Работа с учащимися над проектом "Удивительная пентаграмма". 9 класс. Математика

Удивительная Удивительная пентаграмма пентаграмма Автор: Костанди Юлия Автор: Костанди Юлия Ученица 9 класса МОУ сош Ученица 9 класса МОУ сош №24№24

Звезда, как много в этом слове… Звезда, как много в этом слове… Если спросить любого Если спросить любого человека о том, какие человека о том, какие ассоциации возникают ассоциации возникают у него со словом у него со словом «звезда», то каждый «звезда», то каждый ответит по-разному. ответит по-разному. Например: Например: небе небе области спорта, области спорта, искусства, науки искусства, науки это фигура с это фигура с пятиконечными пятиконечными выступами выступами - это светящаяся точка в - это светящаяся точка в - это знаменитость в - это знаменитость в -

звезда - это один из многих символов, которые звезда - это один из многих символов, которые нас окружают. нас окружают. это «макушка» Кремля и это «макушка» Кремля и новогодней ёлки новогодней ёлки это ордена и медали это ордена и медали России России это знак офицерского это знак офицерского отличия на погонах отличия на погонах

это цветки колокольчика, - это цветки колокольчика, картофеля, вишни, герани картофеля, вишни, герани это иглокожее морское это иглокожее морское животное животное -

почему люди уделяли и сейчас почему люди уделяли и сейчас уделяют пентаграмме такое уделяют пентаграмме такое внимание? внимание? Почему же пентаграмма приводила в  Почему же пентаграмма приводила в священный восторг пифагорейцев, священный восторг пифагорейцев, почему она была выбрана ими в почему она была выбрана ими в качестве символа жизни и здоровья? качестве символа жизни и здоровья? Я думаю, что в ней скрыта какая-то тайна. Я думаю, что в ней скрыта какая-то тайна. Эту тайну я попыталась поискать в истории символа Эту тайну я попыталась поискать в истории символа и геометрических свойствах пентаграммы и геометрических свойствах пентаграммы

План проведения План проведения исследования исследования собрать информацию из различных  собрать информацию из различных источников об использовании источников об использовании символа пентаграммы в различных символа пентаграммы в различных сферах человеческой жизни. сферах человеческой жизни. Исследовать факты о  Исследовать факты о распространении «пентагональной» распространении «пентагональной» симметрии в живой природе симметрии в живой природе Исследовать геометрические  Исследовать геометрические свойства пентаграммы свойства пентаграммы

Я обнаружила, что пентаграмма –правильная Я обнаружила, что пентаграмма –правильная пятилучевой симметрией, которая встречается пятилучевой симметрией, которая встречается геометрическая фигура, обладающая геометрическая фигура, обладающая только в живых организмах только в живых организмах  Строение человека, Строение человека, наличие у него по наличие у него по пяти пальцев на пяти пальцев на руках и ногах, руках и ногах, наличие у человека наличие у человека пяти органов чувств пяти органов чувств являются являются дополнительными дополнительными свидетельствами свидетельствами «пентадактильности «пентадактильности » человека. » человека.

Также выяснилось, что символ Также выяснилось, что символ пентаграммы встречается в религиозных пентаграммы встречается в религиозных и магических традициях многих народов и магических традициях многих народов Для христиан она  Для христиан она символизировала символизировала Троицу и Двойную Троицу и Двойную природу Христа природу Христа (Божественную и (Божественную и человеческую). человеческую). В Вавилоне пентаграмма  В Вавилоне пентаграмма была символом царской была символом царской власти, распространённой власти, распространённой на четыре стороны света на четыре стороны света и небо. и небо. Для евреев, она  Для евреев, она ассоциировалось с их ассоциировалось с их священным Пятикнижием, священным Пятикнижием, полученным Моисеем от полученным Моисеем от БогаБога

Я нашла способ построения пентаграммы, Я нашла способ построения пентаграммы, руководствуясь рекомендациями известного руководствуясь рекомендациями известного математика Дюрера математика Дюрера – центр окружности, AA – – Пусть OO – центр окружности, Пусть точка на окружности и ЕЕ – – точка на окружности и середина отрезка ОАОА. . середина отрезка Перпендикуляр к радиусу ОАОА, , Перпендикуляр к радиусу восставленный в точке ОО, , восставленный в точке пересекается с окружностью в пересекается с окружностью в точке DD. Пользуясь циркулем, . Пользуясь циркулем, точке отложим на диаметре отрезок отложим на диаметре отрезок CECE = = EDED. . Длина стороны вписанного в окружность правильного Длина стороны вписанного в окружность правильного . Откладываем на пятиугольника равна DCDC. Откладываем на пятиугольника равна окружности отрезки DCDC и получим пять точек для и получим пять точек для окружности отрезки начертания правильного пятиугольника. Соединяем начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. получаем пентаграмму.

727272 Легко видеть, что внутри пятиконечной звезды вновь Легко видеть, что внутри пятиконечной звезды вновь образуется правильный пятиугольник, образуется правильный пятиугольник, диагонали которого дают новую звезду диагонали которого дают новую звезду

1 1   15 15 2 2 Таким образом, последовательность Таким образом, последовательность правильных пятиугольников и правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образует вписанных в них звезд образует 15  бесконечно убывающую убывающую бесконечно 2 геометрическую прогрессию прогрессию геометрическую со знаменателем со знаменателем 15  2 = 0,618…<1, или ряд золотого сечения: = 0,618…<1, или ряд золотого сечения: φφ = = 1, φφ, , φφ22, , φφ33, , φφ44, , φφ55, …, , …, 1, причем стороны правильных пятиугольников образует причем стороны правильных пятиугольников образует ряд четных степеней: 1, φφ22, , φφ44, …, , …, ряд четных степеней: 1,

. Наконец, если продолжить стороны правильного пятиугольника до пересечения, то получим звезду, сторона которой а находится со стороной, равной 1 исходного пятиугольника в золотой пропорции, т.е :  )15(2   )15)(15(  )15( 2 2  15  )15(2  1  15 2 а=1/ φ = = = Φ = 1,618… >1.    4 Итак, данную пентаграмму можно неограниченно продолжать как в сторону уменьшения, так и в сторону увеличения. При этом стороны правильных пятиугольников и вписанных в них звезд образуют ряд золотого общего вида …, φ3, φ2, φ, 1, Φ, Φ2, Φ3, … или…, Φ-3, Φ-2, Φ-1, Φ0, Φ, Φ2, Φ3, …,

Оказывается из множества геометрических прогрессий данный ряд отличается замечательным свойством, называемым аддитивным: сумма двух соседних членов ряда равна или ΦΦn – 2n – 2 = aan – 2n – 2 + a + an – 1n – 1 = a = ann, , или следующему члену ряда: = ΦΦn – 1 n – 1 = = ΦΦn n В самом деле, поскольку 1 – φφ = В самом деле, поскольку 1 – 1 + 1 + ΦΦ = 1 + = 1 +11//φφ=(1+=(1+ φ φ)/)/ φ φ=(1+=(1+ φ φ)/(1- и и значит значит,, (1 + ΦΦ) = )=1/ φ² φ² = = ΦΦ22 =1/(1- φ φ)=1/ =1/(1- aan – 2n – 2 + a + an – 1n – 1 = = ΦΦn – 2n – 2 + = ΦΦn – 2n – 2 (1 + = φφ22, то, то )/(1- φ² φ²)=)= ) = ΦΦn – 2n – 2 · · + ΦΦn – 1n – 1 = ΦΦ22 = = ΦΦnn = a = ann. .

И ещё: И ещё: если рассмотреть сумму АВ + ЕД= =(φ+φ²+φ)+φ²= =2φ+2φ²=2(φ+φ²)=2АD , т.е АD =½(АВ + ЕD) - среднее арифметическое φ²φ² φφ DD BB φφ A E A E ФФ -если извлечь квадратный корень из произведения АВ и АЕ, -если извлечь квадратный корень из произведения АВ и АЕ, то получим то получим ААDD: √Ф· : √Ф·φφ = √1 = =√АВ·АЕ - среднее геометрическое - среднее геометрическое = √1//φ·φ·φφ = 1, т.е. А = 1, т.е. АDD = =√АВ·АЕ -если рассмотреть = = = = -если рассмотреть = = = =  2 ЕD АВ  2 2   АВ ЕD АЕ – среднее гармоническое == = =АЕ – среднее гармоническое   3 1     2 2 Ф   2 Ф  2   3  1   1    2 2   2  1  1 Ф  2 2   2 1)( )  2 2  2 2 (  )  Ф  1( 

Выводы: Выводы: Я убедилась, что пентаграмма обладает  Я убедилась, что пентаграмма обладает замечательными математическими замечательными математическими свойствами. Она содержит все пропорции, свойствами. Она содержит все пропорции, известные пифагорейцам: арифметическую, известные пифагорейцам: арифметическую, геометрическую, гармоническую и золотую. геометрическую, гармоническую и золотую. Поразительным является и еще одно  Поразительным является и еще одно обстоятельство. Звездчатый пятиугольник обстоятельство. Звездчатый пятиугольник обладает пятилучевой симметрией. Следует обладает пятилучевой симметрией. Следует заметить, что пятилучевая симметрия в заметить, что пятилучевая симметрия в неживой природе, к примеру, кристаллах, неживой природе, к примеру, кристаллах, отсутствуют. А вот вся живая материя отсутствуют. А вот вся живая материя построена по принципу пентасистемы. То построена по принципу пентасистемы. То есть пентаграмма в своей форме одно из есть пентаграмма в своей форме одно из отличий живого от неживого. отличий живого от неживого.

Источники Источники информации информации Дюрер А. Дневники, письма, трактаты –М,»Высшая  Дюрер А. Дневники, письма, трактаты –М,»Высшая школа» 1957. школа» 1957. В.А.Корчагина «Биология». – Москва, 1989.  В.А.Корчагина «Биология». – Москва, 1989. В.А.Корчагина «Ботаника». – Москва, 1982.  В.А.Корчагина «Ботаника». – Москва, 1982. С.И.Ожегов и Н. Ю. Шведова «Толковый словарь русского  С.И.Ожегов и Н. Ю. Шведова «Толковый словарь русского языка». – Москва языка». – Москва Бендукидзе А.Д. Журнал "Квант", 1973,   №  8.  Бендукидзе А.Д. Журнал "Квант", 1973,   №  8. Волошинов А.В. Пифагор. М., 1993.  Волошинов А.В. Пифагор. М., 1993. Зенкевич И.Г. Эстетика урока математики. Эстетика урока математики.  Зенкевич И.Г. Пособие для учителей. М Просвещение, 1981.,  Пособие для учителей. М Просвещение, 1981., Тарасов Л.. Этот удивительный мир. Просвещение, 1982. Этот удивительный мир. Просвещение, 1982.  Тарасов Л http://www.ed.vseved.ru/ http://www.ed.vseved.ru/.. 