Разработка открытого урока

Открытый урок по теме: "Показательные уравнения"

Открытый урок

в 10 «Ф» классе

по теме:

«Показательные уравнения»

Учитель: Похилая О.П.

ГБОУ РО «Таганрогский педагогический лицей – интернат»

Таганрог - 2020

Показательные уравнения

Тип учебного занятия: изучение нового материала.

Вид занятия: открытие новых знаний и закрепление ранее изученного.

Цель занятия: развитие деятельностных компетенций обучающихся через овладение основными методами решения простейших показательных уравнений.

Задачи: а) обучающая: познакомить обучающихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

б) развивающая: создать условия для развития: познавательного интереса к математике через содержание учебного материала; навыков устной и письменной речи; развитие памяти; логического мышления, самостоятельной деятельности обучающихся.

в) воспитательная: обеспечение условий: по формированию сознательной дисциплины и норм поведения обучающихся, для совершенствования навыков общения и взаимопомощи; воспитывать аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Методическое оснащение урока:

Источники информации: обучающие карточки, презентация, учебник Ш. А. Алимов и др. «Алгебра и начала математического анализа. 10 - 11»

Оборудование: компьютер, проектор, мел \ маркеры, доска.

Дидактическое сопровождение: тестовые задания.

План учебного занятия

1. Организационный момент:

Приветствие, эмоциональный настрой обучающихся на работу.

2. Проверка знаний обучающихся.

Дидактическая задача – воспроизведение опорных знаний предыдущего урока.

Метод и форма проведения: фронтальный опрос в игровой форме «Заморочки из бочки», математический диктант, взаимопроверка.

По завершении опроса выставление обучающимся оценок, краткое рецензирование их ответов при необходимости.

3. Актуализация знаний учащихся.

Дидактическая задача – воспроизведение учащимися знаний умений и навыков, необходимых для «открытия» нового знания.

Метод и форма проведения: метод устных упражнений, фронтальный опрос.

4. Сообщение темы, постановка целей и задач занятия совместно с обучающимися. Мотивация.

Дидактическая задача-возбуждение интереса к материалу, пробуждение творческой мысли, осознанное принятие учащимися цели познавательной деятельности.

5. Изучение нового материала

Дидактическая задача - изучение оптимального объема материала, формирование умения пользоваться приобретенными знаниями на практике.

Метод и форма проведения: самостоятельная работа обучающихся с раздаточным материалом (самостоятельное изучение нового материала), словесное изложение, изложение с максимальной наглядностью.

6. Первичная проверка и закрепление изученного материала:

Дидактическая задача - установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала; выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция.

Метод устных упражнений, письменные задания (практическая отработка решения уравнений), карточки.

7. Подведение итогов занятия

Анализ и оценка успешности достижения цели, результативность занятия.

8. Рефлексия

На координатной прямой отметить местоположение своего ощущения усвоения материала темы.

9. Задание на дом, инструктаж по его выполнению

Составить 3 показательных (решаемые любым методом) и решить их.

Дата проведения: 3.12.2020

Показательные уравнения

«Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»

С. Коваль

Слайд №1. Просвещенные люди издревле решали уравнения и нам предстоит обзавестись ключом к решению нового вида уравнений.

Слайд №2. Для этого нам сегодня предстоит пройти по следующему маршруту. Знакомство с «дорожной картой»

Слайд №3. Математический диктант «Без ручки»

1) x² + 5x = 0;	-5; 0
2) 6x² = 0	0
3) x² – 9 = 0	-3; 3
4) –2x² - 11 = 0	нет корней
5) (x – 2)(x + 4) = 0	-4; 2
6) x² + 12x + 36 = 0	-6
7) 7ⁿ = 1	0

Слайд №4. Взаимопроверка\самопроверка. Как называется последнее уравнение?

Слайд №5. Сформулируйте словами теорему, позволяющую решать простейшие показательные уравнения. А теперь по очереди приведите примеры показательных уравнений.

Слайд №6. При решении показательных уравнений нам понадобятся правила действий со степенями. Вспомним их. Сформулировать свойства степеней.

Слайд №7. Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте проверим вашу готовность к уроку, ответив на вопросы по пройденному материалу. Фронтальный опрос: «Заморочки из бочки».

Опрос в игровой форме (заморочки из бочки)

1.Какая функция называется показательной?

2.Приведите примеры показательной функции.

3.Назовите область определения функции.

4.Назовите область значений показательной функции y =4^x.

5. Какая показательная функция является возрастающей, а какая убывающей?

6. Является ли показательной функция у = 5^x+ 2

7. Является ли показательной функция у = х²+ 2?

8. Верно ли, что график показательной функции y =2^x проходит через точку с координатой(0;1)?

9. Является ли убывающей функция y =2^x?

10. Является ли возрастающей функция y = (0,3)^x?

11. Верно ли, что показательная функция f(x) = а^x принимает наибольшее значение в некоторой точке x₀?

12. Верно ли, что показательная функция y = а^x принимает значение в некоторой точке значение равное нулю?

13. Верно ли, что уравнение 5^x=-5 имеет один корень?

Слайд №8. Какую цель мы сформулировали в начале нашего занятия?

Выявить общий вид показательного уравнения, выяснить способы его решения и научиться решать простейшие показательные уравнения.

Чтобы научиться хорошо решать показательные уравнения нужно уметь узнавать числа и представлять их в виде степени числа.

Устная работа

Представьте числа в виде степени :1/2; 8; 16; 27; 1/32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243.

Слайд №9. Проверим домашнее задание.

Слайд №10. Изучение нового материала

Слайд № 11. Существуют следующие методы решения показательных уравнений:

1.Метод приведения степеней к одинаковому основанию.

2.Вынесение общего множителя за скобки.

3.Метод введения новой переменной.

4.Метод почленного деления.

5.Графический метод.

Слайд №12. Сейчас мы распределимся по группам и я дам каждому члену группы опорный конспект, по которому вам предстоит изучить один из методов решения показательного уравнения. Изучив метод решения уравнения теоретически, приступаете к практическому применению, разбираете решенные примеры в опорном конспекте. Если возникают вопросы, обращаетесь к учителю. Далее выполняете примеры, предложенные для самостоятельной работы, после чего проходит взаимопроверка. Один из учеников сообщает учителю о готовности группы по своему заданию.

1 группа «Изучить решение показательных уравнений методом приведения степеней к одинаковому основанию».
2 группа «Изучить решение показательных уравнений методом вынесение общего множителя за скобки»
3 группа «Изучить решение показательных уравнений методом введения новой переменной»

4 группа «Изучить решение показательных уравнений методом почленного деления»

Слайды №13,14,15. Проходит защита заданий каждой группой. Учащиеся остальных групп внимательно слушают объяснения, записывают примеры решения уравнений и задают вопросы, если что-то не понятно.

Слайд №15. Подведение итогов. Способы решения. Оценки.

Проверочная работа:

Решите уравнения, указав выбранный метод решения:

Уравнение

Решения

Метод

1. =128;

2. =;

3. =1;

4. =-1;

5. =8;

6. +=320;

7. -10*+16=0.

1) 7

2) -1/3

3) -2; 7

4) Нет корней

5) 1,5

6) 3

7) 1; 3

Слайд № 17, 18. Показательные уравнения ЕГЭ.

Слайд № 19. Дома составить три показательных уравнения и решить их.

Выходя, на координатной прямой отметь свое местоположение ощущения понимания темы.

Приложение 1

Фронтальный опрос: «Заморочки из бочки»

1.Какая функция называется показательной?

2.Приведите примеры показательной функции.

3.Назовите область определения показательной функции.

4.Назовите область значений показательной функции y =4^x.

5.Какая показательная функция является возрастающей, а какая убывающей?

6.Является ли показательной функция у = 5^x+ 2

7.Является ли показательной функция у = х²+ 2?

8.Верно ли, что график показательной функции y =2^x проходит через точку с координатами (0;1)?

9.Является ли убывающей функция y =2^x?

10.Является ли возрастающей функция y = (0,3)^x?

11.Верно ли, что показательная функция f(x)= а^x принимает наибольшее значение в некоторой точке x₀?

12.Верно ли, что показательная функция y = а^x принимает в некоторой точке значение, равное нулю?

13.Верно ли, что уравнение 5^x =-5 имеет один корень?

Приложение 2

Фронтальный опрос: «Заморочки из бочки»

1.Какая функция называется показательной?	Функция вида y=a^x,где а>0 и а≠1.
2.Приведите примеры показательной функции.	Например, y=7^x
3.Назовите область определения показательной функции.	x- любое действительное число
4.Назовите область значений показательной функции y =4^x.	Множество положительных действительных чисел.
5. Какая показательная функция является возрастающей, а какая убывающей?	Показательная функция, основание которой больше единицы, возрастает. Если основание больше нуля, но меньше единицы, то функция убывает.
6. Является ли показательной функция у = 5^x+ 2	Да.
8. Является ли показательной функция у = х²+ 2?	Нет.
8. Верно ли, что график показательной функции y =2^x проходит через точку с координатами (0;1)?	Да.
9. Является ли убывающей функция y =2^x?	Нет.
10. Является ли возрастающей функция y = (0,3)^x?	Нет. 0<0,3<1, значит функция *убывает*
11. Верно ли, что показательная функция f(x) = а^x принимает наибольшее значение в некоторой точке x₀?	Нет, неверно.
12. Верно ли, что показательная функция y = а^x принимает в некоторой точке значение, равное нулю?	Нет, неверно.
13. Верно ли, что уравнение 5^x =-5 имеет один корень?	Нет, оно не имеет корней.

Приложение 3

Показательные уравнения

Метод уравнивания показателей

Равенство a^t=a^s, где a>0,a≠1, справедливо тогда и только тогда, когда t=s.

Пример:

1. Решить уравнение: 2^2x−4=64.

Представив 64 как 2⁶, перепишем заданное уравнение в виде 2^2x−4=2⁶.

Это уравнение равносильно уравнению 2x−4=6 , откуда находим: x=5.

Ответ: x=5.

2. Решить уравнение:

а).(2/5)^x=(5/2)⁴;

б).3^{х^2-х-2}=81;

в). 3^х=9.

Ответы:

а). -4;

б).-2; 3,

в). 4.

Приложение 4

Показательные уравнения

Вынесение общего множителя за скобки

Признаки показательного уравнения, решаемого вынесением общего множителя за скобки:

1) все степени имеют одинаковые основания;

2) все показатели степеней имеют одинаковые коэффициенты при переменных.

Количество степеней может быть любым.

Выносить за скобки можно степень с любым показателем, но удобнее всего в качестве общего множителя вынести степень с наименьшим показателем если основание a>1, с наибольшим — при a<1.

Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаем. При вычитании наименьшего показателя получим все степени с положительными показателями (в противном случае появятся степени с отрицательными показателями и придётся иметь дело с дробями, что менее удобно).

Пример №1

$1){5^{x + 2}} - {5^x} = 120$ , выносим за скобки степень с меньшим показателем (он равен x):

${5^x} \cdot (\frac{{{5^{x + 2}}}}{{{5^x}}} - \frac{{{5^x}}}{{{5^x}}}) = 120$

${5^x} \cdot ({5^{x + 2 - x}} - 1) = 120$

${5^x} \cdot ({5^2} - 1) = 120$

${5^x} \cdot 24 = 120\_\_\_\left| {:24} \right.$

${5^x} = 5$

$x = 1$

Ответ: 1.

Пример №2

Решить уравнение:

7^x⁺²₊4*7 ^x⁺¹ = 539

Ответ: 1

Приложение 5

Показательные уравнения

Способ подстановки

Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Пример №1

Решить уравнение: 9^x−4⋅3^x−45=0.

Решение:

Заменой 3^x=t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t²−4t−45=0.

Решая это уравнение, находим его корни: t₁=9,t₂=−5, откуда 3^x=9, 3^x=−5.

Уравнение 3^x=9 имеет корень x=2,

а уравнение 3^x=−5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ: x = 2

Пример №2

Решить уравнение: 4^x+2^x+1−24=0.

Заметив, что 4^x=(2²)^x=2^2x=(2^x)², а 2^x+1=2⋅2^x,

перепишем заданное уравнение в виде (2^x)²+2⋅2^x−24=0.

Введём новую переменную y=2^x; тогда уравнение примет вид y²+2y−24=0.

Решив квадратное уравнение относительно y, находим: y₁=4,y₂=−6.

Но y=2^x, значит, нам остаётся решить два уравнения: 2^x=4; 2^x=−6.

Из первого уравнения находим x=2, а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях x выполняется неравенство 2^x>0.

Ответ: 2.

Пример №3

Решить уравнение:

9^x– 4*3^x+ 3 = 0

Ответ: 0;1

Приложение 6

Показательные уравнения

Однородные уравнения

Рассмотрим показательные уравнения со степенями, содержащими две степени с разными основаниями и одинаковыми показателями: ${a^{f(x)}} = {b^{f(x)}}$ (где a и b — положительные числа, отличные от единицы).

Уравнения такого вида называются однородными показательными уравнениями первой степени. Однородные уравнения решаются делением на одну из степеней:

${a^{f(x)}} = {b^{f(x)}}\_\_\_\left| : \right.{b^{f(x)}}$ (так как b>0, то ${b^{f(x)}} > 0$ при любом показателе f(x), то есть деление на степень не приводит к потере корней).

В результате деление получаем с одной стороны частное степеней с одинаковыми показателями, с другой — единицу: $\frac{{{a^{f(x)}}}}{{{b^{f(x)}}}} = 1$

По свойству степеней, ${(\frac{a}{b})^{f(x)}} = 1,$ а единицу можно представить как степень с любым основанием и показателем 0: ${(\frac{a}{b})^{f(x)}} = {(\frac{a}{b})^0}$

Приравниваем показатели: $f(x) = 0.$

Пример №1

$1){7^{2x - 5}} = {11^{2x - 5}}$ Разделим обе части уравнения на степень, стоящую в правой части уравнения:

${7^{2x - 5}} = {11^{2x - 5}}\_\_\_\left| : \right.{11^{2x - 5}} \ne 0$

$\frac{{{7^{2x - 5}}}}{{{{11}^{2x - 5}}}} = 1$ Преобразуем левую часть уравнения

${(\frac{7}{{11}})^{2x - 5}} = 1$ и представим единицу в виде степени с таким же основанием, что и степень в левой части ${(\frac{7}{{11}})^{2x - 5}} = {(\frac{7}{{11}})^0}$

$2x - 5 = 0$

$2x = 5$

$x = 2,5$

Ответ: 2,5.

Пример №2

2^x+1= 3^x+1

^{Ответ:
-1}

^{Приложение 7}

Показательные уравнения Свести к одинаковому основанию
	-1
.	4
.	10
.	4
.	8,75
.	12,5
.	8
	0
	1,125
	-4

Показательные уравнения		Показательные уравнения
1			1
2	.		2	.
3	.		3	.
4	.		4	.
5	.		5	.
6	.		6	.
7	.		7	.
8			8
9			9
10			10
Показательные уравнения			Показательные уравнения
1			1
2	.		2	.
3	.		3	.
4	.		4	.
5	.		5	.
6	.		6	.
7	.		7	.
8			8
9			9
10			10

Открытый урок в 10 «Ф» классе по теме: «Показательные уравнения»

Показательные уравнения Тип учебного занятия : изучение нового материала

Дидактическая задача - изучение оптимального объема материала, формирование умения пользоваться приобретенными знаниями на практике

Слайд №4. Взаимопроверка\самопроверка

$Слайд №4. Взаимопроверка\самопроверка$

Слайд №10. Изучение нового материала

Приложение 1 Фронтальный опрос: «Заморочки из бочки» 1

Приложение 2 Фронтальный опрос: «Заморочки из бочки» 1

Приложение 3 Показательные уравнения

Приложение 4 Показательные уравнения

Приложение 5 Показательные уравнения

Приложение 6 Показательные уравнения

Приложение 7 Показательные уравнения

Показательные уравнения

Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.

19.06.2021