Работа на научно - практическую конференцию "Шаг в будущее" - проект "Математика на шахматной доске"

Мирнинское районное управление образования МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 7» Научно – практическая конференция  «Шаг в будущее» «Математика на шахматной доске» Секция: физико – математических наук Автор: Семенова Арина Руководитель: Мамаева Алла Николаевна  «В юности у меня было два любимых занятия: математика и шахматы. Причина, по которой я предпочел шахматы математике, может показаться непосвященному странной, а то и парадоксальной: в шахматах больше жизни, чем в математике» Рихард Рети, гроссмейстер. Оглавление. Введение…………………………………………………………..……………………….. ….3 Основная часть ………………………………………………………………………………..4 1. Историческая справка……………………………………………. …………………..4 2. Связь между шахматами и математикой……………………………………………5 3. Симметрия в шахматах……………………………………………………………….5 4. Математика шахматной доски……………………………………………………….8 5. Заключение…………………………………………………………………………...10 6. Список литературы ………………………………………………………………….11 7. Приложения ………………………………………………………………………….12 2 Введение. Цель   работы:  установить   связь   между   способами   решения   математических   и шахматных задач. Задачи: 1. Провести анализ истории математики и шахмат. 2.   Продемонстрировать   математические   решения   задач,   связанных   с   шахматной доской. 3.   Продемонстрировать   математические   решения   задач,   связанных   с   шахматными фигурами. Гипотеза Шахматы — это не только увлекательная игра, но и оригинальный способ понимания решения математических задач, познания себя и окружающего мира. Аннотация проекта     В   ходе   проекта   предполагается   исследовать   связь   математики   и   шахмат, рассмотреть   решение   математических   задач,   связанных   с   шахматной   доской,   а   также, способы   решения   математических   задач,   связанных   с   шахматными   фигурами.       Тема связи математики и шахмат недостаточно освящена в современной литературе, хотя   применение   шахматной   теории   часто   встречается   на   олимпиадах   по   математике различного   уровня.   Шахматы   –   удобная   модель   многих   важных   и   сложных   задач, возникающих   на   практике.   Выбор   успешного   решения   в   сложной   жизненной   ситуации можно   сравнить   с   выбором   хорошего   хода   в   шахматной   партии.      В ходе проекта будут изучены библиографические данные, изучены решения, и решены самостоятельно некоторые шахматные и математические задачи. В работе используется частично­поисковый метод. В результате выполнения проекта автором были решены все поставленные задачи, возникло желание дальнейшего, более детального, изучения связи математики и шахмат. Целевая аудитория Данный   проект   будет   интересен   всем   ученикам,   интересующимся   математикой, желающим узнать больше, чем предлагают авторы учебников по математике. Кроме того работа   будет   полезна   учителям   для   использования   на   занятиях   элективных   курсов, кружковой   работе,   а   также   при   подготовке   учащихся   к   олимпиадам   и   конкурсам   по математике. Результат: Результатом является учебно­исследовательская работа по заявленной теме. Практическая значимость:    Практическая   значимость   работы   заключается   в   том,   что   собранный   материал можно использовать на занятиях как математического, так и шахматного кружков, в том числе для подготовки учащихся к олимпиадам по математике. 3 Перспективы развития: В   дальнейшем   работа   может   быть   продолжена   в   направлениях:   шахматы   в олимпиадных   задачах,   комбинаторика   на   шахматной   доске,   математика   шахматных турниров, шахматы и ПК и т.д.. Я поставила себе цель найти связь между шахматами и математикой, и считаю, что выполнила поставленную задачу. На примерах я подробно разобрала эту связь. Таким образом, математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А  шахматы  в  свою   очередь  помогают  нам  решать   простейшие  и  даже  самые сложные   математические   задачи,   помогают   развивать   логику,   внимание   и таким образом знать математику на пять. В   дальнейшем,   я   разберусь   в   том,   что   осталось   для   меня   загадкой,   и   я обязательно буду продолжать играть в шахматы. 1. Историческая справка Имя изобретателя и дата возникновения шахмат неизвестны. Полагают, что эта игра родилась в Индии где­то около VI века нашей эры. Шахматная   доска,   фигуры   и   сама   игра   часто   используются   для   иллюстрации разнообразных   математических   понятий   и задач. Шахматные примеры и термины можно встретить   в   литературе   по   кибернетике,   теории игр, вычислительной математике, исследованию операций,   теории   графов,   теории   чисел   и комбинаторике. Еще   одна   точка   соприкосновения математики   и   шахмат   —   это   один   из   жанров популярных занимательной математики,   к   которому   относятся математические игры, задачи и развлечения на шахматной доске. Почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач или книге головоломок и математических досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием   шахматной   доски   и   фигур.   Многие   из   них   имеют   интересную   историю, привлекали к себе внимание известных ученых. Например, задачей о ходе коня занимался великий математик Леонард Эйлер (приложение 1), а задачей о восьми ферзях — другой великий математик Карл Гаусс (приложение 2).   Интересно, что «шахматные» увлечения Эйлера относятся к 18­му столетию, а Гаусса — к середине 19­го. С тех пор в течение целого века крупные математики не занимались шахматами (речь идет о научном подходе к игре). Ситуация резко изменилась в середине 20­го столетия в связи с бурным развитием кибернетики и вычислительной техники [4].  «Игра в шахматы существовала еще до появления на Земле человека и, может быть, даже   до   сотворения   мира.   Если   мир   впадет   в   хаос,   игра   в   шахматы   останется   вне пространства и времени свидетельством вечного существования идей» – так высоко оценил искусство игры в шахматы Бонтемпелли. Конечно,   между   математикой   и   шахматами   много   родственного.   Выдающийся математик Г.Харди, проводя параллель между этими видами человеческой деятельности, заметил,   что   решение   проблем   шахматной   игры   есть   не  что  иное,   как   математическое упражнение, а игра в шахматы это как бы насвистывание математических мелодий. Формы   мышления   математика   и   шахматиста   довольно   близки,   и   не   случайно математики часто бывают способными шахматистами. 4 Шахматная   доска,   фигуры   и   сама   игра   часто   используются   для   иллюстрации разнообразных математических понятий и задач. Шахматные примеры и термины можно встретить в литературе по кибернетике, теории игр, вычислительной математике, теории графов,   теории   чисел   и комбинаторике.   Важное   место   занимают   шахматы   в   развитии современных методов программирования. В   математических   задачах   и   головоломках,   дело,   как   правило,   не   обходится   без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляет достаточно интересный объект    Я   заинтересовалась   этой   темой   потому,   что   люблю   шахматы,   и   мне очень   нравится   предмет   математика.   Мама   часто   говорит   мне:   «Играй   в шахматы, будешь знать математику на 5».  В связи с этим я часто думаю о том, почему это так.   Немного поразмыслив, я решила, что между ними есть какая — то связь. Прежде всего, хочу рассказать одну легенду, в которой прослеживается  связь между шахматами и математикой.   Когда персидский шах впервые познакомился с шахматами, он был восхищен их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрел игру, является его подданным, шах  позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал  выполнить любую просьбу мудреца,  и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски  мудрец попросил положить одно зерно, на второе – два, и т. д., на каждое последующее вдвое   больше   зерен,   чем   на   предыдущее.   Шах   приказал   быстрее   выдать   изобретателю шахмат   его   ничтожную   награду.   Однако   на   следующий   день   придворные   математики сообщили   своему   повелителю,   что   не   в   состоянии   исполнить   желание   хитроумного мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Это число записывается   двадцатью цифрами   и является фантастически большим. Подсчет показывает, что амбар для хранения необходимого зерна с площадью основания 80 кв.  м.  должен  простираться  от  Земли  до   Солнца.   Конечно,  связь   с  математикой  здесь несколько   условна,   однако   неожиданная   развязка   истории   наглядно   иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.                                          1. Связь между шахматами и математикой В первую очередь попробуем найти эту связь. Для этого мы   рассмотрим шахматную доску. Итак,  мы видим, что на шахматной доске есть координаты,   также   на   ней   есть   и   симметрия,  геометрия тоже не обошла её стороной  Рис.1. Шахматная доска Основываясь на этом, я начала рассматривать эту связь более подробно, а именно на примерах.                                               2. Симметрия в шахматах 5 Симметрия, как общий принцип гармонии в живой природе имеет глубокий смысл. Изучение   ее   проявлений,   закономерностей   играет   важную   роль   в   математике,   физике, химии, биологии. Если каждую точку данной фигуры сместить каким­нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Рассмотрим примеры преобразования фигур. 2.1. Симметрия относительно точки – центральная симметрия Пусть  F  – данная фигура и  О  – фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры  F  в   фигуру  F1,   при   котором   ее   каждая   точка  Х  переходит   в   точку  Х1, симметричную   относительно   данной   точки  О,   называют  преобразованием   симметрии относительно точки О. 2.2. Симметрия относительно прямой – осевая симметрия Преобразование   треугольника   АВС   в  треугольник А1В1С1,    при   котором   каждая точка  одного треугольника   переходит в точку  другого треугольника,  симметричную относительно прямой g, называется  преобразованием симметрии относительно прямой g. При этом треугольники  называются симметричными относительно прямой g (Рис. 1). Рис. 1. Симметрия относительно прямой Разнообразные   мотивы   симметрии   встречаются   и   на   шахматной   доске.   С   одной стороны,   речь   может   идти   о   симметрии   естественной,   т.   е.   возникающей   в   процессе шахматной партии, а с другой стороны, — используемой в шахматных задачах и этюдах. Симметрия   бывает   различных   типов;   наиболее   распространенные   –   осевая   и центральная.   На   шахматной   доске   при   осевой   симметрии   осью   служит   прямая, разделяющая левый и правый фланги доски (граница между вертикалями «d» и «e») или  нижнюю   и   верхнюю   части   (граница   между   четвертой   и   пятой   горизонталями).   Если, скажем, белый конь стоит на с2, а черный на с7 (Рис.4), то мы говорим, что эти кони расположены  симметрично. Осями являются и большие диагонали. 6 Рис. 2. Симметричное расположение коней на шахматной доске Симметрией   обладает   исходное   расположение шахматных фигур.                           2.3. Система координат Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами. В ХIVв. Французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты   на   плоскости.   Он   предложил   покрыть   плоскость   прямоугольной   сеткой   и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат,   связавший   геометрию   с   алгеброй.   Основная   заслуга   в   создании   метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту. Декартовая   система   координат   на   плоскости  задается   взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом в точке О и одинаковым масштабом. Точка О называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью   абсцисс  или   осью  х,   вертикальная   –  осью   ординат  или   осью  у.  Координатную плоскость   обозначают  хОу.  Координаты   точки   обычно   указывают   в   скобках   рядом   с обозначением точки: Р(х;у)     Рис. 3. Декартова система координат На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур). На рисунке 4 мы видим, некий алгоритм определения координат чёрного короля. 7 Рис.4. Определение координат шахматных фигур 2.4. Четность и нечетность Рис 5. Четность  и нечетность на шахматной доске Число   –   одно   из   основных   понятий   математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.  Со   временем   люди   научились   не   только   называть числа, но и обозначать их цифрами (условные знаки для обозначения чисел). Цифры 2, 4, 6, 8 называются четными,  а цифры 1, 3, 5, 7, 9  нечетными. Из признака делимости на 2 следует, что   натуральные   числа,   которые   делятся   на   2, называются четными, остальные – нечетными. На   шахматной   доске   так   же   есть   чётность   и нечётность.   Тут   они   связаны   с   номером   хода.     При каждом   ходе четность хода. Например, первый ход – нечётный, второй – чётный и т.д. (Рис. 5) Чётность, нечётность на шахматной доске ещё   раз   подтверждают   прямое   отношение   шахмат   к математике.   меняет   король   3. Математика шахматной доски В математических задачах и головоломках на шахматной доске дело, как правило, не обходится без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляет достаточно интересный математический объект. Поэтому рассказ о шахматной математике мы начнем с   задач   о   шахматной   доске.   Прежде   всего,   напомним   одну   старинную   легенду   о происхождении   шахмат,   связанную   с   арифметическим   расчетом   на   доске.   Согласно легенде индийский принц решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать награду. Изобретатель шахмат попросил в награду за своё изобретение столько пшеничных   зёрен,   сколько   их   получится,   если   на   первую   клетку   шахматной   доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т.е. 2 зерна, на третью – ещё в 2 раза больше, т.е. 4 зерна, и так далее до 64­й клетки. Каково же было удивление принца, когда он узнал, что такую, казалось бы, скромную просьбу невозможно выполнить.  Действительно,   число   зёрен,   о   которых   идёт   речь,   является   суммой   шестидесяти четырёх членов геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 2. Таким образом, изобретатель потребовал 1+2+22+...+263=264—1 зерен. Это число 8 записывается   двадцатью   цифрами,   является   фантастически   большим   и   заведомо превосходит   количество   пшеницы,   собранной   человечеством   до   настоящего   времени. Подсчет показывает, что амбар для хранения необходимого зерна с площадью основания 80 м2 должен простираться от Земли до Солнца [5].  Конечно, связь с математикой здесь несколько условна, однако неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.  Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски.  Задача 1. Первая из них также связана с легендой. Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения.   В   честь   своих   победителей,   четырех   мудрецов,   он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза — на те поля, на которых был заматован его король (см. рис. 2, где вместо алмазов   изображены   кони).   После   смерти   властелина   его   сын, слабый   игрок   и   жестокий   деспот,   решил   отомстить   мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами   на   четыре   одинаковые   по   форме   части   так,   чтобы каждая   заключала   в   себе   по   одному   алмазу.   Хотя   мудрецы выполнили  требование нового властелина, он все равно  лишил  их жизни.  Эта  задача  о разрезании доски часто встречается в занимательной литературе. Задача   2.   Какое   максимальное   число   полей   доски   можно   пересечь   одной прямой? Поля доски образуются в результате пересечения 18 прямых — девяти вертикальных и девяти горизонтальных. С каждой из них прямая­разрез может пересечься лишь в одной точке, но из четырех прямых, образующих края доски, она пересекается лишь с двумя. Отсюда следует, что наша прямая пересекает прямые, образующие поля доски, самое большее в 16 точках. Эти точки разбивают прямую не более чем на 15 отрезков, каждый из которых заключен внутри какого­нибудь поля. Таким образом, любой разрез доски пересекает не более 15 полей.   Из   рис.   4   следует,   что   ровно   столько   полей   пересекает разрез, проведенный параллельно диагонали доски и проходящий через середины сторон двух угловых клеток. Итак, одним разрезом можно пересечь 15 полей доски. Естественно, возникает следующая задача. Задача 3. Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы пересечь все ее поля?   Разумеется,   восьми   разрезов   вполне   достаточно   —   по   одному   вдоль   каждой вертикали   или   каждой   горизонтали.   Однако,   оказывается,   что   и семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр   доски,   а   шесть   других   —   в   направлениях   почти параллельных второй диагонали доски (рис. 5).  Тему, связанную с разрезанием доски, закончим следующим известным   парадоксом.   Разрежем   доску   на   четыре   части,   как показано на рис. 6а, и составим из них прямоугольник (рис. 6б). Площадь   шахматной   доски,   очевидно,   равна   64,   а   площадь полученного   прямоугольника   —   65.   Таким   образом,   при   разрезании   доски   откуда­то 9 взялось лишнее поле! Разгадка парадокса состоит в том, что наши чертежи выполнены не совсем точно. Если делать чертеж аккуратно, то вместо диагонали прямоугольника на рис. 6б появится ромбовидная, чуть вытянутая фигура со сторонами, которые кажутся почти Площадь   этой   фигуры «лишнее» поле.  как раз и дает одно слившимися. Рис.5 Рис.6 (а) Рис. 6(б) Задача 4. Отметьте на доске 8 х 8 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой. Задача 5. В квадрате 7х7 клеток закрасьте некоторые клетки строке и в так, чтобы в каждой каждом столбце оказалось ровно по три закрашенные клетки. Таким образом, успех решения шахматных задач непосредственно связан с умением решать математические задачи и, наоборот. При решении задач на раскрашивание шахматной доски нужно быть внимательным при решении, чтобы учесть все содержащиеся в условии задачи ограничения. Заключение Шахматная   математика   —   один   из   самых   популярных   жанров   занимательной математики,   логических   игр   и   развлечений.   Почти   в   каждом   сборнике   олимпиадных математических   задач   или   книге   головоломок   и   математических   досугов   можно   найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют интересную историю, привлекали к себе внимание известных ученых. 10 В работу вошли лишь некоторые задачи. Но их достаточно для того, чтобы показать, что   шахматная   математика   привлекательна.   Многие   шахматные   задачи   до   сих   пор   не решены и заслуживают пристального внимания и приложения интеллектуальных сил. В   ходе   выполнения   работы   выявлены   следующие   математические   методы, используемые при решении задач на шахматную тему: метод раскраски, метод разрезания фигур. Проведенный анализ литературных источников по теме проекта показал, что почти в каждом   сборнике   олимпиадных   задач,   в   многочисленных   книгах,   посвященных математическим   головоломкам,   содержатся   красивые   и   остроумные   задачи   с   участием шахматной доски и фигур. После тщательного изучения подобных задач, их решение не будет вызывать у многих школьников особых затруднений. Собственный опыт позволяет мне   при   игре   в   шахматы   использовать   некоторое   математическое   видение   ситуации, которое помогает не только просчитывать будущие шахматные ходы, но и пытаться понять принцип выигрыша. Практическая   значимость   работы   состоит   в   том,   что   собранный   материал   можно использовать на занятиях как математического, так и шахматного кружков, в том числе для подготовки к олимпиадам. В   дальнейшем   работа   может   быть   продолжена   в   направлениях:   шахматы   в олимпиадных   задачах,   комбинаторика   на   шахматной   доске,   математика   шахматных турниров, шахматы и ПК и т.д.. 11 1. – 240с. 2. 511 с. 3. 4. 5. Береславский Л.Я., Береславский М.Л. Шахматы. – М.: Астрель: АСТ, 2001.  Список литературы Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971. –  Гарднер М. Математические новеллы. – М.: Мир, 1974. – 456 с. Гик Е.Я. Шахматы и математика. – М.: Наука, 1983. – 176 с. http://ru.wikipedia.org/wiki/  ­ Задача о ходе коня.  12 Леонард Эйлер (1707 – 1783).  Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном Приложение 1 13 Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855) Приложение 2 14 Приложение 3 Приложение 4 15