Решение неравенств методом интервалов

Урок путешествие

 

Тема урока: «Решение неравенств методом интервалов»

Класс: 9 А

 Цель:

·        - формирование умений применением метода интервалов при решении простейших неравенств с кратными корнями.

·        - расширение знаний учащихся  и  рассмотреть применение метода интервалов  для решения неравенств различных типов.

Задачи урока:

·        Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.

·        Формировать умения применять полученные знания на практике, в новых условиях;

·        Содействовать развитию познавательного интереса к предмету, внимания, памяти;

Тип урока: урок «открытия» нового знания

Форма занятия: урок – игра «Путешествие»

Оборудование и материалы: компьютер, проектор, экран,  презентация

для сопровождения занятия, раздаточный материал для учащихся.

 

Ход урока

I.Организационный момент

– Здравствуйте, ребята! Сегодня вы сделаете очередной шаг навстречу большой цели – итоговая аттестация. Я с радостью помогу вам сделать этот шаг. Однажды я прочла высказывание  «Получать готовую информацию и запоминать ее может компьютер, а человек должен думать».

– Пусть эти слова будут эпитетом к нашему уроку.  А урок у нас не совсем обычный. Каждый из нас согласно основному закону страны, «Конституции РФ», имеет право на образование и право на свободное перемещение. Сегодня мы с вами отправимся в математическое путешествие.

- У себя на столах вы можете найти вспомогательные материалы для работы.

- Итак, начнем наше путешествие: вам необходимо пройти регистрацию и ознакомиться с проблемными вопросами, решением которых мы будем заниматься в ходе нашего путешествия

 - Приготовьте свои посадочные карточки. Листы оценивания.

2. Устная работа

1 этап регистрация: «Тест контроль»

І вариант

1) Разложение на множители квадратного трехчлена х² + 6х + 9 имеет вид:

а) (х + 2)(х – 3);                   

б) (х + 3)²;                              

в) (х – 3)².

 

2) Корнями уравнения (х – 2)(х + 10) = 0, являются:

а) 2 и 10;                          

б) 2 и – 10;                              

в) – 2 и 10.

 

3) Изображение на координатной прямой корней уравнения (х + 2)(х – 7) = 0

а)

         -7                 2

 

б)         

            -2             7

 

в)

             -7             -2

ІІ вариант

1) Разложение на множители квадратного трехчлена х² – 8х + 16 имеет вид:

а) (х + 2)(х – 8);                  

б) (х + 4)²;                       

в) (х – 4)².

2) Конями уравнения (х + 2)(х – 5) = 0, являются:

а) 2 и 5;                           

б) 2 и – 5;                                

в) – 2 и 5.

3) Изображение на координатной прямой корней уравнения (х – 4)(х – 11) = 0:

а)

               -4              11

б)

               -11                -4

в)

                 4                11

Ответы: І вариант все б);   ІІ вариант все в).

Ребята обмениваются регистрационными карточками, проверяют их, производят оценивание: за каждый правильный ответ на вопросы теста по 1 баллу (всего 3 балла).

2 этап: Изучение нового материала.

Первая станция «Круг идей»

Фронтальная работа с классом.

Учитель: Перед нами стоит задача. Надо решить неравенство (х – 4) (х + 1)>0.

Учитель: Когда произведение двух выражений положительно?

Уч-ся: Если оба сомножителя одновременно положительны или одновременно отрицательны. Значит, нужно решить две системы неравенств:

1)                                                      2)  

Два ученика у доски, остальные самостоятельно.

- Решением первой системы будет промежуток (4; +∞), а решением второй – промежуток (-∞; -1). Таким образом, получаем, что решением исходного неравенства будет объединение этих промежутков, то есть x∈(-∞; -1)∪ (4; +∞).

Учитель: Приемлем  ли такой способ решения неравенств подобного вида?

Уч-ся:  Да.

Учитель: А если нам потребуется решить неравенство  (x + 5)(x + 4)(x – 5) < 0

 А для этого неравенства такой способ решения удобен?

Уч-ся:  Не совсем.

Учитель: Итак, для решения второго неравенства необходимо искать другой способ.

Учитель: Назовите нули функции

Уч-ся:   Нули функции: х₁= -5, х₂ = -4, х₃= 5.        

Учитель: Отметим их на координатном луче.   -        +                  -                          +

 Что они сделали с областью определения           

                                                                                    -5        -4                         5             х 

функции?                                                                                     

Уч-ся:  Они разбили область определения на промежутки (-∞; -5); (-5;-4); (-4;5); (5; +∞).

Учитель:  Выясним, каковы  знаки  функции в каждом из указанных промежутков. Для этого возьмем число из промежутка и подставим в неравенство.

Мы видим, что в каждом из промежутков (-∞; -5); (-5;-4); (-4;5); (5; +∞) функция сохраняет знак, а при переходе через точки -5, -4, 5 её знак изменяется.

5. Выберем  промежуток, соответствующий знаку неравенства ( «+» – знак  >,  « – »  – знак <)   x∈(-2; -1)∪ (2; +∞).

Учитель:  Итак, мы рассмотрели два метода решения неравенств. Какой метод более рациональный?

Уч-ся:  Метод интервалов.

Сформулируйте тему нашего урока:

Метод интервалов при решении неравенств с кратными корнями

 

- Как вы думаете какие цели мы будем ставить в ходе нашего путешествия.

-Научиться решать неравенства новым методом; расширить математический кругозор; учиться работать самостоятельно и в группе; проконтролировать уровень усвоения темы.

- Итак, уважаемые пассажиры, вы прошли регистрацию и, считаю, готовы отправиться в путешествие.

 

Учитель:  Давайте попытаемся обобщить последний метод решения неравенств с одной переменной.

Алгоритм решения неравенств методом интервалов Пусть требуется решить неравенство а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn) < 0, где х1 < х2 < х3 < … < xn  1. Найти корни уравнения                 а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn) = 0 2. Отметить на числовой прямой корни х1, х2, х3 ,… , xn 3. Определить знак выражения                 а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn)      на каждом из получившихся промежутков. 4.  Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим  знаку  неравенства знаком.

3 этап:  Актуализация знаний

 Повторяем  алгоритм решения неравенств методом интервалов.

Решить неравенство (с проведением сравнительного анализа решения):

 (x – 5)(x + 4)(x + 5)² ≤ 0.

Вопросы: Как вы думаете будут сложности в решении данного неравенства? В чём они будут заключатся?

- Что вы заметили при решении данных неравенств? (не чередуются знаки на интервалах в неравенстве )

Эта ситуация осложняет решение неравенств? (да, теперь знаки функции необходимо проверять на каждом интервале!)

А может, есть способ, все- таки не менять привычный алгоритм решения? (возможно есть)

 

(x – 5)(x + 4)(x + 5)² ≤ 0 <=> (x - 5)(x+4) ≤ 0, x = - 5;

Ответ. х € { - 5} U [- 4; 5]

Прежде всего, отметим, что если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что  - корень многочлена кратности .

Значит, корень х = -5 кратности 2.

4 этап: Проблемное объяснение нового знания

Итак, причина затруднения применения метода интервалов: не чередуются знаки на интервалах, что приводит к необходимости проверки знаков функции на каждом интервале.

Решим неравенство: (x – 5)(x + 4)(x + 5)² ≤ 0 другим способом:

(x – 5)(x + 4)(x + 5)(x + 5) ≤ 0

Введем функцию f(x) = (x – 5)(x + 4)(x + 5)²; Д(f)=R.

1. Найдем нули функции f(x) = (x – 5)(x + 4)(x + 5)², решив уравнение (х-5)(х+4)(х+5)² = 0.    x = 5; x = - 4; x = - 5 и x = - 5.

- 5 – корень кратности 2 (две слившиеся точки), между ними интервал с началом и концом в точке -5. Давайте введем интервал с началом и концом в точке -5. (его длина равна 0) и на графике его изображают в виде лепестка. Количество лепестков равно  k – 1 ( где к – это кратность корня).

2. Изобразим на координатной прямой нули функции не забывая про «лепестки».

Нули функции разбивают область определения на интервалы, в каждом из которых функция непрерывна и сохраняет свой знак.

Чередуя, расставим знаки в каждом интервале, учитывая «лепесток», т.е. интервал с началом и концом в точке-5, и по рисунку запишем решение исходного неравенства.

Ответ: {-5} U [-4; 5]

Надо менять алгоритм решения неравенств методом интервалов? Определять знаки функции на каждом интервале? Как поступать с кратными корнями?

5 этап:  Первичное закрепление

Отправляемся на станцию: «Обучая – учусь»

Примеры:

№1. Решить неравенство: (x – 1)(3 – x)⁴ (x – 2) ＜ 0.

Введем функцию f(x) = (x - 1)(3 –x)⁴ (x – 2), Д (f) = R.

Нули функции: x =1; x =2; x =3 – корень кратности 4.

Сколько «лепестков» рисуем в точке х=3?

В точке х = 3 дорисуем 3 «лепестка».

Определим знак функции f(x) на любом промежутке, например (-∞; 1)

f(0) = (0 -1)(3 – 0) (0 -2) > 0,

и, чередуя, проставим знаки.

Ответ: (1; 2) U{3}

№ 2. Решить неравенство № 134 (а,б) с.44

 На доске два ученика решают неравенства. Остальные работают в тетрадях.

 

6 этап: Физкультминутка «В здоровом теле, здоровый дух!»

Станция «Спортивная»

7 этап:  Самостоятельна работа в группах.

Следующая  станция « Тайный конверт»

Каждая пара получает закрытый конверт с заданием, аналогичным одному из рассмотренных примеров и решает поставленную задачу, затем в виде отчета эксперт записывает  ответ на доске и объясняет его.

 

Задания:

А)

1) (х + 7)(х + 2)(4 – х)(2х – 10) ≥ 0. ( x Є [-7; -2] v [4; 5] )

2) (х² + 4х – 5)(х+7)(х + 3) ≥ 0 (х Є (- ∞; -7]v [-5; -3] v [1; + ∞) )

3) (х + 4)(х + 1)(х – 1)(х – 8) ≥ 0 (х Є (- ∞; - 4] v [-1;1] )

Б) Самостоятельная работа (с взаимопроверкой в парах).

Запишите три любых числа a, b, с, причем a < b < c и решите неравенство:

(x – a)(x – b)²(x – c) ≥ 0.

7)Итоги самостоятельной работы

 

Алгоритм решения неравенств с кратными корнями

(х – х₁)(х – х₂)^к … (х – х_п)≥0

1. Найти нули функции f(х) = (х – х₁)(х – х₂)^к … (х – х_п)

2. Изобразить на координатной прямой нули функции.

3. В точках, которые являются кратными корнями, дорисовать нулевые интервалы в виде лепестков.

4.  Количество лепестков равно  k – 1 ( где к – это кратность корня).

5. Определить знаки функции на одном из интервалов и расставить знаки на остальных интервалах, включая «лепестки», чередуя знаки.

6. Записать ответ, в соответствии с условием.

 

8. Домашнее задание.

Наше путешествие подошло к концу. Мы прибыли на станцию «Домашнее задание»

Ваше домашнее задание нескольких уровне. Каждый выбирает уровень себе по силам.

Начальный уровень

                                                       І вариант

Решить неравенство методом интервалов

1) (х + 1)(х – 2) > 0

2) х² – 3х + 2 ≤ 0

3) (х – 4)/(х + 5) < 0

  Начальный уровень

                                                     ІІ вариант

Решить неравенство методом интервалов

1) (х + 2)(х – 3) > 0  

2) х² – 3х – 4 ≤ 0  

3) (х – 5)/(х +6) < 0  

Средний уровень

                                                       І вариант

Решить неравенство методом интервалов

1) х² – 7х + 12 ≤ 0

2) (х + 10)(х – 4) < 0

3) 2х (8 + х)(х – 12) > 0

4) (х + 2)(7 – х)(х – 13)

5) (х + 5)/(х - 6) >0

               Средний уровень

ІІ вариант

Решить неравенство методом интервалов

1) х² – 6х + 5 < 0

2) (х + 9)(х – 2) < 0

3) 4х (5 + х)(х – 8) > 0

4) (х + 9)(6 – х)(х – 10) ≤ 0

5) (х – 4)/(х + 7) > 0

 

 

 

Достаточный уровень

                                                       І вариант

Решить неравенство методом интервалов

1) (х – 2)(х +5)/(х + 2) ≥ 0

2) (х + 3)²(х + 1)(х – 2) ≤ 0

3) (16 – х²)(3х2 + 1) > 0

4) (6 – 3х)/(х + 4) ≥ 0

 

Достаточный уровень     

ІІ вариант

Решить неравенство методом интервалов

1) (х + 1)(х – 9)/(х - 1) ≤ 0

2) (х + 2)(х – 1)(х – 3)2 ≤ 0

3) (25 – х²)(5х² + 2) ≤ 0

4) (х + 4)/(10 - 2х) ≤ 0

 

Высокий уровень

                                                       І вариант

Решить неравенство методом интервалов

1) (х⁴ – 16х²)( - х² – 5) ≤ 0

2) (– х² + 8х – 7)/(х² + х – 2) > 0

3) х³ – 5х² + 6х ≥ 0

4) (х – 2)(х + 2)²(х + 3)/(х - 1) ≤ 0

Высокий уровень

                                                       ІІ вариант

Решить неравенство методом интервалов

1) (х⁴ – 25х²)( - х² – 7) ≥ 0

2) (– х² + 4х + 3)/( х² – х – 2) < 0

3) х³ – 6х² + 5х ≤ 0

4) (х – 3)(х + 3)²(х + 4)/(х - 2) ≥ 0

 

9.Итог урока.

Станция  «Рефлексия»

Учитель: И вспомним начало нашего урока, ребята. Удалось ли за сегодняшний урок сделать чудные открытия?

А какие открытия Вы для себя сделали?

А какие цели урока мы ставили перед собой?

Как Вы считаете, нам удалось достигнуть поставленных целей?

 

Учитель: Ян Амос Коменский говорил: «Считай  несчастным  тот  день  или тот  час,  в  который  ты  не  усвоил ничего  нового,  ничего  не  прибавил  к своему образованию». Я надеюсь, что в сегодняшнем уроке вы найдете для себя хоть крупинку полезного.

 

Учитель: У каждого из вас на столе листочки. Уходя из класса, прикрепите на доску один из них.

Листок  зелёного цвета обозначает: “Я удовлетворён уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке”.

Листок  жёлтого цвета обозначает: “Урок был интересен, я принимал в нём активное участие,  я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно”.

Листок  синего  цвета обозначает: “ Я получил пользу от урока, но мне не все удалось выполнить правильно”.

 

Скачано с www.znanio.ru