Решение иррациональных уравнений с применением некоторых оригинальных приемов

Управление образования администрации  Арзамасского муниципального района Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Чернухинская средняя школа» Решение иррациональных уравнений с применением некоторых оригинальных приемов                                                                                                                            Работу выполнила: Пахутина Г.М., учитель математики. с.Чернуха  2015год Содержание.  Введение………………………………………………………………………..3  Иррациональные уравнения………………………………………………….4 Решение иррациональных уравнений……………………………………...... 6 1. Метод пристального взгляда…………………………………………   …6 2. Введение новой переменной…………………………………………… . 6 3. Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью  введения переменной. ……………………………………………………7 4. Метод подстановки………………………………………………………  8 5. Исследование ОДЗ………………………………………………………   9 6. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных  уравнений…………………………………………………………………  9  Применение монотонности функции…………………………………    11 7. 8. Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель……12 9. Метод оценки……………………………………………………………    13 Заключение……………………………………………………………………  15 Литература………………………………………………………………….....  16    2 Введение. Да, мир познания не гладок. И знаем мы со школьных лет Загадок больше, чем разгадок И поискам предела нет!         В олимпиадной и конкурсной практике часто встречаются иррациональные уравнения, которые легко решаются с помощью методов, описанных в данной работе.   Между   тем,   эти   методы   редко   упоминается   в   учебной   и   научно­   Так, популярной   литературе. иррациональными   уравнениями,   большинство   работ,   посвящены    связанных   с использованию   свойств арифметического   корня.   В   учебнике  "Алгебра   и   начала   математического анализа"   10класс   (авторы:   Ю.М.Колягин,  М.В.Ткачева,   Н.Е.Федорова,   М.И. Шабунин)   материал   по   иррациональным   уравнениям   описывается   в   5   главе "Степенная   функция".   В     параграфе   "Иррациональные   уравнения"   решения уравнений основывается на свойстве: при возведении обеих частей уравнения в натуральную степень получается уравнение­следствие данного. Но это лишь один   из   методов.   На   самом   деле,   существуют   такие   методы   как   метод подстановки,   метод   оценки   левой   и   правой   частей   уравнения,   метод монотонности и др.  Объектом   исследования   в   данной   работе   является   решение иррациональных   уравнений   с   применением   оригинальных   способов.   Целью моей   работы   является   рассмотрение   теоретических   основ,     формирование представления о методах решения уравнений и использование их  при решении различных   задач.   Для   реализации   поставленной   цели   потребовалось   решить следующие задачи:  3 изучить научно­методическую, математическую литературу  по проблеме исследования; проанализировать учебные пособия  с целью  изучить и описать методы решения иррациональных уравнений;  классифицировать методы, применяемые для решения иррациональных уравнений;  определить диапазон применимости этих методов.  В   качестве   метода   исследования   для   решения   поставленных   задач, использовался   анализ   научно­методической   литературы,   учебных   пособий   и задачников по алгебре.  Практическая   значимость   работы   выражается   в   том,   что   в   ней описываются различные методы решения иррациональных уравнений, которые могут   быть   использованы   при   подготовке   к   участию   в   математических олимпиадах, при подготовке к ЕГЭ по математике.  Представленная мною работа будет очень полезна для подготовки и сдачи  экзаменов, потому что рассмотренные  методы могут быть с успехом  применены к решению многих задач по высшей математике. Эйнштейн говорил  так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако,  уравнения, по­моему, гораздо важнее. Политика существует для данного  момента, а уравнения будут существовать вечно”. Иррациональные уравнения Иррациональное в переводе с греческого «уму непостижимое, неизмеримое,  немыслимое». Понятие иррациональности ассоциируется с изображением  корня. Ньютон – английский физик ввёл современное изображение корня.  Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная)  содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в  рациональную (дробную) степень. Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида: 4 (*) при решении которого важную роль играет четность или нечетность  , . Если   ­ нечетное, то уравнение (*) равносильно уравнению . Если   ­ четное, то, так как корень считается арифметическим,   .  необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений):  Уравнение (*) в этом случае равносильно системе: . Следует   помнить,   что   при   решении   иррациональных   уравнений   необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или   нахождение   ОДЗ   и   следующий   анализ   корней   (при   решении   методом приведения   к   равносильной   смешанной   системе   уравнений   и   неравенств необходимость в этом отпадает). Для   решения   иррациональных   уравнений   обычно   используются   следующие м е т о д ы :   Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень   Метод равносильных преобразований  Метод пристального взгляда  Введение новой переменной   Исследование ОДЗ  Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.  Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью  введения переменной.  5  Выделение полного квадрата  Использование ограниченности выражений, входящих в уравнение   Использование свойств монотонности функций  Использование векторов  Функционально ­  графический метод 6 Решение иррациональных уравнений. 1).Метод пристального взгляда Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости  предложенных уравнений: 7  x 8 ; x x  3 2  x 1 3  5 х х  9 5 х  7 43  х  2 х  02 2).Введение новой переменной             Введение новой переменной в ряде случаев позволяет перейти от  иррационального уравнения к рациональному уравнению. Введение  вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение  радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой  переменной. Пример 1.  Решить уравнение: Пусть  тогда исходное уравнение примет вид: 7 , корни которого  и  Решая уравнение , получаем  и  Ответ:  Пример 2.  Решить уравнение  . Решение. Возведение данного уравнения в квадрат привело бы к  уравнению четвертой степени, что нерационально. Поэтому запишем   и введем «новую»  уравнение в виде  переменную:  ,  . Получим  .  Вернемся к «старым» переменным Второе из полученных уравнений решений не имеет, а решения первого есть   или    числа  Ответ:  . 3). Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью  введения переменной.             Иногда при решении иррационального уравнения возникает  необходимость ввести не одну, а несколько «новых» переменных. Такая  ситуация возникает, например, при решении уравнений, содержащих радикалы  разных степеней.   Пример.  Решить уравнение  . 8 Решение. Пусть  стороны   и  . Тогда  . С другой  . Получаем систему . ,   Решим последнее уравнение системы:  . , а тогда  Получим, что  следовательно, исходное уравнение решений не имеет. Ответ: нет решений. . По условию  4). Метод подстановки. 1.  Решите уравнение     3 9  х 3 7  4 х . Заметим, что знаки  х под радикалом различные. Введем обозначение                                             3 9 х  a    ,       . х 3 7 b Тогда,         9 7  x a  bx 3 3 , .  Выполним почленное сложение обеих частей уравнения     . 16 3 a  b 3 Имеем систему уравнений     ba ,4  3 3 b a ;16         ,4 ba  2 ( )( aba  ab 2  b )  ;16 ,4   ba  2 a ab Т.к. а + в = 4,  то  .4 b 2 (  ba ) 2  ,16   2 a 2  16 b 2 , ab 9  ,4 ba   2 16 ab ab  ;4                               ba ,4   16 3 ab ;4 ,4 a ab  b  .4 Значит:             a b   ,2 ;2 3 3 9 7   x x ,2 ;2             9 – x = 8    х = 1.  Ответ : х = 1. 2. Решите уравнение   4 17  x 4 17  2 x . Введем обозначения:  4 17 x  a ,  0a ;  4 17 x  b ,  . 0b Значит:    17 17  a  b x x 4 4 , . Сложив почленно левую и правую части уравнений, имеем    4 a Имеем систему уравнений         ba a  ,2  4 4 b .34 . 4  b 34 а + в = 2,       2 a  2 ab 2  4 b ,       2 a 4 a  2 2 ba 2 4  16 b ,  16 ab  4 2 ba 2 2  24 b . 4 4 b 16  16 a Вернемся к системе уравнений:    2 ba ab  2 2  16 ab  2 ba 2  2 18  ,  2 2 ba  ab 8  09 , ab    2 ba 2  2 .34 ,2 ab  ba  16 16 . Решив уравнение относительно  (ab), имеем   ab  =  9,  ab  =  ­1 (­1  посторонний  корень, т.к.  ,  0b .). 0a 10 Данная система не имеет решений, значит, исходное уравнение         ,2 a ab  b  .9 также не имеет решения.                    Ответ : нет решений. 5). Исследование ОДЗ Решить уравнение Решение.  3 3 х  7 41 х 3  1 2  х х 1  Замечаем, что ОДЗ уравнения состоит из одной точки х=1.  Проверкой убеждаемся, что  х=1 – решение уравнения 6). Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных  уравнений. При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула  Пример 1.  Преобразуем уравнение следующим образом: или Обозначим  и решим полученное уравнение  методом интервалов. Разбирая отдельно случаи  , находим,  что решениями последнего уравнения являются  . 11 Возвращаясь к переменной  , получаем неравенства  Ответ: Пример 2. Решите уравнение:  x  2 x  1 x  43 x  11 .    Введем обозначение   , где  0a .  Тогда  , x  1 a 2 x 2 a 1 . x  1 a 2 a  21 a  2 a  44 a  1 ,  ( a  2 )1  ( a  2 )2  1 , .                  a  1 1 2 a                                            Рассмотрим три случая: 1)  .                                    2)  .                                       3)  . 2a 0 a 1 1 a 2    ­ а  +  1  ­  а  +  2  =  1,                    а  ­  1  ­  а  +  2  =  1,          а  ­  1  +а  ­  2  =  1, a   =  1, 1  [ 0;1 ).                          [ 1 ;  2  ).                                             а  =  2.                                     Решение: [ 1 ;  2 ]. Если   1 a 2 ,  то      1  x 2 1 ,     1 x 41 ,   . 2 x 5  Ответ:  .      2 x 5 7).  Применение монотонности функции.   1. Решите уравнение:  x  x  3 x  8 x 12  24 11 ОДЗ :  0x , т.к.         . 0x x x x x  ,0  ,03  ,08  24 .0 Известно, что сумма возрастающих функций есть функция возрастающая. Левая часть представляет собой   y  x x  3 x  8 x  24  возрастающую  функцию.  Правая часть – линейная функция (к=0). Графическая  интерпретация подсказывает, что корень единственный. Найдем его подбором,  имеем   х  =  1. Доказательство:    Предположим  имеется корень   х1   , больший 1, тогда выполняется , т.к. х1 >1, 1 x 1 , , x 31 2 x 81 3 . x 1 24  5 x  x  3 x  8 x  24  11 .Делаем вывод, что корней больших единицы нет. Аналогично, можно доказать, что нет корней, меньших единицы. Значит x=1 – единственный корень.            Ответ: x = 1. 2. Решить уравнение  5 x  1 x  3 2 29  . x Если функция u(x) монотонная, то уравнение и(х) = А либо не имеет решений,  либо имеет единственное решение. Отсюда следует, что уравнение и(х) = v(x),  где и(х) ­ возрастающая, a v(x) – убывающая  функции, либо не имеет решений,  либо имеет единственное решение. Подбором находим, что х=2 и оно  единственно. 13 3.   Решите уравнение:  ОДЗ: [ 0,5 ; + ), т.к.    ( x  2)(2 x  3)1  x  4 6 ( x  2)(6 x   3)1 x  2   т.е.  . 5,0x  )1 ,0  ( 2)(2 x x  x ,0)2 (  x ;06 Преобразуем уравнение  ( x  2)(2 x  3)1  x  6 ( x  2)(6 x  3)1  x  4 2 , 2 x  (1 x  2 x  (3)6  x  6 x  4 )2 , ( x  2 x  )(6 2 x  )31  4 . Левая часть представляет собой возрастающую функцию ( произведение  возрастающих функций ), правая часть – линейная функция ( к = 0).  Геометрическая интерпретация показывает, что исходное уравнение должно  иметь единственный корень, который можно найти подбором,  х  =  7. Проверка:  27(  )(67  14  )31  (4   Ответ:  х  =  7. верно ). 8)Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель Решить уравнение  Решение. Умножим обе части заданного уравнения на выражение уравнения. После приведения подобных членов получим уравнение:  являющееся сопряженным к левой части данного  которое эквивалентно исходному, так как уравнение заданное уравнение и полученное, получим:  действительных корней не имеет. Складывая  Возводя обе части в квадрат, получаем квадратное уравнение 3х2+5х­8=0,  корни которого х1=­8/3, х2=1. Делая проверку, убеждаемся, что оба найденных  числа являются корнями исходного уравнения.  14 Ответ: х1=­8/3, х2=1. 9). Использование ограниченности выражений, входящих в уравнение,  метод оценки (метод мажорант) Мажорирование – нахождение точек ограничения функции (словарь). Метод мажорант – метод оценки левой и правой части уравнения. Метод  мажорант используется для решения уравнений повышенной сложности,  которые соответствуют 2 части ЕГЭ. Метод мажорант ­ Оценим левую часть ­ Оценим правую часть ­ Составим систему уравнений ­ Сделаем вывод ­ Проверка Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения  представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные  множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения. Пример 1.  Решить уравнение  Так  как  x 112 и 4 х 4 11 2 x  1 4 4 x  2 1 x 2 . для любых значений х, то левая часть уравнения не меньше двух для  Правая часть 2  х 2 2 Rх  для Rх  Поэтому уравнение может иметь корнями только те значения х, при которых     2 4 2  1 х  2 х .2 4 х  1 ,2 15 Решая второе уравнение системы, найдем х=0. Это значение удовлетворяет и  первому уравнению системы. Итак, х=0 – корень уравнения. Пример 2.  Оценим обе части уравнения: , ,  Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной  , не  меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно,  уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:  Корнем второго уравнения системы является число  Проверим, является ли это число корнем второго уравнения: . Ответ: 16 Заключение. Несмотря на кажущуюся простоту определения корня числа, решение уравнений, содержащих неизвестные под знаком корня, вызывает определенные трудности. По­видимому, они связаны с тем, что решение уравнений подобного рода   предполагает   элементарные   навыки   исследования,   логического мышления, заключающиеся в переборе различных возможных случаев, так как в подавляющем   большинстве   примеров   одно   уравнение   с   корнем   равносильно совокупности   или   системе   нескольких   уравнений,   освобожденных   от   знака корня. При решении уравнений, содержащих переменную под знаком корня, чаще всего применяются следующие методы:  1) «уединение» корня в одной из частей уравнения и возведение в  соответствующую степень;  2) Метод пристального взгляда; 3) введение новой переменной;  4) сведение к системе уравнений; 5) применение свойств функций, входящих в уравнение. Анализ   научно­популярной   и   учебной   литературы   позволил   в   данной работе рассмотреть эффективные методы решения иррациональных уравнений. Они заключается в применении различных свойств. Уравнения,   приведенные   в   данной   работе,   будут   способствовать формированию умений решать уравнения, содержащие неизвестные под знаком корня,   и   могут   быть   использованы   при   подготовке   к   олимпиадам,   при подготовке   к   ЕГЭ   по   математике.   Таким   образом,   задачи   работы   решены, 17 поставленная цель достигнута. Литература 1) М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике ­ Москва:  Издательство “Наука”, 1986. 2) А.П.Савин. Энциклопедический словарь юного математика – Москва:  Издательство “Педагогика”, 1989. 3) А.И.Макушевич. Детская энциклопедия – Москва: Издательство  “Педагогика”, 1972. 4) Н.Я.Виленкин. Алгебра для 9 класс. Учебное пособие для учащихся школ и  классов с углубленным изучением  математики – Москва: Издательство  "Просвещение", 1998 5) Александрова О. В., Семенов Ю. С. ­ Москва:издательство "Илекса", 2013  6) Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами:  Учеб. пособие. ­ 4­е изд., доп., переработанное. ­ Москва, 2006 7) Сборник задач по математике под редакцией Сканави М.И., 6­е издание, М.  ОНИКС 21 век, Мир и Образование. 8) Математика: справочные материалы. Гусев В.А., Мордкович А.Г. 2­е изд.,  М: "Просвещение",1990. Образовательные ресурсы сети Интернет http://ege.edu.ru; http://www.uztest.ru 18