Разбор геометрических задач ЕГЭ

Задача № 1. Пусть R(q) - выручка от продажи некоторого продукта в количестве q, C(q) - затраты на выпуск данного продукта. Найти

а) величину налога t на каждую единицу продукта, чтобы налог от всей реализуемой продукции был максимальным;

б) весь налоговый сбор;

в) определить изменение количества выпускаемой продукции.

Решение. При введении налога доход поставщика уменьшится на величину T= tq и составит R_t(q) = 30q – q² – tq. Затраты при выпуске q при этом не меняются, поэтому прибыль поставщика

П_t(q) = R_t(q) – C(q) = 30q – q² – tq – (q² – 2q + 28) = 32q – 2q² – tq – 28.

Необходимое условие максимума прибыли П_t'(q) = 0, т.е.

32 – 4q – t = 0,

q_t = 8 – t/4.

Поскольку П_t''(q) = - 4, то точка q = 8 – t/4 определяет максимум прибыли. Величина общего сбора от налога: T(t) = tq = 8t – t²/4

Максимальный сбор достигается при условии T'(t) = 0, т.е.

8 – t/2 = 0, t = 16.

Так как T''(t) = -1/2 < 0, то t^* = 16 - точка максимума T(t) . Весь налоговый сбор

T (16) = 8·16 – 16²/ 4 = 64 .

а объем производства равен q_t* = 8 – 16/4 = 4.

Если бы дополнительный налог не вводился, то прибыль поставщика

равнялась бы П(q) = 32q – 2q² –28.  При этом П'(q) = -4q + 32 , и максимум прибыли достигался бы при объеме производства q = 8. Таким образом, введение дополнительного налога уменьшает объем производства в два раза

(с 8 до 4).

Ответ. t^* = 16; T (16) = 64;  q_t* =4 , q = 8, объем производства уменьшится в два раза.