Работа на научно - практическую конференцию "Шаг в будущее" - проект "Математика на шахматной доске"

Мирнинское районное управление образования МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 7» Научно – практическая конференция «Шаг в будущее» «Математика на шахматной доске» Секция: физико – математических наук Автор: Семенова Арина Руководитель: Мамаева Алла Николаевна

Цель работы:  установить связь между способами решения математических  и шахматных задач. Задачи: 1. Провести анализ истории математики и шахмат. 2. Продемонстрировать математические решения задач,  связанных с шахматной доской. 3. Продемонстрировать математические решения задач,  связанных с шахматными фигурами.

Шахматы — это не только увлекательная игра, но и оригинальный способ понимания решения  математических задач, познания себя и окружающего мира. Гипотеза Аннотация проекта    В ходе проекта предполагается исследовать связь математики и шахмат, рассмотреть решение  математических задач, связанных с шахматной доской, а также, способы решения математических  задач, связанных с шахматными фигурами.     Тема связи математики и шахмат недостаточно освящена в современной литературе, хотя  применение шахматной теории часто встречается на олимпиадах по математике различного уровня.  Шахматы – удобная модель многих важных и сложных задач, возникающих на практике. Выбор  успешного решения в сложной жизненной ситуации можно сравнить с выбором хорошего хода в  шахматной партии.

Целевая аудитория Данный  проект  будет  интересен  всем  ученикам,  интересующимся  математикой, желающим узнать больше, чем предлагают авторы учебников  по  математике.  Кроме  того  работа  будет  полезна  учителям  для  использования на занятиях элективных курсов, кружковой работе, а также  при подготовке учащихся к олимпиадам и конкурсам по математике. Результат: Результатом  является  учебно­исследовательская  работа  по  заявленной  теме. Практическая значимость:    Практическая  значимость  работы  заключается  в  том,  что  собранный  материал  можно  использовать  на  занятиях  как  математического,  так  и  шахматного кружков, в том числе для подготовки учащихся к олимпиадам  по математике. Перспективы развития: В дальнейшем работа может быть продолжена в направлениях: шахматы в  олимпиадных  задачах,  комбинаторика  на  шахматной  доске,  математика  шахматных турниров, шахматы и ПК и т.д.

1. Историческая справка • Имя  изобретателя  и  дата  возникновения  шахмат  неизвестны.  Полагают,  что  эта  игра  родилась  в  Индии где­то около VI века нашей эры. • Шахматная  доска,  фигуры  и  сама  игра  часто  используются  для  иллюстрации  разнообразных  математических  понятий  и  задач.  Шахматные  примеры и термины можно встретить в литературе  по  кибернетике,  теории  игр,  вычислительной  математике,  исследованию  операций,  теории  графов, теории чисел и комбинаторике. в  каждом  • Почти  сборнике  олимпиадных  математических  задач  или  книге  головоломок  и  математических  досугов  можно  найти  красивые  и  остроумные задачи с участием шахматной доски и  фигур. Многие из них имеют интересную историю,  привлекали  к  себе  внимание  известных  ученых.  Например, задачей о ходе коня занимался великий  математик  Леонард  Эйлер  (приложение  1),  а  задачей  о  восьми  ферзях  —  другой  великий  математик Карл Гаусс (приложение 2).

1. Связь между шахматами и математикой что  видим,  доске  В  первую  очередь  попробуем  найти  эту  связь.  Для  этого  мы    рассмотрим  шахматную  доску.  Итак,   мы  на  шахматной  есть  координаты,   также  на  ней  есть  и  симметрия,   геометрия  тоже  не  обошла  её  стороной  Основываясь  на  этом,  я  начала  рассматривать  эту  связь  более  подробно,  а  именно на примерах.

2. Симметрия в шахматах 2.1. Симметрия относительно точки –  центральная симметрия Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка  плоскости. Преобразование фигуры F в фигуру F1, при  котором ее каждая точка Х переходит в точку Х1,  симметричную относительно данной точки О, называют  преобразованием симметрии относительно точки О. 2.2. Симметрия относительно прямой  – осевая симметрия Преобразование треугольника АВС в  треугольник А1В1С1,  при котором каждая  точка одного треугольника  переходит в  точку другого треугольника, симметричную  относительно прямой g, называется   преобразованием симметрии относительно  прямой g. При этом треугольники  называются  симметричными относительно прямой g

2.3.  Система координат Более  чем  за  100  лет  до  н.э.  греческий  ученый  Гиппарх  предложил  опоясать  на  карте  земной  шар параллелями и меридианами и ввести хорошо  теперь  известные  географические  координаты:  широту и долготу – и обозначить их числами. В  ХIVв.  Французский  математик  Н.  Оресм  ввел,  по  аналогии  с  географическими,  координаты  на  плоскости.  Он  предложил  покрыть  плоскость  прямоугольной  сеткой  и  называть  широтой  и  долготой то, что мы теперь называем абсциссой и  ординатой.  Декартовая  система  координат  на  плоскости  задается  перпендикулярными  координатными  прямыми  с  общим  началом  в  точке  О  и  одинаковым  масштабом.  Точка  О  называется началом координат. Горизонтальная  прямая  называется  осью  абсцисс  или  осью  х,  вертикальная  –  осью  ординат  или  осью  у.  хОу.  Координатную  Координаты  точки  обычно  указывают  в  скобках  рядом с обозначением точки: Р(х;у)  обозначают  взаимно  плоскость

На  шахматной  доске  тоже  есть  координаты.  При  профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение  фигур и координаты этих фигур). Алгоритм определения  координат чёрного короля.

(условные  знаки  2.4. Четность и нечетность позволяющее  Число  –  одно  из  основных  понятий  математики,  выразить  результаты  счета  или  измерения.   Со  временем  люди  научились  не  только  называть  числа,  но  и  обозначать  их  цифрами  для  обозначения  чисел).  Цифры  2,  4,  6,  8  называются четными,  а цифры 1, 3, 5, 7,  9  нечетными. Из признака делимости на  2  следует,  что  натуральные  числа,  которые  делятся  на  2,  называются  четными, остальные – нечетными. На  шахматной  доске  так  же  есть   чётность и нечётность. Тут они связаны с  номером хода. При каждом ходе король меняет четность  хода.  Например,  первый  ход  –  нечётный,  второй – чётный и т.д.  Чётность, нечётность на шахматной доске ещё  раз подтверждают прямое отношение шахмат к  математике.

3. Математика шахматной доски В математических задачах и головоломках на шахматной  доске дело, как правило, не обходится без участия фигур.  Однако доска сама по себе также представляет достаточно  интересный математический объект. Поэтому рассказ о  шахматной математике мы начнем с задач о шахматной  доске.  Задача  1.  Первая  из  них  также  связана  с  легендой.  Один  восточный  властелин  был  таким  искусным  игроком,  что  за  всю  жизнь  потерпел  всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов,  он  приказал  вставить  в  его  шахматную  доску  четыре  алмаза  —  на  те  поля, на которых был заматован его король (вместо алмазов изображены  кони).  После  смерти  властелина  его  сын,  слабый  игрок  и  жестокий  деспот,  решил  отомстить  мудрецам,  обыгравшим  его  отца.  Он  велел  разделить  им  шахматную  доску  с  алмазами  на  четыре  одинаковые  по  форме  части  так,  чтобы  каждая  заключала  в  себе  по  одному  алмазу.  Хотя  мудрецы  выполнили  требование  нового  властелина,  он  все  равно  лишил  их  жизни.  Эта  задача  о  разрезании  доски  часто  встречается  в  занимательной литературе.

Задача 2. Какое максимальное число полей  доски можно пересечь одной прямой? доски  в  образуются  Поля  результате  пересечения 18 прямых — девяти вертикальных  и  девяти  горизонтальных.  С  каждой  из  них  прямая­разрез  может  пересечься  лишь  в  одной  точке,  но  из  четырех  прямых,  образующих  края  доски,  она  пересекается  лишь  с  двумя.  Отсюда  следует,  что  наша  прямая  пересекает  прямые,  образующие  поля  доски,  самое  большее  в  16  точках.  Эти  точки  разбивают  прямую  не  более  чем на 15 отрезков, каждый из которых заключен  внутри  какого­нибудь  поля.  Таким  образом,  любой  разрез  доски  пересекает  не  более  15  полей.  Из  рисунка  следует,  что  ровно  столько  полей  проведенный  параллельно  диагонали  доски  и  проходящий  через  середины  сторон  двух  угловых  клеток.  Итак, одним разрезом можно пересечь 15 полей  доски.  Естественно,  следующая  задача. возникает  пересекает  разрез,

Задача 3. Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы  пересечь все ее поля?  Разумеется, восьми разрезов вполне достаточно — по  одному вдоль каждой вертикали или каждой горизонтали.  Однако, оказывается, что и семь прямых могут пересечь  все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести  почти в диагональном направлении через центр доски, а  шесть других — в направлениях почти параллельных  второй диагонали доски. равна  64,  а  площадь  закончим  Тему,  связанную  с  разрезанием  доски,  следующим  известным  парадоксом.  Разрежем  доску  на  четыре части, как показано на рис. 6а, и составим из них  прямоугольник  (рис.  6б).  Площадь  шахматной  доски,  очевидно,  полученного  прямоугольника  —  65.  Таким  образом,  при  разрезании  доски  откуда­то  взялось  лишнее  поле!  Разгадка  парадокса состоит в том, что наши чертежи выполнены  не  совсем  точно.  Если  делать  чертеж  аккуратно,  то  вместо  диагонали  прямоугольника  на  рис.  6б  появится  ромбовидная,  чуть  вытянутая  фигура  со  сторонами,  которые  кажутся  почти  слившимися.  Площадь  этой  фигуры как раз и дает одно «лишнее» поле.  Другую  тему  задач  о  доске  начнем  со  следующей  старинной головоломки.

36 правило:  Задача  1.  Художник­авангардист  Змий  Клеточкин  покрасил  несколько  клеток  доски  размером  8х8,  соблюдая  следующая  закрашиваемая  клетка  должна  соседствовать  по  стороне  с  предыдущей  закрашенной  клеткой,  но  не  должна  —  ни  с  одной  другой  ранее  закрашенной  клеткой. Ему удалось покрасить 36 клеток. Побейте  его рекорд!  каждая  Один из вариантов решения задачи 25% 28% 20% 28% 39 клеток 38 клеток 37 клеток 36 клетоки меньше

Задача 2. Отметьте на доске 8х8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой. Один из вариантов решения задачи 3% 6% 35% 56% 39 клеток 38 клеток 37 клеток 36 клеток и меньше

При работе над  темой мы пользовались следующими методами: •поисковый  метод  с  использованием  научной  и  учебной  литература,  а  также  поиск  необходимой  информации в сети Интернет; •практический метод решения задач, сюжетом которых являются шахматы; •анализ полученных в ходе исследования данных. При  решении  задач  на  раскрашивание  шахматной  доски  нет  какого­то  определенного  используемого  математического  метода,  нужно  просто  быть  внимательным  при  решении, чтобы учесть все содержащиеся в условии задачи ограничения. Задачи  на  раскрашивание  и  разрезание  доски,  по­моему,  самые  легкие  математические  шахматные  задачи.  Для  решения  таких  задач  единого  алгоритма  нет,  нужны  небольшие  математические  расчеты,  хорошее  внимание  и,  конечно,  строгие логические рассуждения. В  результате  нашего  исследования  были  сделаны  следующие  выводы:  древняя  мудрая  игра  –  шахматы  развивает  память,  логическое  мышление,  творческие  способности  человека.  «В  шахматах,­  говорил  великий  русский  писатель  Л.Н.  Толстой,­  нужно  дорожить  не  выигрышем,  а  интересными    комбинациями».  Наверное, этот большой простор для творчества так привлекает математиков  к шахматам.

в  каждом  популярных  Шахматная математика — один из  самых  жанров  занимательной  математики,  логических  игр  и  развлечений.  Почти  сборнике  олимпиадных  математических  задач  или  книге  головоломок  и  математических  досугов  можно  найти  красивые  и  остроумные  задачи  с  участием  шахматной  доски  и  фигур.  Многие  из  них  историю,  имеют  привлекали  к  внимание  известных ученых. интересную  себе  В  ходе  выполнения  работы  выявлены  следующие  математические  методы,  используемые  при  решении  задач  на  шахматную  тему:  метод  раскраски,  метод разрезания фигур. Практическая  значимость  работы  состоит  в  том,  что  собранный  материал можно использовать на занятиях как математического, так  и шахматного кружков, в том числе для подготовки к олимпиадам.

• Проделанная  мною  работа  для  меня  очень  полезна,  она  обогатила  мои  знания как в математике, так и в игре в шахматы. •   Во­первых,  почти  в  каждом  сборнике  олимпиадных  задач,  в  многочисленных  книгах,  посвященных  математическим  головоломкам,  содержатся красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски  и фигур. Надеюсь, что после тщательного изучения подобных задач, их  решение не будет вызывать у меня особых затруднений.  • Во­вторых,  при  игре  в  шахматы  я  могу  использовать  некоторое  математическое  видение  ситуации.  По  возможности,  буду  не  только  просчитывать будущие шахматные ходы, но и пытаться понять принцип  выигрыша. • Думаю, что собранный мною  материал можно использовать на занятиях  как  математического,  так  и  шахматного  кружков,  для  подготовки  к  олимпиадам, а также  для общего развития.

Благодарим за внимание!