Решение задач на тему «Прямоугольник. Ромб. Квадрат». 8 класс геометрия

Тема: Прямоугольник. Ромб. Квадрат. Цели урока:  Закрепить теоретический материал по теме “Прямоугольник. Ромб. Квадрат”.    Совершенствовать навыки решения задач по теме.  Ход урока I. Организационный момент Сообщить тему урока, сформулировать цели урока. II. Актуализация знаний учащихся Теоретическая самостоятельная работа Заполнить таблицу, отметив знаки + (да), ­ (нет).   Параллелограмм Прямоугольник Ромб  Квадрат 1. Противолежащие стороны  параллельны и равны. 2. Все стороны равны. 3. Противолежащие углы равны, сумма  соседних углов равна 1800. 4. Все углы прямые. 5. Диагонали пересекаются и точкой  пересечения делятся пополам. 6. Диагонали равны. 7. Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Правильные ответы:                                                           1. 2. 3. 4. параллелограмм прямоугольник ромб квадрат + ­ + ­ + ­ + + + + + ­ + + + + 5. 6. 7. + ­ ­ + + ­ + ­ + + + + Проверочный тест Вариант 1. 1. Любой прямоугольник является:  а) ромбом; б) квадратом; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа. 2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырехугольник ­ … а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа. 3. Ромб – это четырехугольник, в котором … а) диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны;  б) диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам;  в) противолежащие углы равны, а противолежащие стороны параллельны;  г) нет правильного ответа. Вариант 2. 1. Любой ромб является:  а) квадратом; б) прямоугольником; в) параллелограммом; г) нет правильного ответа. 2. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм ­ … а) ромб; б) квадрат; в) прямоугольник; г) нет правильного ответа. 3. Прямоугольник – это четырехугольник, в котором … а) противолежащие стороны параллельны, а диагонали равны;  б) диагонали точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов; в) два угла прямые и две стороны равны;  г) нет правильного ответа. Ответы к тесту: 1 вариант: 1 – в); 2 – г); 3 – б). 2 вариант: 1 – в); 2 – а); 3 – а). Проверка домашнего задания III. Решение задач Решение задач на готовых чертежах (устно) 1) Рис.1. АВСD – ромб. Найти: МD + DN. 2) Рис.2. АВСD – ромб.  Найти:  СВЕ. Рис.1.  Ответы к задачам на готовых чертежах: Рис.2. 1) МD + DN = 6 см. 2)  СВЕ = 150. Решение задач у доски с краткой записью 1) Найдите углы ромба, если его диагонали составляют с его стороной углы, один из которых на  300 меньше другого. Решение: Рис.3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому треугольник АОВ – прямоугольный (рис.3).  Пусть в ?АОВ  ВАО = х + х + 300 = 900, и х  = 300.  ВАО = х + 300, значит  АВО = х, тогда  АВО +  АВО = 300,  ВАО = 600, а т.к. диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то  ВАD = 1200,  АВС = 600. Противолежащие углы в ромбе равны, тогда  АDС =  АВС = 600,  ВСD =  BAD = 1200. Ответ: 600, 1200, 600, 1200. Рис.3.  2) Угол между диагоналями прямоугольника равен 800 . Найдите углы между диагональю  прямоугольника и его сторонами.  Решение:  Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, значит ВО = ВD/2 =  АС/2 =АО и ?АОВ – равнобедренный (рис.4.), тогда  углы прямые, тогда  ОАВ = 900 – 500 = 400. ОВА = 500. В прямоугольнике все ОАВ =  ОАD =  ВАD ­ Ответ: 500, 400.  Рис.4. 3) В ромбе ABCD биссектриса угла ВAC пересекает сторону ВС и диагональ BD соответственно в  точках М и N. Найдите угол АNВ, если  АМС = 1200 .  Решение: В ромбе (рис.5.) противолежащие углы равны и диагонали являются биссектрисами его углов, т.е. ВАС =  ВАD : 2 = ВСD : 2 =  ВСА. Т.к. АМ – биссектриса  ВАС, а  ВАС =  ВСА,  то  МАС =  МСА : 2. В треугольнике АМС  МАС +  МСА = 1800 тогда  МАС = 200,  ВАС = 400.  ­  АМС = 1800 ­1200 = 600.  МАС =  МСА : 2,  Рис.5. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, треугольник АОВ – прямоугольный,  АВО = 900 ­ ВАО = 500. Рис.5. В треугольнике АВN  BAN =  МАС = 200,  ABN = 500, тогда ANB = 1800 – (200 + 500) = 1100. Ответ:  ANB = 1100.  IV. Самостоятельная работа обучающего характера с последующей самопроверкой 1) В ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О,  ВОС.  А = 310. Найдите углы треугольника  Решение:  Рис.6. а) Рис.6.  А =  С = 310; СО – биссектриса  С,  ОСВ = 15030';  б) Треугольник СОВ – прямоугольный,  ВОС = 900,  ОСВ = 15030',  ОВС = 74030'. Ответ: 900, 15030', 74030'.  2) В прямоугольнике АВСD О – точка пересечения диагоналей, ВН и DЕ – высоты треугольников  АВО и СОD соответственно,  ВОН = 600 , АН = 5 см. Найдите ОЕ.   Решение: а) Треугольник АВО – равнобедренный (рис.7.), ВО = ОА т.к. в прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, а т.к.  высота ВН – медиана треугольника АВО, тогда ОН = 5 см. ВОА = 600, то ?АВО – равносторонний, поэтому б) Треугольник ОВН = треугольнику ОDЕ ( по стороне и двум прилежащим углам ВО = ОD,  ВОН =  и секущей ВD).  ОDЕ – накрест лежащие при параллельных ВН и DЕ DОЕ – вертикальные,  ОВН =  Из равенства треугольников следует равенство сторон  Рис.7. ОН = ОЕ = 5 см. Ответ: ОЕ = 5 см.  3) В ромбе АВСD угол В тупой. На стороне АD взята точка К, ВК пересекаются в точке О, АС = 2ВК. Найдите угол АОВ.  АD. Прямые ВК и АС  Решение: а) Проведем АЕ  АD (рис.8), тогда КВ = АЕ, АС = 2АЕ,  АСЕ = 300.  Рис.8.  б)  СОВ = 600,  АОВ = 1200. Ответ: 1200. V. Подведение итогов урока Домашнее задание: Докажите, что биссектрисы всех четырех углов прямоугольника (не являющегося квадратом) при  пересечении образуют квадрат.