение уравнений, левая и правая части которых являются одноименными обратными тригонометрическими функциями различных аргументов, основывается на свойстве монотонности этих функций. Поэтому справедливы следующие равносильные переходы.
1).
2).
3).
4).
При решении уравнений , левая и правая части которых являются разноименными обратными тригонометрическими функциями различных аргументов, пользуются известными тригонометрическими тождествами.
Переходы |
Использована формула |
1. |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корнем
каждого из уравнений (1) – (4) может быть только такое число х, для
которого В противном случае множество значений
левой и правой частей уравнения не пересекаются.
Пример 1.
Решите уравнение .
Решение
; ОДЗ:
arccos
x=
+ 2
n,
n
Z
; arccos x=
+ 14
,
n
Z.
Поскольку
0 arccos
x
, то последнее уравнение
не выполняется ни при каких значения n
Z.
Следовательно, исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: корней нет.
Пример 2. Решите уравнение 2arcsin x=9.
Решение
2arcsin
x=9; arcsin
x= = 4,5
.
Следовательно, уравнение решений не имеет, так как
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решите
уравнение arcsin x
+ arctg.
Решение
arcsin
x + arctg; ОДЗ:
|x|
arcsin
x= - arctg
. Найдем синусы обоих
частей уравнения:
sin = sin
. Следует обратить внимание, что
полученное уравнение может
быть не равносильным исходному, поэтому его решение обязательно нужно
подставить в исходное уравнение. Из последнего уравнения имеем:
x = sin= sin
cos
- cos
sin
=
.
Рассчитаем
cos. Пусть
=
,
, тогда tg
=
. Но поскольку tg
то
, то есть угол находиться в певой четверти
единичного круга.
Найдем теперь cos.
1+=
;
= 1+
=
;
=
;
cos =
(cos
).
Найдем sin= 1 –
= 1 –
=
;
sin
(sin
).
X= =
=
.
Ответ: .
Примечание. Если sin =
sin
, причем
, то
.
Сделаем проверку arcsin;
arctg
=
.
Поскольку 0 arcsin
и 0
– arctg
, то
и
,
причем X= найдено при условии, что
sin
, значит
.
Пример 4.
Решить уравнение 2.
Решение
2. Если известно,
–
тогда
2( -
)+
=
Ответ:-1
Пример 5.
Решить уравнение
ОДЗ:
=
- 10)=0; x=0
или 13
-5=0;
=
; 1-
=
;
=
;
Проверка
1) X=0;
2arcsin0=0; arcsin0=0; 0=0-правильно.
2) X=; 2arcsin
arcsin
(так как arcsin
2arcsin (так как
, поэтому, arcsin
,
то есть 2arcsin). Тогда x=
–не является корнем.
3)x=-2arcsin(-
arcsin(
). Значит x=-
-не является корнем.
Ответ:0.
Пример 6.
Решить уравнение
Решение
ОДЗ:|sinx|.
Имеем
Так как
. Значит, x=0.
Ответ:0
Пример 7.
Решить уравнение
Решение
Пусть arcsinx=t,
ОДЗ:|x|.
|t|
Ответ:-sin1,5.
Пример 8.
Решить уравнение =-
.
Решение
=-
;
ОДЗ:
–
6x=; 36
=1-108
; 144
=1;
=
; x=
Проверка:
Значит, x=-
-корень
уравнения; x=
– не является корнем.
Ответ:-.
Пример
9. Решите
уравнение
Решение.
Корень
является посторонним.
Ответ:1
Пример
10. Решите
уравнение
Решение. Пусть Тогда
Пусть
Тогда
Тогда
исходное уравнение примет вид
Тогда
Поэтому
Ответ:0,1.
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.