Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости».
Оценка 4.9

Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости».

Оценка 4.9
doc
09.02.2021
Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости».
Урок 9.doc

Урок 9. Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости».

Цели урока: обобщить изученный материал; закрепить навыки применения изученных теорем к решению задач; воспитывать самостоятельность в выборе способа решения геометрических задач.

Ход урока.

I. Организационный момент.                                                                                                               Сообщить тему и цели урока.

II. Проверка домашнего задания.                                                                                                           Проверить задачи № 24, 31, комментируя решение.

III. Актуализация знаний учащихся.

1) Фронтальный опрос.                                                                                                                                    - Сформулируйте теорему о трех параллельных прямых.                                                                                      - Сформулируйте признак параллельности прямой и плоскости.                                                                                  - Верно ли утверждение, что если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна ей, то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости? (Нет.)                                                                                   - Верно ли утверждение, что если две прямые параллельны одной и той же плоскости, то они параллельны между собой? (Нет.)                                                                                                                          - Каким может быть взаимное расположение двух прямых, из которых одна параллельна некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость?

2) Индивидуальная работа по карточкам (3 ученика).                                                                                                               С остальными учениками решение задач № 29, 30.

I уровень

Карточка 3

Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость α. ВС α. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и CD, параллельна плоскости α.

Дано: ABCD - трапеция; AD α, СВ α; АК = КВ, CN = ND (рис. 3).

Доказать: KN || α.

 

image69

 

Доказательство:

1. KN - средняя линия трапеции, значит KN || AD.

2. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image141.jpg (по теореме о параллельности прямой и плоскости).

 

II уровень

Карточка 2

Дан ΔВСЕ. Плоскость, параллельная прямой СЕ, пересекает BE в точке Е1, а ВС - в точке С1. Найдите ВС1, если С1Е1 : СЕ = 3 : 8, ВС = 28 см.

Дано: http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image142.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image143.jpg (рис. 2).

Найти: ВС1.

 

image70

 

Решение:

1. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image145.jpg

2. ΔВС1Е1 ~ ΔВСЕ (по двум углам); http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image146.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image147.jpg (Ответ: 10,5 см.)

 

III уровень

Карточка 1

№ 1. Доказать, что если через каждую их двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то линия их пересечения параллельна каждой из данных прямых.

Дано: http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image148.jpg  (рис. 1).

Доказать: а || с, b || с.

 

image71

 

Доказательство:

1. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image150.jpg по признаку.

2. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image151.jpg

3. Аналогично b || с.

 

№ 29. Дано: ABCD - трапеция, ВС = 12 см, M (ABC), ВК = КМ (рис. 4).

Доказать: (ADK) ∩ МС = Н.

Найти: КН.

 

image72

 

Решение:

1. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image153.jpg

2. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image154.jpg

3. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image155.jpg

4. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image156.jpg следовательно КН - средняя линия ΔВМС. КН = 6 см.

№ 30. Дано: ABCD - трапеция, АВ || α, С α (рис. 5).

Доказать: CD; MN || , где MN - средняя линия трапеции.

 

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image157.jpg

 

Доказательство:

1. Пусть CD α, тогда CD ∩ α = С,

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image158.jpg по лемме АВ ∩ α. Но АВ || α — это противоречие, значит, CD α.

2. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image159.jpg (по признаку).

 

V. Самостоятельная работа обучающего характера (с оказанием индивидуальной дифференцируемой помощи) (см. приложение)

 

 

 

 

Ответы и указания к задачам самостоятельной работы.

I уровень

Вариант I

1. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image160.jpg - средняя линия.

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image161.jpg

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image162.jpg (Ответ: 4 см.)

КМ || EF (теорема о параллельности трех прямых).

2. Дано: ABCD - трапеция; AD α, АЕ = ЕВ, CF = FD (рис. 8).

Доказать: EF || α.

 

image74

 

Доказательство: Так как АЕ = ЕВ, CF = FD, значит, EF - средняя линия трапеции ABCD.

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image164.jpg (по теореме о параллельности прямой и плоскости)

 

Вариант II

1. Решение:

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image165.jpg - средняя линия трапеции http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image166.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image167.jpg

2) ABCD - квадрат, АВ = ВС = CD = DA, АВ || CD, AD || ВС.

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image168.jpg (Ответ: 8 см.)

2. Дано: ΔABC, AC α, AD = DB, BE = EC (рис. 9).

Доказать: DE || α.

 

image75

 

Доказательство:

1) Так как http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image170.jpg - средняя линия ΔАВС.

2) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image171.jpg (по признаку).

 

II уровень

Вариант I

1. Дано: А, В, С, D; В (ACD). Е, F, М, К- середины сторон АВ, ВС, CD, AD; AC = 6 см, BD = 8 см (рис. 10).

Доказать: EFMK - параллелограмм.

Найти: PEFMK.

 

image76

 

Решение:

1) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image173.jpg - средняя линия, http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image174.jpg

2) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image175.jpg - средняя линия, МК || АС, КМ = 1/2АС. EF || AC (значит EF || (ACD)), АС || КМ EF || КМ по теореме о параллельности прямой и плоскости.

3) Аналогично ЕК || FM.

4) EFMK - параллелограмм, то есть EF || КМ, ЕК || FM.

5) Учитывая свойства параллелограмма http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image176.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image177.jpg

6) Из п. 1 и 2 следует, что http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image178.jpg

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image179.jpg (Ответ: 14 см.)

 

 

2. Дано: http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image180.jpg  (рис. 11).

Доказать: b α.

 

image77

 

Доказательство:

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image182.jpg значит, b || α, но учитывая, что http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image183.jpg

 

Вариант II

1. Дано: А (BCD); AR = RD, АР = РВ, ВТ = ТС, DS = SC; BD = 6 см, PPRST = 14 см (рис. 12).

Доказать: PRST - параллелограмм.

Найти: АС.

 

image79

 

Решение:

1) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image185.jpg - средняя линия, http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image186.jpg

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image187.jpg - средняя линия, http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image188.jpg

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image189.jpg - средняя линия, http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image190.jpg Из б и в следует, что РТ || RS (по теореме о параллельности трех прямых).

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image191.jpg - средняя линия, http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image192.jpg Из а и д следует, что TS || RP (по теореме о параллельности трех прямых). TS = RP.

2) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image193.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image194.jpg (Ответ: 8 см.)

2. Дано: a || b, В b, В α, a || α (рис. 13).

Доказать: b α.

 

image80

 

Доказательство:

1) Допустим, b α, b ∩ α = В, по признаку, если http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image196.jpg что противоречит условию. Значит, b || α, но так как http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image197.jpg

 

 

III уровень

Вариант I

1. Дано: ΔАВК, М (АВК); E.D- точки пересечения медиан ΔМВК и ΔАВМ; АК = 14 см (рис. 14).

Доказать: ADEK - трапеция.

Найти: DE.

 

image78

 

Решение:

1) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image199.jpg - средняя линия ON || AK, ON = 1/2AK.

2) Рассмотрим (MNO). ΔMON (MNO). Точки Е и     D - точки пересечения медиан: по свойству медиан http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image200.jpg

3) ΔMED ~ ΔMON M - общий http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image201.jpg значит, MED = МОN, то есть ED || ON.

4) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image202.jpg (по теореме о параллельности прямой и плоскости).

5) Из п. 1,3 http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image203.jpg  по признаку, значит, KEDA – трапеция, ED и AK - основания.

6) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image204.jpg (из п. 1), http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image205.jpg

7) Рассмотрим ΔMED и ΔMON, ΔMED ~ ΔMON (из п. 3), значит, http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image206.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image207.jpg (Ответ: http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image208.jpg)

2. Дано: АА1, BB1, СС1; О - середина отрезков (рис. 15).

Доказать: АВ || (А1С1В1).

 

image81

 

Доказательство:

1) Так как AA1 ∩ BB1 = 0, существует α = (АВА1В1), α - единственна.

2) АО = OA1, ВО = ОВ1, значит, АВА1В1 - параллелограмм, по свойству параллелограмма АВ || A1B1, AB1 || А1В.

3) А1В1 (A1В1C), АВ (А1В1С) по теореме о параллельности прямой и плоскости.

 

 

Вариант II

1. Дано: А, В, С, D; D (ABC), К, М - точки пересечения медиан треугольников, ΔАBD и ΔBCD, КМ = 6 см (рис. 16).

Доказать: КМ || АС.

Найти: АС.

 

image82

 

Решение:

1) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image211.jpg - средняя линия http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image212.jpg

2) Рассмотрим (EDF): ΔEDF (EDF), ΔKDM ~ ΔEDF, D - общий, http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image213.jpg (по свойству медиан треугольника http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image214.jpg).

3) Из ΔKDM ~ ΔEDF DKM = DEF, значит, КМ || EF. http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image215.jpghttp://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image216.jpg

4) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image217.jpg KM || АС по теореме о параллельности прямой и плоскости.

Из п. 1 http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image218.jpg (Ответ: 18 см.)

2. Дано: ABCD - параллелограмм. О - точка пересечения диагоналей АС и BD; (КМ) ∩ (ABCD) = О; КО = ОМ (рис. 17).

Доказать: КВ || (AMD).

 

image83

 

Доказательство:

1) Существует (KBMD), так как КМ ∩ BD плоскость (KBMD) - единственная.

2) BKDM: ВО = OD, КО = ОМ, значит BKDM - параллелограмм, то есть по свойству параллелограмма КВ || DM.

3) http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image220.jpg   по теореме о параллельности прямой и плоскости.

 

VI. Подведение итогов урока.

 

 

VII. Домашнее задание:

I уровень: № 23, № 25.

II уровень: № 23, 25, дополнительная задача № 88.

№ 23. Дано: ABCD - прямоугольник; M (ABCD) (рис. 18).

Доказать: CD || (АВМ).

 

image84

 

Доказательство:

С (ABM), D (АВМ), так как M (ABCD), значит, CD ∩ (АВМ) или CD || (АВМ) - по признаку.

№ 25. Дано: http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image222.jpg  (рис. 19).

 

image85

 

Доказать: http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image224.jpg

Доказательство:

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image225.jpg по признаку.

№ 88. Дано: AC || BD, AC ∩ α = A; BD ∩ α = B. AC = 8 cm, BD = 6 см, AB = 4 см (рис. 20).

Доказать: CD ∩ α = E.

Найти: BE.

 

image86

 

Решение:

1) Проведем плоскость (ACDB), если CD || АВ, то ACDB - параллелограмм, то есть АС = BD, но это противоречит условию, значит, CDAB = Е.

2) Рассмотрим ΔАСЕ и ΔBDE.

CAE = DBE, АСЕ = BDE - как соответственные при параллельных прямых, значит, ΔEDB ~ ΔЕСА (по 3 углам) следовательно, http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image227.jpg то есть http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image228.jpg BE = 12 (см). (Ответ: BE = 12 cm.)

 

 


Скачано с www.znanio.ru

Урок 9. Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости»

Урок 9. Решение задач по теме «Параллельность прямой и плоскости»

KN - средняя линия трапеции, значит

KN - средняя линия трапеции, значит

Дано: (рис. 1). Доказать: а || с, b || с

Дано: (рис. 1). Доказать: а || с, b || с

КН - средняя линия ΔВМС. КН = 6 см

КН - средняя линия ΔВМС. КН = 6 см

Ответы и указания к задачам самостоятельной работы

Ответы и указания к задачам самостоятельной работы

Ответ: 8 см.) 2. Дано: ΔABC ,

Ответ: 8 см.) 2. Дано: ΔABC ,

Решение: 1) - средняя линия, 2) - средняя линия,

Решение: 1) - средняя линия, 2) - средняя линия,

Доказательство: значит, b || α, но учитывая, что

Доказательство: значит, b || α, но учитывая, что

Из а и д следует, что TS ||

Из а и д следует, что TS ||

Решение: 1) - средняя линия

Решение: 1) - средняя линия

Доказательство: 1) Так как AA 1 ∩

Доказательство: 1) Так как AA 1 ∩

KM || АС по теореме о параллельности прямой и плоскости

KM || АС по теореме о параллельности прямой и плоскости

Дано: ABCD - прямоугольник;

Дано: ABCD - прямоугольник;

Решение: 1) Проведем плоскость (

Решение: 1) Проведем плоскость (
Скачать файл