Рефлексия опыта применения метода проектов в математике

Рефлексия опыта применения метода проектов. Сличная Лариса Ивановна, учитель математики МБОУ Лицей №23  с этнокультурным (еврейским) компонентом г. Биробиджана. В   человеке   заложены   безграничные   источники   творчества,   иначе   бы   он   не   стал человеком. Нужно их освободить и вскрыть, ставя человека в подходящие общественные и материальные условия. ( А.Н.Толстой) Сегодня мы можем наблюдать стремительные изменения во всем обществе, которые требуют   от   человека   новых   качеств.   Для   современного   общества   характерна   сложность социальных, культурных, экономических условий, поэтому оно остро нуждается в людях, которые   умеют   самостоятельно   думать   и   решать   разнообразные   проблемы,   обладают критическим   и   творческим   мышлением,   умеют   работать   в   коллективе,   обладают коммуникационными   навыками,   то   есть   являются   конкурентоспособными.   Формирование этих качеств возлагается на образование, и в первую очередь на среднюю школу. Именно здесь должны закладываться основы развития думающей, самостоятельной личности. Одним   из   вариантов   комплексного   решения   задач   современного   школьного образования являются учебные проекты, позволяющие формировать у учащихся способность к осуществлению практической деятельности ­ способность определять цель деятельности и планировать пути ее достижения, анализировать и оценивать результаты.  Несомненно,   поставленные   задачи   направлены   на   разностороннее   развитие   и воспитание подрастающего поколения. Но возникает закономерный вопрос, желает ли само подрастающее   поколение   этого   развития   и   воспитания?   Даже   в   самых   элитных   средних учебных заведениях отмечается тенденция к снижению или же утрате учебной мотивации. У нынешнего   поколения   есть   достаточно   большое   количество   занятий   помимо   учебы. Современные дети рациональны: они хотят четко понимать, зачем им нужно то или иное знание,   что   оно   дает,   где   может   пригодиться.   Искушенные   в   различного   рода телекоммуникационных представлениях и развлечениях, играх и шоу, они хотят, чтобы и на уроках было интересно, ярко, броско, как в кино и на ТV. Имея доступ к информации через интернет, им скучно впитывать знания, читая учебник или слушая лекцию учителя. Новое поколение и новые реалии жизни требуют новых методов обучения. В ходе проектной деятельности учащиеся не просто приобретают знания, они еще и учатся   тому,   как   самостоятельно   в   современной   жизни   приобретать   эти   знания.   Это чрезвычайно важно, ведь быстро устаревающие знания, появление новых видов деятельности делают заучивание определенного объема информации бессмысленным. Знания приходится все время обновлять. Значит, этому необходимо учить. Одна из причин внимания к новому методу — проблема повышения мотивации учащихся к изучению предмета.  Есть ли у метода проектов как педагогической технологии недостатки? Конечно, есть. Это, безусловно, и невероятно большой объём работы для учителя и ученика. Это опасность превращения творческой работы в шаблонное «производство проектов» при повсеместном (в угоду моде) внедрении проектов и их безграмотной организации,  ученик часто попадает в   Это стрессовую   ситуацию   (переоценка   возможностей,   технические   накладки). психологические коммуникативные проблемы, проблема субъективной оценки. Однако это не значит, что от метода проектов надо отказаться. Я склонна считать, что у данной технологии достоинств намного больше, чем недостатков. Да, пусть инициатива исходит от учителя, но если   учитель   правильно   построит   руководство   проектом,   в   первую   очередь   ответственно подойдёт к выбору темы и предложит его тем ученикам, кому интересна эта отрасль знаний, полученный   ребятами   опыт   собственного,   даже   не   особо   значимого   исследования,   будет бесценен. Кроме того, какими бы разноречивыми ни были мнения о том, развивает ли метод проектов   творческое   начало   в   ребёнке,   хочу   на   основе   собственного   опыта   сказать,   что развивает, а порой раскрывает и никому до этого неведомые таланты. У метода проектов есть ещё   одно,   на   мой   взгляд,   неоспоримое   преимущество:   он   способствует   социализации школьников, формируя в них необходимые для «взрослой жизни» качества: организованность, ответственность и т.п. Не надо забывать и о воспитательной функции данной педагогической технологии.   Я   глубоко   убеждена,   что   проектная   деятельность   сплачивает,   объединяет участников проектов, зачастую способствуя созданию своеобразных «групп по интересам», что, конечно же, является мощным фактором воспитания школьников. Преподаватели, использующие метод проектов, могут столкнуться с трудностями на всех этапах его реализации. В ходе проектирования должна решаться личностно­значимая для школьников проблема, которая формулируется обучающимися. На практике часто учителя сами   называют   ее,   целесообразно   подвести   их   к   формулированию   проблемы   наводящими вопросами. Следующей трудностью является организация этапа целеполагания. Чаще всего цели бывают сформулированы нечетко, что вызывает определённые трудности в их решении.  На третьем этапе проектной деятельности – выдвижения гипотез – не всегда удачно идет   выдвижение   как   можно   большего   количества   идей.   Нельзя   критиковать   ответы   на данном   этапе.   Ведь   критикуя,   мы   рискуем   потерять   в   лице   учеников   генераторов   идей. Гипотезы должны анализироваться и подвергаться выбору только после «мозговой атаки», а не во время ее проведения. Четвертый этап – планирование проекта – сопряжен с двумя трудностями. Первая из них заключается в неумении учениками составлять план деятельности. Вторая трудность, с которой может столкнуться учитель – это неумение детей работать в сотрудничестве. На следующем этапе проектной деятельности – выполнение проекта ­ преподаватели очень   часто   сталкиваются   с   отсутствием   или   недостаточным   уровнем   информационных умений у обучающихся. Ведь они должны уметь не только находить необходимый материал из нескольких источников, но и уметь анализировать его и делать выбор. Учителю необходимо отрабатывать данное умение на занятиях. Кроме того, на данном этапе можно  использовать различные памятки, например, «Правила для учащихся по поиску информации в библиотеке», «Работа с литературными источниками»,  «Правила для учащихся по поиску информации в интернете» и др. На этапе презентации, когда обучающиеся предъявляют продукты своей деятельности, учитель должен воздерживаться от оценки. Здесь он является только наблюдателем. Многие педагоги забывают об этом и завершают проект презентацией. Однако для формирования умения самостоятельной работы важно научить школьника рефлексии. Для оценки процесса и результата проектной деятельности учащимся могут помочь вопросы. Что мы сделали? Как мы это сделали? Зачем мы это сделали? Какие умения нужны были для этого? Какие роли мы на себя принимали в работе над проектом? Какой опыт приобрели? Немного о моей работе в проектной деятельности. Первый этап в моей работе – был направлен на изучение научно­методической литературы по исследуемой проблеме, которые необходимо знать для правильной организации работы. Второй   этап   –   позволил   спланировать   работу   по   повышению   интереса, самостоятельности, активности учащихся на уроках, психологического комфорта в учебной деятельности, повышению эстетической привлекательности урока, привлечению учащихся к использованию ИКТ при самоподготовке, повышению уровня математической грамотности. На третьем этапе – а именно на нём я сейчас нахожусь, идёт пополнение методической копилки   уроков   и   внеклассных   мероприятий   с   использованием   ИКТ   и   проектных   работ учащихся, распространение опыта в работе с учащимися нового набора. Поле для выбора темы долгосрочных проектов по математике огромно. Проект может быть связан с изучением какой­либо темы по математике, которая не изучается в школьной программе или с приложениями математики в науке и практике. Так, например, в течение вот уже четырёх лет ученица выбирает темы для проекта связанные с множеством чисел. В пятом классе ­ «Миллион это много или мало?», в шестом ­ «Самое большое число». В седьмом ­ «Влияют ли числа на судьбу человека?», в восьмом – «Всё о «тройках» и не только…». Ученица   другого   класса   ­   очень   творческая   девочка.   Она   посещает   достаточно   много различных кружков. Этим, наверное, можно объяснить выбор темы проекта: «Изонить или математическая   вышивка».   Другие   её   работы:   «Фигурные   числа»,   «Человеке   в   числах   и фактах или математика и здоровье», «Проценты в жизни человека». Интересной была работа ученицы 8 класса по теме: «Применение возможностей оригами для решения геометрических задач на построение отрезков и доказательство теорем». В этом случае увлечения ребёнка помогли в выборе темы. Темы для своих проектов ученики выбирают чаще всего сами.  Необходимо   обязательное   планирование   действий.   В   ходе   разбора   и   обсуждения проекта вырабатывается план совместных действий ученика и учителя. Создаётся банк идей и предложений. На протяжении всей работы я помогаю в постановке цели, корректирую работу, но ни в коем случае не навязываю ученику своё видение решения задачи. Поиск информации ­ обязательное   условие   каждого   проекта.   Большую   поддержку   в   этом   оказывают   Интернет ресурсы.   Найденная   информация,   обрабатывается,   осмысливается.   После   совместного обсуждения выбирается базовый вариант.  Нельзя путать продукт проекта и результат проекта. Продукт – это может быть как конкретное   изделие   (макет,   шаблон.),   так   и   предложения   ребят   по   решению   проблемы (обычно   такой   вид   продукта   бывает   на   проектных   уроках).   А   результат   проекта   –   это достигли цели или нет. И на это нужно обязательно обращать внимание детей!  В   зависимости   от   места,   где   применяется   метод,   могут   быть   и   разные   продукты проекта.   Например,   продуктом   самостоятельной   деятельности   учащихся   на   уроке,   может быть опорный конспект, памятка по методам решения задач, сборник ключевых задач по изучаемой теме и др. Ученики 5­6 классов сочиняют задачи, персонажи которых сказочные герои, сочиняют сказку или историю по изучаемой теме, составляют кроссворды, ребусы. Прикладной проект может быть связан с применением математического аппарата в повседневной жизни. Например, продуктом проекта  «Проценты в моей жизни», над которым работала ученица 8 класса, был расчет минимального количества необходимых продуктов и их   стоимости,   используемых   семьей   на   протяжении   месяца;   расчет   бюджета   семьи   и погашения банковского кредита. Проектная деятельность учащихся дает наилучшие результаты в старших классах. Но подготовка к серьёзной проектной деятельности начинается ещё в 5­8 классах. Чтобы сделать большой проект надо сначала научить учащихся поиску информации, работе со справочной литературой,   научить   работе   в   команде,   развить   у   школьников   исследовательские   и коммуникативные умения. Поэтому начинать можно с работы над мини­проектами. Именно их можно использовать на уроках математики, начиная с 5 класса.  Примеры краткосрочных проектов (в рамках изучения программного материала):        «Положительные и отрицательные числа». «Дроби в нашей жизни» «Прямоугольная система координат на плоскости: соревнование художников» «Геометрические тела вокруг нас» «Пропорции и их применение при решении старинных задач». «Вездесущие десятичные дроби» «Практическая направленность задач по геометрии»  Применение   краткосрочных   проектов,   на     мой   взгляд,   наиболее   удачно   при закреплении   новых   понятий   и   определений.   Особый   интерес   у   моих   шестиклассников вызывают проекты   с историческим содержанием. Например, проект   «Меры длины, веса, площади». Цель проекта: углубление и систематизация знаний по истории происхождения старинных и современных мер длины, веса, площади в Англии, Франции, Германии, России. Однако необходимо отметить, что если будет развиваться только стремление к познанию, то это   может   привести   к   отрицательным   результатам.   Люди,   у   которых   развита   только   эта мотивация и не развита потребность в труде, могут испытывать нежелание работать. Одно из средств   решения   этих   задач   на   уроках   математики   ­   творческие   проекты   учащихся. Интересным получился проект по теме «Углы» в 5 классе. Для учеников работа над учебными проектами – это возможность максимального раскрытия их творческого потенциала. Проект ориентирован на достижение целей самих учащихся, и поэтому он уникален. Он формирует невероятно большое количество умений и навыков, и поэтому он эффективен. Он формирует опыт деятельности, и поэтому он незаменим.  В 5­м классе был проведён  проект по теме: «Геометрические фигуры в жизни» и, как следствие,   была   организована     исследовательская   работа   по   теме:   «Планирование   и строительство   детской   площадки   будущего».   Данная   работа   подразумевала   посещение городских детских дворовых площадок, организацию конкурса рисунков. Проект «Рисунки в системе координат» вызывает особый интерес у учащихся 6 класса, т.к. в ходе работы над проектом   рассматриваются  созвездия   в   сказках,   мифах,   легендах,   географические   карты, учащиеся  знакомятся   с   различными   животными,   рыбами,   игрушками,   историей   создания декартовой   системы   координат.   Этот   проект   многочасовой   и   связан   почти   со   всеми предметами, изучаемыми в данном классе. Работа над данным проектом начинается на уроке, а   заканчивается   во   внеурочной   деятельности   на   занятиях  кружка.  Учащимся   8   класса понравилось   работать   над   практико­ориентированным   (прикладным)   проектом   по   теме: «Составление  сметы ремонта моей комнаты», которые  выполнялся в ходе  изучения  темы «Площади четырёхугольников». Проект нацелен на социальные интересы самих участников проекта,   его   отличает   четко   обозначенный   результат   деятельности   участников,   четко продуманная   структура,   поэтапное   выполнение.   Ребята,   кроме   математических   расчетов, выбирали материалы для ремонта, интересовались стоимостью материалов, решали вопрос: «Какими   силами   будет   производиться   ремонт»,   «Что   можно   сделать   своими   силами». Результатом деятельности было составление смет и организована их презентация.  В   процессе   реализации   проектов   ученики   учатся   не   только   применять   умения   и навыки, полученные на уроках математики, но и сами активно включаются в познавательную деятельность,   знакомятся   с   реалиями   современной   жизни,   учатся   активизировать   свое творчество   и   индивидуальность,   учатся   применять   математические   знания   на   практике, развивают себя и учатся конструктивной коммуникации.  Проектно­исследовательская   деятельность   на   доступном   уровне   показывает,   где можно   применить   математические   знания   на   практике!  При   составлении   плана   урока необходимо   продумывать,   какими   формами   работы   воспользоваться,   какие   задания использовать, чтобы они имели не только учебное, но и практическое обоснование, и чтобы учащиеся знали, зачем мы это делаем. Уважаемые коллеги, сейчас я расскажу Вам фрагмент урока математики в 5 классе по теме:   «Углы».  На   данный   момент   пятиклассники   умеют   откладывать   и   измерять   углы,   с помощью   транспортира,   знают   виды   углов.   Но   у   ребят,   очень   много   проблем   именно   с построением острых и тупых углов, т.к. на транспортире две шкалы. Спросив учеников, где в жизни необходимы знания построения углов,  я предлагаю учащимся  решить практическую задачу. У каждого ученика на столе должны быть: транспортир, условие задачи, 2 листка. У учителя  должен быть квадратный лист бумаги большего размера Задача:   Папа   на   даче   строит   лестницу   и   хочет   установить   угол   наклона   балок   30 градусов.   Основным   показателем   при   расчете   лестничного   марша   является   его   уклон (крутизна). Идеальный уклон 30 градусов, он создается с помощью Тетивы. Тетива – это основа лестницы, несущая опорная конструкция, в виде наклонных балок. Для этого ему нужен макет угла из фанеры. Он просит своего сына помочь ему сделать бумажный шаблон угла, который он затем приложит к фанере и выпилит нужный макет. При наличии транспортира отложить любой угол можно! Но транспортира на даче нет, и данный угол нужно получить здесь и сейчас!!! ­ Можно ли построить угол без транспортира? Происходит мотивация ­ постановка проблемы (проблематизация: изготовить шаблон угла без транспортира); ­ Хватает ли имеющихся знаний для решения проблемы? У учащихся есть только квадратный лист бумаги! Предположим, что с помощью него можно отложить угол в 30 градусов! Происходит выдвижение гипотезы (предположения);  Гипотеза: можно отложить угол, равный 30 градусам, без транспортира с помощью квадратного   листа   бумаги.  Как?  Происходит   поиск   и   предложение   возможных   вариантов решения. Ученики пытаются найти решение проблемы. Ну а я вам сейчас сама покажу, как это сделать.  Берем обыкновенный квадратный лист бумаги и сворачиваем его пополам Затем, делаем второй сгиб, (посмотрите на слайд), мы загибаем угол квадрата таким   образом,   чтобы   вершина   квадрата,   она   обозначена   точкой   совпала   с   линией первого сгиба. ­ Предлагаю учащимся взять транспортир и измерить получившийся угол!!!  ­ После подтверждения эксперимента делаем вывод.  ­ Какой этап работы сейчас? Анализ ­ Что нам нужно было получить? (шаблон угла) Предлагаю учащимся воспользоваться  ножницами. ­ Получился шаблон? ­ Какой этап работы сейчас?  Продукт Какой вид угла мы получили? (острый) Очень   часто   дети   путают   при   откладывание   угла   в   30   градусов   шкалу   (их   две   на транспортире)   и   строят   угол,   равный   150   градусов,   а   это   тупой   угол.   Данный   шаблон нагляднее, он сразу дает представление об остром угле! Произошел переход от незнания к знанию нового способа. Переходим к постановке новых вопросов. ­ Где можно применить новые знания? Оказывается, у дизайнеров очень популярна геометрическая фигура – ГЕКСАГОН, другими   словами   правильный   шестиугольник,   его   часто   используют   для   создания   рамок. (Показать   рамки   на   слайде)  Все   углы   правильного   шестиугольника   120   градусов. Предлагается учащимся ещё одна задача. Папа с сыном, закончив лестницу, решили сделать маме подарок, смастерить рамочку для семейного портрета. ­ Что нужно, для того чтобы создать рамку в форме шестиугольника? (шаблон угла 120 градусов)   А   как   сделать   шаблон   угла   в   120   градусов,   используя   ваш   шаблон   угла   в   30 градусов и остаток листа? (даётся время на обсуждения) Задаём вопросы ученикам. ­ Какой вид угла мы получили? Он больше или меньше 90 градусов? Данная модель даёт наглядное представление о тупом угле, а также, доказывает, что его градусная мера больше 90 градусов. Тем самым, на моделях отрабатываются понятия тупого и острого угла. Работая   в   группе   (или   можно   дать   задание   на   дом),   смастерить   рамку   в   форме шестиугольника, найти, где можно найти применение правильного шестиугольника в природе, в технике и быту, представить найденный материал в виде презентации. Определим тип мини проекта   по   ведущему   типу   деятельности.   Практико­ориентированный.  Где   ещё   можно применить данный шаблон?  Учителя начальной школы могут использовать такие приемы на уроках труда, это будет пропедевтикой изучения геометрии. В процессе такой деятельности формировались ключевые компетенции.      Обучающиеся узнали альтернативный способ откладывания угла в 30 градусов. Работали с моделями. Узнали новую информацию. Познакомились на практике с новой геометрической фигурой. Получили новый практический опыт, который можно применить в жизни. Часто   проектно­исследовательская   работа,   начатая   на   уроке,   имеет   развитие   и   во внеурочное время. В моей практике темы некоторых исследовательских работ учащихся были подсказаны ситуациями на уроках. Применение возможностей оригами для решения геометрических задач на построение отрезков и доказательство теорем. Так называлась проектная работа ученицы 8 класса. Рассмотрим несколько примеров из этой работы. Посмотрим на обычный лист бумаги, как   на   средство   обучения   одному   из   сложных   предметов   –   геометрии.  В   процессе складывания   фигур   оригами   мы   знакомимся   с   различными   геометрическими   фигурами: треугольником, квадратом, трапецией и т.д., учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое   другое,   что   относится   к   геометрии   и   математике.   Оригами   обладает   мощным потенциалом   в   решении   геометрических   задач   на   построение.   Вот   некоторые   из   них, решаемые методами оригами: Сейчас я вместе с вами проведу небольшую очень простую практическую работу: Возьмём   оранжевый   треугольник,   давайте   попробуем   сгибанием   его   построить биссектрису   одного   из   углов.   Построим   биссектрисы   двух   других   углов.   Развернём   лист бумаги. Внимательно посмотрите на следы сгибов. Что можно сказать? (все три сгиба прошли через одну точку). Действительно, биссектрисы пересеклись в одной точке. Возьмём красный треугольник. Проделаем аналогичную работу, только сгибать будем несколько   иначе.  В  результате  мы   построили  высоту.  Если  повторить  действия   для  двух других сторон, то мы увидим, что все три сгиба прошли через одну точку. То есть высоты также пересеклись в одной точке. Возьмите зеленый треугольник. Для построения следующей линии   нам   нужно   разделить   сторону   треугольника   пополам,   для   этого   совмещаем   две вершины   треугольника   и   делаем   небольшой   сгиб,   отмечая   тем   самым   середину   стороны. Теперь сгибаем треугольник, так чтобы линия сгиба проходила через вершину треугольника и отмеченную   точку.   Как   вы   помните,   такой   отрезок   называется   медианой   треугольника. Построим еще две медианы треугольника. Вновь рассмотрим рисунок линий и убедимся, что медианы так же пересекаются в одной точке. Еще раз посмотрели на все три треугольника, какой общий вывод можно сделать?   Итак,   в   течение   нескольких   минут   можно   научить   строить   основные   линии   в треугольнике, а так же сформулировать теоремы о трех замечательных точках треугольника. Самое главное, выполняя эти практические задания, мы освоили основы оригами. При решении задач с помощью методов оригами роль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек ­ вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов. Можно привести ряд задач на построение по теме «угол»: 1. 2. 3. Деление  угла пополам. Деление прямого угла на четыре равные части. *Деление   прямого   угла   на   три   равные   части.  *   ­   это   задача   повышенной сложности Рассмотрим ещё несколько задач на построение отрезков, длинны которых выражены через другие, известные отрезки и числа, с помощью оригами. Задача 1. Дан квадратный лист бумаги со стороной а. Построить отрезки:  а 2 ; 2) а 4 ; 3) а√2; 4) а√2 2 1) а√5 2 а√2 4  .  ; 6)  ; 5)  Решение.   1. a/2.   Совместить   две   противоположные   стороны   квадрата,   перегнуть   лист. Получаем сгиб 1. От точки касания сгиба 1 и стороны до угла квадрата расстояние равно а/2  а/4.Повторить   пункт   1,   совместить   сгиб   1   с   параллельной   ему   стороной, перегнуть лист. Получаем сгиб 2. От угла и до сгиба 2 и от сгиба 2 до сгиба 1 расстояние 2. равно а/4(рис. 2).   а/4 2 1   Сложить   лист   по   диагонали.   Получаем   сгиб   3.   Расстояние   от   одной   вершины   до другой на сгибе 3 равно а√2  (рис. 3). 3. а√2 2 . Повторить   пункт   3,   сложить   лист   по   второй   диагонали,   перегнуть лист. Получаем сгиб 4. От точки пересечения сгибов 3 и 4 до любой из вершин квадрата расстояние равно а√2 2 (рис.4) 3 4 2a 2 4. а√5 2 . Разделить одну сторону пополам. Расстояние между точкой сгиба и любой из вершин другой параллельной стороны и будет искомым (гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами а и а/2) (рис. 5). 5 5a 2 Таких задач можно подобрать достаточно много. Рассмотрим применение метода оригами для доказательства теорем. Задача №1. Доказать, что сумма углов треугольника равна 180° (Доказательство с помощью техники оригами) 1)   Проведем   сгиб   через   одну   из   вершин   треугольника,   перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника). 2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника. Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180 градусов. Задача №2. Доказать, что в прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Доказательство (с применением техники оригами) 1. Наметим середину стороны ВС квадрата АВСD. Согнем по линии так, чтобы точка D легла на линию сгиба. Согнем по ней и по намеченной линии разогнем. Сторону АВ B А C D совместим с отрезком АК, то есть угол А разделится на три равные части: угол ВАМ = угол NАК = угол КАD = 30° N B N А C K D Сравним КD и АК, для этого совместим сторону DK с АК в результате чего точка D совместится с точкой М. М K D М(D) K 2. Согнем по линии РМ, точка К совместимо с точкой А  АМР =   МРК (совпадают при наложении). Значит АМ=МК и  КD= КМ, КD =  АК Задача №3. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны. Доказательство. 1) Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы ­ углы 1 и 2. 2) Совместим вершины накрест лежащих углов­ точки А и В. 3) Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны. Таким образом, мы смогли доказать, что доказательство некоторых геометрических теорем с помощью оригами достаточно просто и интересно, так как многие понятия школьного курса геометрии наглядно объясняются демонстрацией оригами. В заключение хочется отметить, что проектное обучение не должно вытеснять классно­ урочную   систему   и   становиться   некоторой   панацеей,   его   следует   использовать   как дополнение к другим видам прямого или косвенного обучения. Спасибо за внимание!