Развитие вычислительных навыков учащихся

МКОУ Кармаклинская СОШ Развитие вычислительных навыков учащихся Учитель математики и физики: Бойкова А.В. 2016 год                                                                                           Важную   роль   в   школьном   курсе   обучения   математике   имеют вычислительные   навыки.   Ни   один   пример,   ни   одну   задачу   по   математике, физике,   химии   нельзя   решить,   не   обладая   элементарными   способами вычислений. Гораздо меньше проблем с математикой у учащихся с прочными вычислительными навыками.          Большое количество учащихся не владеют вычислительными навыками. Причин здесь несколько:  низкий уровень мышления учащихся;  неразвитая память и внимание;  отсутствие контроля работы детей при выполнении домашнего задания со стороны родителей;  причина и в нас, учителях: ссылаясь на отсутствие времени во время урока,   мало   внимания   уделяем   на   формирование   вычислительных навыков.  Требования к вычислительным умениям и навыкам учащихся. Если   учащиеся   умеют   достаточно   бегло   выполнять   математические действия с натуральными числами, десятичными и обыкновенными дробями, рациональными   числами,   производить   тождественные   преобразования различных   числовых   выражений   то   можно   считать,   что   вычислительные навыки и умения сформированы. Вычислительная подготовка учащихся обычно характеризуется умением организовывать   процесс   вычисления   с   использованием   удобных вычислительных   средств,   выполнять   проверку   вычислений,   оценивать точность приближенного результата. В зависимости от сложности задания на практике   используются три вида   вычислений:   письменное,   устное   и   письменное   с   промежуточными устными вычислениями. При   обучении   вычислениям   и   совершенствовании   техники   счета необходимо отчетливо представлять, какие умения и навыки формируются у учащихся. Отработка навыков важна как в устной, так и в письменной работе учащихся.   В письменной работе данные числа, знаки арифметических действий, результаты   записываются.   Поэтому   на   успех   вычисления   большое   влияние оказывает качество записей. Когда на своих уроках я провожу письменную работу, то требую от учащихся четко записывать математические символы (цифры,   знаки     действий),   цифры   и   знаки   располагать   в   соответствии   с принятой записью алгоритма действий. Устные вычисления в методическом отношении представляют собой  большую ценность. В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции,   воспитывается   умение   сосредоточиться,   проявляется   инициатива учащихся, потребность и самоконтроль, повышается культура счета. При   подготовке   материалов   для   устной   работы     важно   как   можно больше заинтересовать учащихся, поэтому подбираю занимательные задачи, применяю   дидактические   игры,   организую   опрос   в   виде   соревнований, турниров.   Сейчас   есть   возможность   использовать   современные   средства обучения. Поэтому, некоторые задания можно показывать на слайдах. В ходе обучения   учащиеся   приобретают   опыт   рационального   выполнения вычислений. Я учу школьников видеть свойства чисел и их комбинации, определять возможности применения изучаемых преобразований. Я стараюсь как можно чаще задавать учащимся следующие вопросы:  Нет ли более рационального пути вычисления?  Нельзя ли выполнить вычисления иначе?  Короче ли они? Положительный результат в вычислительной работе получается еще и за счет   применения   эффективных   приемов   счета.  Например,  при   изучении темы «Формулы сокращенного умножения» в 7 классе я учу считать так: 512=(50+1)2=502+2х50х1+12=2500+100+1=2601 Критерии и уровни сформированности вычислительных навыков. высокий средний низкий уровн и критерии 1. правильность Ребенок   иногда допускает ошибки промежуточных операциях. в   Ученик правильно находит результат арифметическог о   действия   над данными числами. Ученик   часто неверно   находит результат арифметического действия,   т.е.   не правильно выбирает выполняет операции. Ребенок не осознает порядок выполнения и     2. осознанность Ученик осознает, на   основе   каких знаний   выбраны Ученик осознает, на   основе   каких знаний   выбраны 3. рациональность 4. обобщенность 5. автоматизм 6. прочность операции. Может объяснить решение примера.   Ученик, сообразуясь   с конкретными условиями, выбирает   для данного   случая более рациональный прием.   Может сконструировать несколько приемов и выбрать   более рациональный. Ученик   может применить прием вычисления   к большему   числу случаев,   т.е.   он способен перенести   прием вычисления   на новые случаи. Ученик выделяет и выполняет операции   быстро и   в   свернутом виде.   операции,   но   не может самостоятельно объяснить, почему   решал так, а не иначе Ученик, сообразуюсь   с конкретными условиями, выбирает   для данного   случая более рациональный прием, нестандартных условиях применить знания не может.   но   в Ученик   может применить прием вычисления   к большему   числу случаев только в стандартных условиях Ученик не всегда выполняет операции   быстро и   в   свернутом виде. Ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на   длительное Ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на короткий срок.   операций.   не Ребенок может   выбрать операции, выполнение которых   быстрее приводит к результату арифметического действия.   Ученик не может применить прием вычисления   к большему   числу случаев.   Ученик медленно выполняет систему операций, объясняя каждый шаг своих действий. Ребенок сохраняет сформированные вычислительные навыки. не время. Умения и навыки для каждой параллели. 5 класс: натуральными (многозначными) числами. умение   выполнять   все   арифметические   действия   с В   результате   прохождения   программного   материала   пятиклассники должны уметь: ­ выполнять основные действия с десятичными дробями; ­ применять законы сложения и умножения к упрощению выражений; ­ использовать признаки делимости на 10,2,5 и 3 (дополнительно на 6 и на 4); ­ округлять числа до любого разряда; ­ определять порядок действий. 6 класс:    закрепляю   умение   находить   числовое   значение   выражения   с использованием всех действий с десятичными дробями. В результате изучения нового материала учащиеся должны уметь: ­   выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными       знаменателями; ­   умножение и деление дробей; ­   совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями; ­   применять переместительный и сочетательный законы сложения и      упрощению вычислений с дробями; ­   использовать распределительный закон умножения; ­   выполнять  действия с положительными и отрицательными числами. У   учащихся   7­9   классов   развиваю   и   закрепляю   умение   находить числовое   значение   выражения   на   все   действия   с   обыкновенными   и десятичными   дробями.   Эта   работа   проводится   как   при   изучении   нового материала, так и при выполнении тождеств сокращенного умножения. 7 класс:      ­ уметь выполнять тождественные преобразования над степенями с    натуральным показателем; ­ выполнять тождественные преобразования  с одночленами и многочленами,    при использовании тождеств сокращенного умножения. 8 класс:   ­ при изучении темы "Рациональные дроби", "Неравенства",   "Квадратные корни   и   квадратные   уравнения"   широко   используются   умения   учащихся выполнять действия с дробными числами в процессе нахождения числовых значений рациональных выражений, преобразования выражений, содержащих степени   с   целыми   показателями,   решения   неравенств,   вычисления квадратных корней. 9 класс:   ­   в   процессе   изучения   тем   "Квадратные   уравнения",   "Уравнения   и неравенства   с   двумя   переменными",   "Системы   уравнений   и   неравенств", "Степень с рациональным показателем" девятиклассники должны свободно владеть навыками действий с рациональными числами. Формы, методы и приемы формирования устного счета ( рекомендации  из опыта работы) 5 класс. В начале работы с классом провожу проверку знаний таблиц сложения, умножения, вычитания и деления. Эту работу можно организовать и заранее, осуществляя выход в четвертый класс с контрольными работами, если знать, что в будущем году этот класс достанется тебе. На класс завожу сводную таблицу, которая показывает уровень математической подготовки учащихся начальной школы.  № п\п 1 2 3 Ф.И. Умения и навыки Сложение натуральных чисел + Иванов П. ­ Петров В. Сидоров К. + Запись многозначных чисел + + ­ И т.д. Запись числового выражения + ­ ­ Чтобы   избежать   списывания   и   поднять   процент   частоты   эксперимента, рассчитываю задания на четные варианты. Примерные карточки с заданиями. А) выполните устно сложение и запишите результат     1.)  21+15=           33+17= 40+50=     6+37=     0+45= 210+9= 2.) Выполните сложение в столбик 100+320=   40+250=     0+386= 567    +      215            _____ 146         + 357        _____ 538         + 141 ____ Б) Выполните устно вычитание и запишите результат     1.)  16­13=           86­16=         270­150=     43­18=   136­0=   248­80= 719­300= 270­8= 105­60= 2.)  Выполните вычитание  в столбик 2387 3427    ­        263                         2618             ______ _____         ­          4006          ­           1238 _____ В) Умножение натуральных чисел.      1.)   6 ∙ 8 = 9 ∙ 0 =       143 ∙ 1 =   7 ∙ 3 =   5 ∙ 9 =         34 ∙ 2 =      2.)  Выполните умножение в столбик 37         х 56         ____ 307                  х 236         х   43                        145 ____ ____ 36 ∙ 3 = 45 ∙ 100 = 58 ∙ 40 = Г) Деление натуральных чисел.       1.)  Выполните деление устно и запишите результат 32 : 4 =  42 : 7 = 45 : 9 =   0 : 57 = 85 : 1 = 48 : 3 =   75 : 15 = 380 : 10 = 270 : 30 =       2.) Выполните деление в столбик 185 5   Все Д) натуральными числами. 19 51 3 27 275 4 действия   с Расставьте порядок действий и найдите значение выражения устно.  ( 56 : 7 + (54 : 6 – 48 : 8)) ∙ 4 – 10 =  Чтобы эта работа вызвала у детей интерес, можно провести игру: «Пальчиковая гимнастика». Правильный   ответ   каждого   действия   зашифрован   под   определенным номером. Дети молча на пальцах показывают номер правильного ответа. 1 34 2 6 3 8 4 11 5 9 6 34 7 44 Далее, на уроках в 5­м классе каждому ученику предлагаются карточки устного счета. Каждая карточка составлена таким образом, что содержит в себе 10 столбцов и 10 строк и составлена так: по горизонтали располагаются однотипные примеры на одно и то же правило, а по вертикали – примеры на разные действия.   3 + 8  21 : 3 16 – 3   3 ∙ 8  3 + 15 51 : 3  9 – 3  3 ∙ 15  3 + 22 90 : 3 В сильном классе предлагаю считать примеры и называть ответы строка за строкой. В слабом классе предлагаю называть только ответы. Работа по карточке продолжается несколько уроков. Работаем с классом фронтально, в любое  время   могу   прервать   одного   ученика   и  предложить   дальше   считать другому.    Учащихся увлекает  игра –  соревнование.  Это  дает возможность развивать их внимание и проверять их работоспособность. Если на первых уроках ребята считают 25­30 примеров в минуту, то через месяц – около 60 примеров. В течение недели работы с карточкой учитель может сделать вывод об вычислительных навыках учащихся. Если ученик не высчитывает до 20 примеров в минуту, то стоит пригласить родителей на беседу. Прошу родителей контролировать устную работу дома. Если   учащиеся   стали   достаточно   бегло   считать,   то   у   них   появляется потребность в расширении знаний приемов устного счета.          Предлагаю следующие задания, которые показываю на слайдах:  Найди сумму чисел наиболее удобным способом: 127 + 32 + 93 + 308 = (127 + 93) + (32+ 308) = 560  Заполни таблицу: x y z x+y+z 15 7 13 16 19 14 49 27  Замени пропуски цифрами    7*9*5  + 54*76 ________  **718*    71*28 +  2*9** ________  **1200  Какое число задумано, если из задуманного числа х вычли 12, а затем прибавили 24 и получили 32.  Как   с   помощью   четырех   троек,   употребляя   знаки   арифметических действий, выразить каждое из чисел от 1 до 10 (ответы через проектор) Ответ: 1 = 33: 33 2 = 3 : 3 + 3 : 3 3 = (3 + 3 + 3) : 3  4 =  (3 ∙ 3 + 3) : 3  5 = (3 + 3) : 3 + 3 6 = 3 + 3 ∙ 3 : 3 7 = 3 + 3 + 3 : 3  8 = 3 ∙ 3 – 3 ∙ 3  9 = 3 ∙ 3 ∙ 3 : 3         10 = 3∙ 3 + 3 : 3  Разделите:            Ответ: 777 на 7  777777 на 77 777777777 на 777 7777777777777 на 7777 111 10101 1001001 100010001  Для упрощения умножения можно применять маленькие хитрости. Например, известны равенства:      7 ∙ 11 ∙ 13 = 1001  и  37 ∙ 3 = 111 Воспользуйтесь ими и вычислите: 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 37 = 1110 37 ∙ 15 = 555 3∙ 7 ∙ 11 ∙ 13 ∙ 15 = 45045 49 ∙ 11 ∙ 13 = 7007      В истории математики известен такой случай: однажды, а это было в Германии,   в   конце   18   века,   для   того,   чтобы   заставить   ученика поработать,   учитель   дал   им   задание   посчитать   сумму   всех натуральных чисел от 1 до 100. Каково же было его удивление, когда уже через несколько минут один ученик сказал ему ответ: искомая сумма равна 5050. Этот ученик, Карл Фридрих Гаусс, стал одним из величайших математиков.          Чтобы понять прием, которым воспользовался Гаусс, найдем сумму всех чисел первого десятка: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = 5 ∙ 11 = 55 Опираясь   на   этот   способ,   подсчитайте   теперь   самостоятельно сумму: 1 + 2 + 3+ …+ 98 + 99 + 100 = (1 + 100) + (99 + 2) + (98 + 3) + … +(97 + 4) = 50 ∙ 101 = 5050. Вычислите сумму, используя метод Гаусса: 21 + 22 + 23 + …+ 30 = (21 + 30) + (22 + 29) + (23 + 28) + (24 + 27) + (25 + 26) = 5 ∙ 51 = 225  Рассмотрите равенства А)  12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 111112 = 1234321 Догадайтесь, квадратом какого числа является число: 12345654321 Ответ: 1111112 Б)              112 = 121 1012 = 10201 10012 = 1002001 100012 = 100020001 Чему равен квадрат числа      1000001 Ответ: 1000002000001 6 класс: 84  Игра «Надо смекнуть» Найди правило нахождения числа, помещенного в среднюю клетку. Заполни свободную клетку.  53 19 16 41 11 21 37  Не выполняя вычислений, определите: делится ли на 100 значение произведения: 62 ∙ 63 ∙ 64 ∙ 65 ∙ 66 ∙ 67 ∙ 68 ∙ 69 ∙ 70 ∙ 71 ∙ 72 ∙ 73 ∙ 74 Ответ:  да  Приемы вычислений: 1. Умножение на 5,50 а ∙ 5 = а : 2 ∙ 10       2.  Умножение на 25 и 250: а ∙ 25 = а : 4 ∙ 100                3.  Деление на 5 и 50: а : 5 = а ∙ 2 : 10      4. Деление на 25 и 250: а : 25 = а ∙ 4 : 100      5. Умножение на 155 и 175: а ∙ 155 = а ∙ 100 +  а ∙ 50 +  а ∙ 5 а ∙ 175 = а ∙ 100 +  а ∙ 50 +  а ∙ 25 а ∙ 50 = а : 2 ∙ 100 а ∙ 50 = а : 4 ∙ 1000 а : 50 = а ∙ 2 : 100 а : 250 = а ∙ 4 : 1000 Вычислите: 446 ∙ 5;      (2230) 88 ∙ 25;      (2200) 234 : 5;      (46,8) 1242 : 25;  (49,68) 48,8 ∙ 155; (75642)  Учащимся очень нравиться отгадывать зашифрованное слово: 1. выполни действия 2. ответ запиши в «окошко», а рядом букву, соответствующую найденному ответу 3. полученное слово само оценит твою работу. р ­ 27 в ­1 л ­ 0,6 н ­ 0,5 и ­ 0,29 о 24,1 п ­ 2,48 ь ­ 0,67 1). 2). 3). 4). 5). 6). 7). 8). 9). 3,55 – 2,48 – 3,55 = ­2,48 ­0,39,06 –  ( – 12,06) + ­27 ­9,1 + 4,7 – 5,6 + 10 = 0 4,07 – 6,38 + (­2,31) – 1 = ­ 1 ­75,78 – (­ 75,78) – (0,2 + 0,09) = ­0,29 ­5,9 – (3,4 – 8,7) = ­ 0,6 ­0,72 + 0,33 – 0,28 = ­ 0,67 (­1,8) + 1,2 – 3,5 = ­ 0,5 1­(2,4 – 8,6 – 3,1) = ­24,1 а 0 П Р А В И Л Ь Н О Аналогичную игру можно провести при решении уравнений. 7 класс:  Некоторые пары чисел обладают такими свойствами: они сами и их квадраты отличаются лишь перестановкой цифр, например: 1122 = 12544 1222 = 14884 2112 = 44521 2212 = 48841 Удовлетворяют ли этому свойству пары чисел: 1132 = 12769 3112 = 96721 12 и 21 13 и 31  98 и 89 102 и 201 103 и 301 Ответы 122 = 144, 212 = 441 132 = 169, 312 = 961 нет 1022 = 10404, 2012 = 40401 1032 = 10609, 3012 = 90601  Игра «Математические фокусы» Формулы   квадрата   суммы   и   квадрата   разности   позволяют производить  вычисления в уме. Практически устно можно возводить в квадрат числа, оканчивающиеся на 1 и 9. 912 = (90 + 1)2 = 902 + 2 ∙ 90 ∙ 1 + 12 = 8100 + 180 + 1 = 8281 692 = (70 ­ 1)2 = 702 ­ 2 ∙ 70 ∙ 1 + 12 = 4900 – 140 + 1 = 4761 Можно быстро возвести в квадрат и число, оканчивающееся цифрой 2и 8.          1022 = (100 + 2) 2 = 1002 + 2 ∙ 100 ∙ 2 + 22 = 1000 + 400 + 4 = 10404          482 = (50 – 2)2 = 502 – 2 ∙  50 ∙2 + 22 = 2500 – 200 + 4 = 2304  Прием возведения в квадрат: 1. а2 = а2 – в2 = в2 = (а + в)(а ­ в) + в2 272 = (27 + 3)(27 – 3) + 32 = 729 2. (10а + 5)2 = 100а2 + 100а + 25 = 100а(а + 1) + 25 352 = 100 ∙ 3 ∙ 4 + 25 = 1225 3. (а + 1)2 = а2 + 2а + 1 а2 = (а +1)2 – 2а – 1 = (а + 1)2 – (а + 1) ­ а       212 = 202 + 20 + 21 = 441  Использую также карточки для устного счета по текущим темам в  виде   игры  «Быстрый   счетчик»:    засекаю   определенное   время, ребята   на   отдельных   листках   записывают   только   ответы,   листки собираю и определяю, кто больше дал правильных ответов, оценку ставлю в журнал. 8 класс: В восьмом классе интерес к математике у многих детей угасает. Зачем считать   в   уме,   если   можно   использовать   калькулятор   на   сотовом телефоне.   Поэтому   стараюсь   подобрать   задания   для   устного   счета   в занимательной форме, включить в них некоторые исторические сведения, чтобы вызвать интерес к предмету:  В  988  году,  во   время   правления   киевского   князя   Владимира,   Русь приняла   христианство.   Вместе   с   религией   на   Русь   попали   и древнегреческие  имена. Для выражений найдите равные по значению числа   и   по   совпадающим   ответам,   соотнеси   греческие   имена   с   их дословным переводом: Андрей – «мужественный» Евгений – «благородный» Галина – «спокойная» Андрей:   Евгений:     49   2)9( Елена:   Галина:  4/1  2 4/1  2 Спокойная(ный) : ­ 1,5 Мужественный(ая) : 7 Благородный(ая): 9  Оставшееся   имя   –   Елена   –   в   переводе   с   греческого,   означает «сверкающая».    9 25 9 25 121 25   144 25 16,0   96,1 О Е Н И Д Ф 400 100  ­   64 100  64  Выполни вычисления:    81 Ъ     121 3 49 А Я З Л Р   3      + 7 25  + 5 9 121  = 91 = 7 44,1  + 4  16,0   = 5 2   3 69,1  ∙  3 4  ­ 16 9      0,1  ­ 5  = 3 6400  : (4 4,1  2 5 ) = 1,5 4   + 5 27 : 10) :  ( )2 :  144 7 ( 3600 30,3 :   =2 04,0 = 4  25,2  ∙ ( ) = 1818 26 01,0 Используя найденные ответы, заполните пропуски в тексте: 21 р 0,12 а 6 ф 6 ф 11 л 0,4 е 9 з 20 и   0,12 а 21 р 1,4 н 0,5 о 11 л 0,6 ь 2 д 1,2 я 20 и Имеющая самый большой цветок, растет на островах Суматра, Ява и  Калимантан   в   Юго­Восточной   Азии.   Цветок   достигает    см   в поперечнике, а вес его достигает  кг. Вырастает этот чудо – цветок на корнях тропической лианы, питаясь ее соком. Цветочные почки этого растения   напоминают   по   размеру   большие   кочаны   капусты.   Развитие растения занимает  лет. года уходит на образование бутона.  года – на образование цветка. Само цветение длиться от    до    суток. Запах цветка   очень   неприятный   и   привлекает   многочисленных   насекомых, которые   и   осуществляют   опыление.   Для   науки   это   растение   было впервые открыто в  году учёными, из имен которых и было образовано название растения. 9 класс:  Задание с выбором ответа: Известны первый член и разность арифметической прогрессии :  в1 = ­10,3,   d = 1,7. Найти  в31 1 ­5,2 2 40,7 3 ­40,7 4 5,2 Ответ: Начиная с 7­го класса вычислительная линия обогащается тем, что учащимся   в   некоторых   ситуациях   рекомендовано   использовать калькулятор. Возможность с помощью калькулятора выполнять расчеты быстро   и   безошибочно   позволяет   обогатить   систему   упражнений, включить   в   нее   экспериментальную   работу   с   числами,   задания   с реальными числовыми данными. Это чрезвычайно важно с точки зрения прикладного   аспекта   обучения   математики,   его   практической ориентации.   В   курсе   7   –   9­х   классов   включены   задачи,   при   решении которых целесообразно обратиться к калькулятору. При этом не нужно забывать о возможностях устных вычислений ответ может получиться с помощью   калькулятора,   но   иногда   достаточно   устной   прикидки   для интерпретации результата. Хотелось бы, чтобы учащиеся видели в каких случаях  применять калькулятор целесообразно. Литература: 1. В.И. Жохов, В.Н. Погодин. Математический тренажёр. Пособие для  учителя и учащихся. М., Мнемозина, 2013г. 2.С.С Минаев. Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по  математике. М., Просвещение, 1983 г. 3.П.Б. Ройтман и др.  Повышение вычислительной культуры учащихся.  М., Просвещение, 1981 г. 4.Приложение к газете «Первое сентября» «Математика» , 2012­2014г. 5.А.В. Бобровская, О.И. Чикунова. Алгебра, геометрия Тесты: алгебра,  геометрия. Пособие для учащихся 8,9 кл. Издательство «Исеть», 2005г.