Решение текстовых задач на совместную работу

Тема: «Решение текстовых задач на совместную работу» Автор: Старостина Людмила  Васильевна, учитель математики  МБОУ СОШ №32 с  углубленным изучением  отдельных предметов Введение Элементы содержания, проверяемые заданиями В13: уравнения. Проверяемые требования (умения) в заданиях В13: моделировать реальные ситуации   на   языке   алгебры,   составлять   уравнения   по   условию     задачи; исследовать модели  с использованием аппарата алгебры. Начиная с 6 класса решаем «задачи на совместную работу» В контрольно­ измерительных     материалах   единого   государственного   экзамена   (ЕГЭ)   и основного   государственного   экзамена   (ОГЭ)   имеется     тип   задач   на составление уравнений, так называемых текстовых задач. Решение   задач   подобного   рода   способствуют     развитию   логического мышления, сообразительности   и  наблюдательности,  умения самостоятельно осуществлять  небольшие исследования.   вызывают   затруднения   у   школьников   Несмотря   на     то,   что   в   школьном   курсе     на   решение   текстовых   задач отводится достаточное количество часов, задачи на составление уравнений, зачастую     Задачи   казалось   бы несложные   уровень   основной   школы.   И   вроде   бы   особых     вопросов     это задание  части В  вызывать не должно . В то же время на экзаменах средний процент  правильных ответов49,6 %  Сложность выполнения  данного задания для современных школьников   нашла свое отражение   и в том ,что в новых вариантах  демоверсий  ЕГЭ по математике имеет номер В 14 и уже относится ко « второй части» варианта. А ведь большенство задач   В 13 решаются по вполне   четкому   алгоритму.   Задачи   на   выполнение   определенного   объема работы     по   своему   решению   очень   схожи   с  задачами   на   движение:   объем работы выполняет роль расстояния, а производительность выполняет   роль скорости. В тех случаях, когда объем   работы не задан его принимают за единицу. Большего разнообразия таких задач нет, во всех задачах идет речь  о выполнении определенного объема работы. При решении задач, связанных с выполнением объема  работы, используют  соотношение А= Р.Т, где А – объем проделанной   работы,   Р­   производительность   труда,   Т­   время   выполнения работы Цель нашей работы: рассмотреть решение текстовых задач по теме «Задачи на   совместную   работу,  разобрать   решение   этих   задач   Показать   связь   этих задач   с   жизнью и с другими дисциплинами, формирование умения строить математические   модели,   показать   прикладную   значимость   математики   в практической  деятельности, в подготовке к  ЕГЭ и ОГЭ. Баллы 3 2 0 3 Критерий оценки выполнения задания Ход решения верный, все шаги выполнены  правильно, получен  верный ответ Ход решения верный допущена вычислительная ошибка Другие случаи не соответствуют указанным критериям Максимальный балл ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ 1. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час  на 8 вопросов текста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали  отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани  на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?  2. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2  минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем  воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать  совместно, чтобы перекачать 25 литров воды? 3. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая.  Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько  минут наполняет этот резервуар одна вторая труба? 4. Две трубы наполняют бассейн за 1 час 55 минут, а одна первая  труба наполняет бассейн за 46 часов. За сколько часов наполняет  бассейн одна вторая труба?  5. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот  же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов  мальчики покрасят забор, работая втроем? 6. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша? 7. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а  третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса,  работая одновременно?  8. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6  часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе? 9. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может  выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них  приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй  рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе.  Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? 10. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый  рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую  второй — за три дня?  11. Заказ на 112 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа дольше,  чем второй. Сколько Деталей за час делает первый рабочий, если  известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем  первый? 12. Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену,  причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий –  7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа и  третий – 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько  часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе  одно и то же время? 13. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если из­ вестно, что первый за час делает на 1 деталь больше? 14. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров? 15. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба? 16. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 ми­ нуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать сов­ местно, чтобы перекачать 25 литров воды? 17. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня – на 9. Они одновременно начали отве­ чать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест? 18. Плиточник должен уложить 175 м2 плитки. Если он будет укла­ дывать на 10 м2 в день больше, чем должен, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день должен укла­ дывать плиточник? 19. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одно­ временно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала рабо­ ты в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады, в результа­ те чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребо­ валось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе? 20. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 15 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе? 21. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий? 22.   На   изготовление   99   деталей   первый   рабочий   тратит   на   2   часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? 23. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба? 24. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет  на 1 минуту быстрее, чем первая труба? 25. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе? 26. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 12 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе? 27. Старинная задача из математической рукописи XVII века:  “Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый: – Только бы мне одному двор ставить, то я бы поставил в 3 года. А другой молвил: – Я бы поставил его в шесть лет. Оба решили сообща ставить двор. Сколь долга они ставили двор?” 28. Два пешехода вышли одновременно из двух поселков навстречу друг  другу. Один пешеход может пройти весь путь за 3 часа, а другой – за    часа. Через сколько времени они встретятся? РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ. 1. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час  на 8 вопросов текста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали  отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани  на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?  Решение. Пусть х – число вопросов, тогда х 8 х 9 Время Пети =  Время Вани =  1 3  часа 20 минут =  Уравнение: х 8 ­  х 9  =  1 3 ,       9x­ 8x = 24,    х = 24.      Ответ. 24 2. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2  минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать  совместно, чтобы перекачать 25 литров воды? Решение. 1­ый насос: 5 литров за 2 минуты, производительность ­  2­ой насос: 5 литров за 3 минуты, производительность ­   Общая производительность  5 2  +  5 3  =  25 6 25 6 • t = 25,    t=6. 5 2  за 1 мин 5 3  за 1 мин 3. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая.  Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько  минут наполняет этот резервуар одна вторая труба? Решение.  2­я труба за х часов, тогда 1­ая за (х+6) часов Производительности 1/х и 1/(х+6). 1 х + 1 х+6 ) •4 = 1.    ( 4(х+6) +4х = х2 +6х  х2 – 2х – 24 = 0 х =6,  х = ­4 Ответ.6 4. Две трубы наполняют бассейн за 1 час 55 минут, а одна первая  труба наполняет бассейн за 46 часов. За сколько часов наполняет  бассейн одна вторая труба?  Решение. Примем работу за 1. 1ч55мин =  23 12 ч. – время работы двух труб. Х­ время второй трубы,   1 х – производительность. Производительность  первой ­  1 46 23 12  = 1 1 46 ¿•   12 1 46 =  23 1 12 23  ­  46 1 2 1 х  +   ( 1 х  +  1 х  =  1 х  =  х = 2.      Ответ.2. 5. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот  же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов  мальчики покрасят забор, работая втроем? Решение.  Работа = 1. Производительности. И+П=1/9=4/36 П+В=1/12=3/36 В+И=1/18=2/36 Сложим уравнения: 2(И+П+И)= (4+3+2)/36,  2(И+П+И)=9/36, 2(И+П+И)=1/4,  И+П+В=1/8 общая производительность. t =1: 1/8=8часов. Ответ.8. 6. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша? Решение.  х – время Даши. Работа = 1. Производительность  Д+М=1/12, М=1/20, 1 30 •t=1, за 30 минут.  Д=1/12­1/20=1/30,    Ответ.30. 7. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а  третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса,  работая одновременно?  Решение. 1 20 ,  2­ой­   1 20  +  1 30  +  1 30 ,   3­ий­  1 10 . 1 60  =  1 60   Производительность : 1­ый­  Общая производительность  1 10 t = 1, t = 10.   за 10 минут. Ответ. 10. 8. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6  часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе? Решение.  1 12 – производительность первого,  1 12  +  1 4 ,        1 6  =  1 4  •t = 1,    t = 4. 1 6  – второго. Ответ.4. 9. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может  выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них  приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй  рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе.  Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа? Решение. Рабочий выполняет 1/15 часть заказа в час, поэтому за 3 часа он выпол­ нит 1/5 часть заказа. После этого к нему присоединяется второй рабочий, и, работая вместе, два рабочих должны выполнить 4/5 заказа. Чтобы определить время совместной работы, разделим этот объём работы на совместную произ­ водительность:   Тем самым, на выполнение всего заказа потребуется 6 + 3 = 9 часов.  часов.   Ответ: 9. Приведем другое решение. Один рабочий работал 3 часа и должен был бы еще 12, но к нему присоеди­ нился второй рабочий, и они стали работать в два раза быстрее. Поэтому вдвоем они работали только 6 часов. Значит, полное время работы 9 часов. 10. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый  рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую  второй — за три дня?  Решение. х производительность первого, у – второго. По условию задачи составим  систему уравнений      {(х+у)•12=1, 2х=3у.           {(х+у)•12=1, 3 х. у=2 5 3 х •12 = 1, 20х = 1, х =  1 20 , t = 20. Ответ.20.  11. Заказ на 112 деталей первый рабочий выполняет на 2 часа дольше,  чем второй. Сколько Деталей за час делает первый рабочий, если  известно, что второй за час делает на одну деталь больше, чем  первый? Решение: Пусть производительность первого равна x (ее нам и нужно найти). Тогда  второго — (x+1). Если первый сделал заказ за время t, тогда второй – за время t−2. Работа  равна 112. I способ Составим таблицу: I рабочий II рабочий Для каждой строки можем написать формулу: Производительность P x x+1 Работа A 100 100 Время t t t−2 Почему мы выразили именно время? У нас здесь система уравнений. А что  происходит в системе, если выразить одну неизвестную через другую? Мы  таким образом можем от нее избавиться! Именно это я и собираюсь сделать:  время нам известно? Нет. Его нам нужно найти? Нет. Поэтому от  неизвестного t надо избавиться! Для этого теперь достаточно просто  приравнять полученные выражения для t: Из этих двух ответов, естественно, выбираем положительный: x=7. 12. Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену,  причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий –  7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа и  третий – 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько  часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе  одно и то же время? Решение. Решим эту задачу путём составления системы уравнений. Пусть х – скорость выполнения работы первого каменщика, y – второго, z –  третьего. Всю работу примем за 1. Составим систему уравнений по условию  задачи: 6x+4y+7z=1    (1) 4x+2y+5z=2/3 (2) Надо найти t=A/P, то есть 1/(x+y+z) Умножим (2) на ­2 и сложим почленно с (1). Получим: x=1/6­3z/2 Затем умножим (2) на ­1,5 и сложим почленно с (1). Получим: y=0,5z Следовательно, подставим в искомое выражение полученные значения для x,  y, z 1/(x+y+z)=1/(1/6­3z/2+z/2+z)=1/(1/6)=6. В итоге получим 6. Ответ: каменщики выполнят эту работу за 6 часов. 13. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если из­ вестно, что первый за час делает на 1 деталь больше? Решение. Обозначим   — число деталей, которые изготавливает за час второй рабо­ чий. Тогда первый рабочий за час изготавливает   деталь. На изготовление 110 деталей первый рабочий тратит на 1 час меньше, чем второй рабочий, от­ сюда имеем:     Ответ: 10. 14. Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 375 литров она заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров? Решение. Обозначим   — объем воды, пропускаемой второй трубой в минуту, тогда первая труба пропускает   литров воды в минуту. Известно, что резервуар объемом 375 литров вторая труба заполняет на 10 минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом 500 литров, отсюда имеем:   Ответ: 25. 15. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?   Решение. Пусть вторая труба наполняет резервуар за x минут, а первая — за x + 6  часть ре­ минут. В одну минуту они наполняют соответственно  зервуара. Поскольку за 4 минуты обе трубы заполняют весь резервуар, за одну минуту они наполняеют одну четвертую часть резервуара:    и .   Далее можно решать полученное уравнение. Но можно заметить, что при положительных x функция, находящаяся в левой части уравнения, убывает. Поэтому очевидное решение уравнения   — единственно. Поскольку вто­ рая труба заполняет   резервуара в минуту, она заполнит весь резервуар за 6 минут. Ответ: 6. 16. В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 ми­ нуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать сов­ местно, чтобы перекачать 25 литров воды? Решение. Скорость совместной работы насосов Для того, чтобы перекачать 25 литров воды, понадобится .     Ответ: 6.  мин   мин. 17. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня – на 9. Они одновременно начали отве­ чать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест? Решение. Обозначим N — число вопросов теста. Тогда время, необходимое Пете,  часа. Петя закончил  часа, а время, необходимое Ване, равно   часа после Вани. Поэтому: равно  отвечать на тест через    Ответ: 24. 18. Плиточник должен уложить 175 м2 плитки. Если он будет укла­ дывать на 10 м2 в день больше, чем должен, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день должен укла­ дывать плиточник? Решение. Пусть плиточник должен был укладывать   кв. м. плитки в течение   дней. Если он будет укладывать   дней, то выпол­ нит ту же работу. Поскольку всего нужно уложить 175 кв. м. плитки, имеем систему уравнений:    кв. м. плитки в течение  Таким образом, плиточник планировал в течение 7 дней укладывать по 25   кв. м. плитки в день.   Ответ: 25.   Приведём другое решение. Пусть плиточник должен укладывать   кв. м плитки в день и справиться с  кв. м. плитки в день, то работа работой за  будет выполнена за     дней. Если укладывать   дня. Имеем: Таким образом, плиточник должен укладывать по 25 кв. м плитки в день.   19. Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одно­ временно начали строить два одинаковых дома. В первой бригаде было 16 рабочих, а во второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала рабо­ ты в первую бригаду перешли 8 рабочих из второй бригады, в результа­ те чего оба дома были построены одновременно. Сколько дней потребо­ валось бригадам, чтобы закончить работу в новом составе? Решение. Пусть   производительность   каждого   из   рабочих   равна   дома   в  день,  и пусть в новом составе бригады достраивали дома   дней. Тогда за первые 7 дней работы бригадами в 16 и 25 человек было построено   ча­ стей домов, а за следующие   дней бригадами в 24 человека и 17 человек были построены   оставшиеся   части   домов.   Поскольку   в   результате были целиком построены два дома, имеем:  и   и Тем самым, в новом составе бригады работали 9 дней.     Ответ: 9. 20. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий — за 15 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе? Решение. Наименьшее общее кратное чисел 10, 15 и 18 равно 90. За 90 минут первый и второй, второй и третий, первый и третий насосы (каждый учтен дважды) за­ полнят 9 + 6 + 5 = 20 бассейнов. Следовательно, работая одновременно, пер­ вый, второй и третий насосы заполняют 10 бассейнов за 90 минут, а значит, 1 бассейн за 9 минут.   Ответ: 9.   Приведём другое решение. За одну минуту первый и второй насосы заполнят 1/10 бассейна, второй и третий — 1/15 бассейна, а первый и третий — 1/18 бассейна. Работая вместе, за одну минуту два первых, два вторых и два третьих насоса заполнят     бассейна.   Тем самым, они могли бы заполнить бассейн за 9/2 минуты или 4,5 минуты. Поскольку каждый из насосов был учтен два раза, в реальности первый, вто­ рой и третий насосы, работая вместе, могут заполнить бассейн за 9 минут. 21. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий? Решение. Обозначим   – число деталей, которые изготавливает за час первый рабо­ . На изго­ чий, тогда второй рабочий за час изготавливает   деталей, товление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей, отсюда имеем:   Таким образом, первый рабочий делает 25 деталей в час Ответ: 25. . 22.   На   изготовление   99   деталей   первый   рабочий   тратит   на   2   часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий? Решение. Обозначим   — число деталей, которые изготавливает за час второй рабо­ чий. Тогда первый рабочий за час изготавливает   деталь. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей, отсюда имеем:   Таким образом, второй рабочий делает 10 деталей в час. Ответ: 10. . 23. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба? Решение. Обозначим   — количество литров воды, пропускаемой первой трубой в минуту, тогда вторая труба пропускает  литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба, отсюда имеем: Таким образом, первая труба пропускает 10 литров воды в минуту. Ответ: 10. 24. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет  на 1 минуту быстрее, чем первая труба? Решение. Пусть   литров   —   объем   воды,   пропускаемой   первой   трубой   в   минуту, тогда вторая труба пропускает   литров воды в минуту. Резервуар объемом 110 литров первая труба заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба, от­ сюда имеем:   Значит, первая труба пропускает 10, а вторая — 11 литров воды в минуту. Ответ: 11. 25. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе? Решение. Наименьшее общее кратное чисел 9, 14 и 18 равно 126. За 126 минут пер­ вый и второй, второй и третий, первый и третий насосы (каждый учтен два­ жды) заполнят 14 + 9 + 7 = 30 бассейнов. Следовательно, работая одновремен­ но, первый, второй и третий насосы заполняют 15 бассейнов за 126 минут, а значит, 1 бассейн за 8,4 минуты.   Ответ: 8,4.   Приведём другое решение. За одну минуту первый и второй насосы заполнят 1/9 бассейна, второй и третий — 1/14 бассейна, а первый и третий — 1/18 бассейна. Работая вместе, за одну минуту два первых, два вторых и два третьих насоса заполнят бассейна.   Тем самым, они могли бы заполнить бассейн за 21/5 минуты или за 4,2 ми­ нуты. Поскольку каждый из насосов был учтен два раза, в реальности первый, второй и третий насосы, работая вместе, могут заполнить бассейн за 8,4 мину­ ты. 26. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 12 минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе? Решение. Наименьшее общее кратное чисел 9, 12 и 18 равно 36. За 36 минут первый и второй, второй и третий, первый и третий насосы (каждый учтен дважды) за­ полнят 4 + 3 + 2 = 9 бассейнов. Следовательно, работая одновременно, пер­ вый, второй и третий насосы заполняют 4,5 бассейна за 36 минут, а значит, 1 бассейн за 8 минут.   Ответ: 8.   Приведём другое решение. За одну минуту первый и второй насосы заполнят 1/9 бассейна, второй и третий — 1/12 бассейна, а первый и третий — 1/18 бассейна. Работая вместе, за одну минуту два первых, два вторых и два третьих насоса заполнят     бассейна.   Тем самым, они могли бы заполнить бассейн за 4 минуты. Поскольку каж­ дый из насосов был учтен два раза, в реальности первый, второй и третий на­ сосы, работая вместе, могут заполнить бассейн за 8 минут. 27. Старинная задача из математической рукописи XVII века:  “Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый: – Только бы мне одному двор ставить, то я бы поставил в 3 года. А другой молвил: – Я бы поставил его в шесть лет. Оба решили сообща ставить двор. Сколь долга они ставили двор?” Решение: часть всей работы выполнит первый плотник за 1 год;  часть всей работы выполнит второй плотник за 1 год;  +   =   часть всей работы выполнит первый и второй плотники за 1  1. 2. 3. год. 4. 1 :   = 2 (года) время выполнения всей работы сообща. Ответ: 2 года. 28. Два пешехода вышли одновременно из двух поселков навстречу друг  другу. Один пешеход может пройти весь путь за 3 часа, а другой – за    часа. Через сколько времени они встретятся? Решение задачи: это тоже задача на “совместную работу”, хотя никто не  работает. Но можно считать, что “работа” пешеходов – это прохождение  пути. Поэтому весь путь принимается за “единицу” и вычисляется часть пути,  пройденная каждым пешеходом. 1. 2. 3. 4. 1: 3 =   (расстояния) проходит 1 пешеход за 1 час; 1 :   (расстояния) проходит 2 пешеход за 1 час;  (расстояния) сближаются оба пешехода за 1 час;  (часа) пешеходы встретятся. Ответ: через   часа.