Поделиться
nekotorye_svoystva_okruzhnosti.pptx
Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности
Повторение
Окружность (O;R)
AB – диаметр
ОС = ОА = ОВ – радиусы
АС - хорда
А
B
O
C
Теорема 20.1 Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Дано: Окр.(O; R)
АВ – хорда
CD – диаметр
CD ⊥ АВ
Доказать: CD делит АВ пополам.
Доказательство:
1 случай
Если хорда АВ – диаметр, то CD пересекает АВ в точке О, значит, АО = ВО.
А
O
C
D
В
Теорема 20.1 Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Дано: Окр.(O; R)
АВ – хорда
CD – диаметр
CD ⊥ АВ
Доказать: CD делит АВ пополам.
Доказательство:
2 случай
Если хорда АВ – не диаметр, то CD пересекает АВ в точке М.
Докажем, что АМ = МВ.
Д. п. Проведем радиусы ОА и ОВ.
Рассмотрим треугольник АОВ – равнобедренный (ОА = ОВ).
ОМ – высота и медиана (по свойству р/б треугольника), значит, АМ = МВ.
А
O
C
D
В
М
Теорема 20.2 Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.
А
O
C
D
М
В
Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности.
Вспомним, что называется расстоянием от точки до прямой?
Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки к этой прямой.
СН ⊥ а
C
а
H
Рассмотрим взаимное расположение прямой и окружности.
Обозначим ОН – расстояние от центра окружности О до некоторой прямой а.
O
r
Если ОН > r, то прямая а и окружность не имеют общих точек.
Н
r
Если ОН < r, то прямая а и окружность имеют две общих точки и прямая называется секущей.
O
r
Если ОН = r, то прямая а и окружность имеют одну общую точку и прямая называется касательной к окружности.
Н
Н
O
а
а
а
Теорема 20.3 (свойство касательной) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Окр. (О; R)
а – касательная к окружности
точка А – точка касания
ОА – радиус, проведенный в точку касания
а ⊥ ОА
а
Теорема 20.4 (признак касательной к окружности) Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
Следствие Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.
Задача. Докажите, что если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.
Дано: Окр.(O; R)
АВ, АС – касательные
Доказать: АВ = АС.
Доказательство:
Д.п. Радиусы ОВ и ОС.
По свойству касательной ОВ ⊥ АВ, ОС ⊥ АС.
Рассмотрим прямоугольные треугольники АОВ и АОС:
ОВ = ОС (как радиусы одной окружности)
АО – общая
Следовательно, Δ АОВ = Δ АОС (по катету и гипотенузе).
Значит, АВ = АС.
О
А
С
В
№511.
А
O
C
D
М
В
Дано: Окр.(O; R)
АВ – хорда
CD – диаметр
CD ⊥ АВ
Доказать: ∠AOD = ∠BOD
Доказательство:
Рассмотрим треугольник АОВ – равнобедренный (АО = ОВ).
ОМ – высота и биссектриса (по свойству р/б треугольника), значит, ∠AOD = ∠BOD.
№512.
А
O
C
D
М
В
Дано: Окр.(O; R)
АВ = CD – хорды
OP и OM – расстояния от центра окружности до хорд
Доказать: OP = OM.
Доказательство:
1) Рассмотрим Δ АОВ – р/б (ОА = ОВ).
ОМ – высота и медиана (по свойству р/б треугольника),
значит, АМ = МВ = 1 2 1 1 2 2 1 2 АВ.
2) Аналогично, Δ CОD – р/б (ОC = ОD) и CP = PD = 1 2 1 1 2 2 1 2 CD.
3) Т.к. AB = CD, то 1 2 1 1 2 2 1 2 AB = 1 2 1 1 2 2 1 2 CD, значит, PD = AM.
4) Рассмотрим Δ OPD и Δ OMA - прямоугольные:
PD = AM (из доказанного), OD = OA (как радиусы), значит,
Δ OPD = Δ OMA (по катету и гипотенузе).
Отсюда, OP = OM.
Р
Материалы на данной страницы взяты из открытых источников либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.
