Реферат: Диофантовы уравнения. Презентация

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 46 Реферат по математике. Диофантовы уравнения.                                                Выполнила ученица 10"Б" класса:                                                Масленникова Алена                                                Научный руководитель:                                                Машкова Евгения Григорьевна,                                                учитель математики г. Тверь 2017 год 1. Введение……………………………………………………………3 2.1. История Диофанта и  диофантовых уравнений………………….4 Содержание: 1 2.2. Виды диофантовых уравнений……………………………………5 2.3. Методы решения  диофантовых уравнений……………………...7 Заключение………………………………………………………..13 3. 4. Список литературы……………………………………………….14 1.Введение. В этом году в курсе алгебры я  познакомилась с теорией чисел. Одной из тем была: Уравнения в целых числах. Эта тема меня очень заинтересовала, так как решались уравнения необычным способом. Мне захотелось познакомиться с ней     ближе,   чтобы   узнать,   как   можно   решать   подобные   уравнения   другими способами, много ли существует разновидностей этих уравнений. 2 Целью моей работы является изучение видов диофантовых уравнений и способов их решения. Задачи: 1. 2. 3. 4. Актуальность: Изучить историю Диофанта и  диофантовых уравнений. Изучить виды диофантовых уравнений. Изучить методы решения  диофантовых уравнений. Научиться самостоятельно решать диофантовые уравнения. В школьном курсе математики почти не охватывается тема диофантовых уравнений,   но,   например,   но   в   заданиях   ЕГЭ   по   математике     встречаются уравнения   2­ой   степени.   Я   заинтересовалась   этой   темой   для   того,   чтобы успешно сдать Единый Государственный Экзамен.  Объект   моей   работы   является   диофантовы   уравнения,   типы   и   способы   их решения. Диофантовы уравнения – названые   по имени древнегреческого учёного Диофанта алгебраические уравнения с целыми коэффициентами или системы таких уравнений, у которых разыскиваются целые или рациональные решения. 2.1.История. Одним   из   самых   своеобразных   древнегреческих   математиков   был   Диофант Александрийский,   труды   которого   имели   большое   значение   для   алгебры   и теории     чисел.   До   сих   пор   не   выяснены   ни   год   рождения,   ни   дата   смерти Диофанта;   полагают,   что   он   жил   в  III  в.   н.   э.   В   одном   из   древнерусских рукописных   сборников   задач   в   стихах   жизнь   Диофанта   описывается   в   виде 3 следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле. Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей – и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком, И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей. Задача – загадка сводится к составлению и решению уравнение: 1 6 х+ 1 12   х+ 1 7 х+5+ 1 2 х+4=х Откуда х= 84 – вот, сколько лет  прожил Диофант. В   сохранившихся   книгах   Диофанта   содержится   189   задач   с   решениями.     В первой   книги   изложены   задачи,   приводящиеся   к   определенным   уравнениям первой   и   второй   степени.   Остальные   же   пять   книг   содержат   в   основном неопределенные   уравнения.   В   этих   книгах   еще   нет   систематической   теории неопределенных   уравнений,   методы   решения   меняются   от   случая   к   случаю. Диофант довольствуется каким­нибудь одним решениям, целым или дробным, лишь бы оно было положительным. Тем не менее, методы решения неопределенных уравнений составляют основной вклад Диофанта в математику. Известно, что символика Диофанта был один только знак для неизвестного. Решая неопределенные уравнения, он применял в качестве  нескольких неизвестных произвольные числа, вместо которых можно было взять и любые другие, что и сохраняло характер общности его решения. 2.2.Виды диофантовых уравнений. Диофантовые уравнения. 1. Уравнения первой степени: ах+bx=c, 2. Уравнения второй степени: x2+y2=z2. 4 Намеки   на  общее   решения   неопределенных  (диофантовых)   уравнений   первой степени вида ах+bу=с, впервые встречаются в трудах Индийского астронома Арибхаты, подробное решение изложили индийские математики Брахмагупта и Бхаскара. Общий же метод для решения диофантовых уравнений в целых числах первой   степени   с   целыми   коэффициентами   был   назван   в   Индии   методом рассеивания. Также   индийские   ученые   решали   системы   неопределенных   уравнений   первой степени   со   многими   неизвестными.   Они   нашли   решение   в   целых   числах некоторых   диофантовых   уравнений   второй   степени   с   двумя   неизвестными. Общее   решение   которых   строго     изложил   впервые   знаменитый   французский математик XVIII века Ж. Л. Лагранж.  Задача   решения   неопределенных   уравнений   третий   степени   с   двумя неизвестными до сих пор не нашла полного решения. Одной из знаменитых неопределенных задач в области диофантовых уравнений является «Великая теорема Ферма»  Пьер Ферма (1601 – 1655) выдающийся французский математик. По профессии он был юристом и занимал должность советника парламента в городе Тулузе. Свободное время от службы Ферма посвящал математическим исследованиям, которые предложили новые  пути почти во всех отраслях математики. Для   исследования   Ферма   исходным   пунктом   нередко   служила   математика древних, в частности, «Арифметика» Диофанта, Изданная в 1621 году Баше де Мезириаком. На одной из страниц книги Диофант решает задачу «Найти два квадрата, суммой которых является квадрат». Такая задача сводится к решению в целых числах неопределенного уравнения  х2+у2=z2. По теореме Пифагора такое уравнения имеет бесконечное множество решений, например: 3, 4, 5; 5, 12, 13 и т. д. Такие числа называют «пифагоровыми». На полях станицы экземпляра «Арифметики» Диофанта, которой пользовался Ферма, имеется собственноручная заметка: «Наоборот, невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и, вообще, никакую степень, выше второй, нельзя разложить на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля книги слишком узкие, чтобы его изложить». Речь идет о следующем: доказать что уравнение xn+yn=zn не имеет целых решений для n>2. Это предложение и было названо «Великой теоремой Ферма» или «Последней теоремой Ферма». Нигде не осталось доказательств, о которых он говорил. 5 В последующее время теорема Ферма была доказана для  n=3 и  n=4,затем   с помощью ЭВМ, было найдено, что эта теорема верна для всех n ≤ 10000. Тот факт,   что   теорема   Ферма   не   могла   быть   ни   доказана,   ни   опровергнута   до настоящего времени, поставила перед многими учеными вопросы: обладал ли действительно Ферма правильным доказательством теоремы? 2.3.Методы решение диофантовых уравнений.  1. Метод рассеивания. Найти два целых числа, зная, что разность произведений первого на 19 и второго на 8 равна 13. Задача 1: 6 Решение: По уравнению 19х – 8у=13 требуется найти все целые решения. Выразим неизвестное с меньшим коэффициентом и получим: 19х−13 . 8 у = Теперь нам нужно узнать, при каких значениях х соответствующие значение у является тоже целыми числами. Перепишем уравнение: у = 2х + 3х−13 8 . Из   этого   уравнения   следует,   что   у   при   целом   х   принимает   значение   целое значение   только   тогда,   когда   выражение 3х−13 8   является   целым   числом, допустим а. это уравнение можно записать так: 3х−13 8 =а 3х ­8а=13. По сравнению с первоначальным это уравнение имеет преимущество в том , что 3 −¿ наименьшая   из   абсолютных   величин   коэффициентов   при   неизвестных −¿ меньше, чем в первом уравнении. Это было достигнуто благодаря тому, что коэффициент при х (19) был заменен остатком от деления на 8. Продолжая так же, получаем: 8а+13 3 =2а+2а+13 3 . х= Неизвестное х при целом а тогда и только тогда принимает целое значение, когда  2а+13 3  есть целое число, допустим к: или Затем, Предполагая Получаем уравнение 2а+13 3 =к 3к – 2а=13. 3к−13 2 =к+к−13 2 . а= к−13 2 =с, 7 Из   всех   рассмотренных   уравнений     это   самое   простое,   потому   что   один   из коэффициентов равен 1. И получаем: к – 2с=13 к=2с+13. Видно, что к принимает целые значения при  любых целых значениях с. Путем последовательных подстановок из равенств можно найти следующие выражения для неизвестных х и у первоначального уравнения: х=2а+к=2(к+с)+к=2к+2с=3(2с+13)+2с=8с+39; у= 2х+а=2(8с+39)+к+с+19с+91. Таким образом, получаем формулы х=8с+39, у=19с+91 при с= 0,±1,±2,±3, В таблице можно привести следующие примеры таких решений.  … дают все целые решения первоначального уравнения.   −¿ 4 7 15 2 23 53 1 31 72 39 91 а −3 −¿ −¿ 0 1 2 3 4 15 34 55 129 63 148 47 110 х у Этот прием почти полностью совпадает с методом индийцев и был назван ими методом   рассеивания     (размельчения)   именно   потому,   что   неопределенное уравнение   сводится   к   цепочке   уравнений   со   всеми   уменьшающимися   по абсолютной величине коэффициентами. Иногда задачи,  связаны с повседневной жизнью человека, сводятся к решению неопределенного уравнения первой степени. Задача 2: 71 167 Вы должны уплатить за купленный в магазине галстук 19 рублей. У вас всего лишь   трехрублевки,   у   кассира   –   только   пятирублевки.   Можете   ли   вы   при наличии таких денег расплатиться с кассиром и как именно? Вопрос задачи сводится к тому, чтобы  узнать, сколько должны вы дать кассиру трехрублевок,   чтобы,   получив   сдачу   пятирублевками,   уплатить   19   рублей. Неизвестных в задаче два – число (х) трехрублевок и число (у) пятирублевок. Но можно составить только одно уравнение: 3х – 5у=19. Хотя   одно   уравнение   с   двумя   неизвестными   имеет   бесчисленное   множество решений, но отнюдь еще очевидно, что среди них найдется хоть одно с целыми положительными   х   и   у.   Вот   почему   алгебра   разработала   метод   решения подобных «неопределенных» уравнений. 8 Решение: На   представленном   выше   уравнении   можно   показать,   как   решаются   такие уравнения. Надо найти значения х и у в уравнении 3х – 5у=19, при этом мы знаем, что числа х и у – числа целые и положительные.  Уединяем то неизвестное, коэффициент которого меньше, в данном уравнении это 3х; получаем: Затем х= 3х=19+5у, 3 +1 2 3 3 + 5у 19 3 =6 1 у=6+у+ 1+2у 3 . Равенство   может   быть   верно   только   при   условии,   что     1+2у 3   есть   целое число, так как х, 6 и у числа целые. Обозначим   1+2у 3  буквой t. Тогда где  значит, х=6+у+t, 1+2у , t= 3 Из уравнения 2у=3t – 1определяем у: 3t 2 −1 3t=1+2у; 2у=3t – 1. 2=t+ t−1 2 . должно быть некоторым целым числом  t1. у= t−1 2 у=t+t1, t−1 2 , t1= Числа у и  t  – целые, тогда   Отсюда следует, причем  откуда Значение t=2t1+1 подставляем в предыдущие равенства: 2t1=t – 1, t=2t1+1. у=t+t1=(2t1+1)+t1=3t1+1; х=6+у+t=6+(3t1+1)+(2t1+1)=8+5t1. Итак, мы нашли значения для х и у: Мы знаем, что числа х и у не только целые, но и положительные. Следовательно, х=8+5t1, у=1+3t1. 9 Из этих неравенств находим: 8+5t1 >0, 1+3t1 >0. 5t1> −¿ 8 и t1 3t1> −1  и t1 ¿−8 5 ¿−1 3 ; . Так величина  t1  ограничивается; она больше чем   −1 3 (значит и   больше чем −8 5 ¿ .   Но   так   как   число  t1  целое,   для   него   возможны   лишь   следующие значения: Соответственно значения х и у таковы: t1=0, 1, 2, 3, 4, ... Мы   установили,   как   произвести   уплату:   можно   дать   восемь   трехрублевок, получая при этом сдачу одну  пятирублевку: х=8+5t1=8, 13, 18, 23, … , y=1+3t1=1, 4, 7, 10, … , 8 × 3 – 5 =19, Или можно заплатить тринадцать  трехрублевок, получая четыре пятирублевки сдачи: 13 ×3−4×5=19 и так далее. Теоретически задача имеет бесконечное множество решений, практически же число   решений   ограниченно,   так   как   ни   у   покупателя,   ни   у   кассира   нет бесконечного множества монет. 2.Метод прямого перебора. Имеются детали массой 8 кг и 3 кг . Сколько необходимо взять тех и других  деталей, чтобы получить груз 30 кг? Задача 3: Решение: Пусть  х – количество деталей массой 3 кг, а у ­ количество деталей массой 8 кг.  Составим уравнение: 3х + 8у=30 Если  х = 1, то  8у =27 , следовательно,  у не является натуральным числом Если  х =2, то  8у =24 , следовательно,  у =3 Если  х = 3, то  8у =21 , следовательно,  у  не является натуральным числом Если  х = 4, то  8у =18 , следовательно,  у  не является натуральным числом Если  х =5, то  8у =15 , следовательно,  у  не является натуральным числом Если  х = 6, то  8у =12 , следовательно,  у  не является натуральным числом 10 Если  х = 7, то  8у =9 , следовательно,  у  не является натуральным числом Если  х = 8, то 8∙3+8>30  ,  Ответ: 2 детали по 3 кг и 3 детали по 8 кг.   3.Использование отношения делимости. Решить уравнение в целых числах 13x +16y = 300. Задача 4: Решение: 13x +13y + 3y = 13∙ 23 +1, 3y −1 = 13(23 − x − y). Отсюда следует,  что разность 3y −1  делится на 13. Если  3y −1 = 0,  то у не является натуральным числом. Если  3y −1 = 13,  то у не является натуральным числом. Если  3y −1 = 26,  то y = 9 и x = 12. Если  3y −1 = 39,  то у не является натуральным числом. Если  3y −1 = 52,  то у не является натуральным числом Если  3y −1 = 65, то y = 22, но16∙22 = 352 > 300. Ответ: (12;9). 4.Выделение целой части. Решить уравнение 8x + 5y = 39 . Задача 5: Решение:  Выразим у из уравнения и выделим целую часть: 5у=39 – 8х, у= 39−8х 5 , у=7 – х −¿   3х−4 5 Отсюда следует, что разность 3x − 4  делится на 5. Если  3x − 4 = 0, то  х  не является натуральным числом. Если  3x − 4 = 5, то  x = 3 и  y = 3. Если  3x − 4 = 10, то  х не является натуральным числом. Если  3x − 4 = 15, то  х не является натуральным числом. Если  3x − 4 = 20, то  x = 8, но 8 8 = 64 > 39. Ответ: (3; 3). 5.Метод разложения на множители. а) вынесение общего множителя за скобки Решить уравнение : х² + 2ху = 4х + 7 Задача 6: 11 Решение: х² + 2ху ­ 4х = 7,      (х + 2у ­2)х = 7 7=1 ×7 =7 ×1=¿ ( −1¿×(−7)=(−7)×(−1) Составим  четыре системы уравнений:  { х=1, х+2у−4=7;{ х=7, х+2у−4=1;{ х=−1, х+2у−4=−7;{ х=−7,   х+2у−4=−1;   решив которые, получим  {х=1, у=5;{ х=7, у=−1;{х=−1, у=−1;{х=−7, у=5; Ответ: (1; 5), (7; ­1), (­1; ­1), (­7; 5). б) применение формул сокращенного умножения Задача 7: Найдите  все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 33. Решение:  Запишем условие задачи в виде уравнения  (m + n)(m ­ n) = 33 33=33 × 1=1 × 33=3 × 11=11 × 3 т.к(m + n)>(m – n) ,то получим две системы уравнений: {m+n=33, m−n=1;{m+n=11, m−n=3; {m=17, n=16;{m=7, n=4. Ответ: (17; 16),  (7; 4). в) способ группировки. Решить уравнение: xy ­ 2x + 3y = 16. Задача 8: Решение: х(у – 2) + 3у – 6 = 10 х(у – 2 ) + 3(у – 2) = 10 (х + 3)(у – 2) = 10 10=10 × 1=1 × 10=2 × 5=5 × 2=( −¿ 10) × ( −¿ 1)=( −¿ 1) × ( −¿ 10)=( −¿ 2) × ( −¿ 5)=( −¿ 5) × ( −¿ 2) получаем восемь систем уравнений: {х+3=10, у−2=1;{ х+3=1, у−2=10;{х+3=2, у−2=5;{х+3=5, у−2=2; 12 {х+3=−10, у−2=−1;{ х+3=−1, у−2=−10;{х+3=−2, у−2=−5;{х+3=−5, у−2=−2; Решив полученные системы уравнений, получим: {х=7, у=3;{х=−2, у=12;{х=−1, у=7;{х=2, у=4;{х=−13, у=1; {х=−4, у=−8;{х=−5, у=−3;{х=−8, у=0. Ответ: (7; 3), (­2; 12), (­1; 7), (2; 4), (­13; 1), (­4; ­8),(­5; ­3), (­8; 0). 3.Заключение: В   процессе   исследования   диофантовых   уравнений   первой   и   второй степеней и способов их решений, мне удалось научиться решать более сложные текстовые   задачи.   В   бедующем,   используя   приобретенные   знания,   я   смогу успешно   справиться   с   подобными   задачами   на   ЕГЭ. А   также   этот   материал вполне подойдет для изучения на элективных курсах. Таким образом, я решила, поставленные в моей работе задачи:  Изучила историю Диофанта и  диофантовых уравнений.  Изучила виды диофантовых уравнений.  Изучила методы решения  диофантовых уравнений.  Понаблюдала их применения в жизни.  Научилась самостоятельно решать диофантовы уравнения. И   я   надеюсь,   что   многих   заинтересует   эта   тема   и   они   захотят самостоятельно   узнать   и   познакомиться   с   теорией   чисел   и   в   частности   с диофантовыми уравнениями.   13 4.Список литературы: 1. «Занимательная математика» Я. И. Перельман, 2. «История математики в школе VII – VIII классы» Г. И. Глейзер. 3. Презентация «Решение уравнений в целых числах» Мирошниченко Н.Е., учитель математики, МАУ ШИЛИ, Г. Калининград. 14