Роль прикладных математических задач в обучении старшеклассников. (10-11 класс, математика)

Одним из моментов в модернизации современного математического образования является усиление прикладной направленности школьного курса математики, то есть осуществление связи его содержания и методики обучения с практикой. Это ставит перед современной школой новые задачи совершенствования образования и подготовки школьников к практической деятельности. Н.А. Терешин дает следующее определение: “прикладная задача – это задача, поставленная   вне   математики   и   решаемая   математическими   средствами”.   Это определение, на мой взгляд, точно описывает суть понятия “прикладная задача”. К прикладной задаче следует предъявлять следующие требования:  содержание   прикладных   задач   должно   отражать   математические   и нематематические проблемы и их взаимная связь;  задачи   должны   соответствовать   программе   курса,   служить   достижению   цели обучения;  вводимые в задачу понятия, термины должны быть доступными для учащихся, содержание   и   требование   задач   должны   “сближаться”   с   реальной действительностью;  способы   и   методы   решения   задач   должны   быть   приближены   к   практическим приемам и методам;  прикладная часть задач не должна покрывать ее математическую сущность. Важно   отметить,   что   прикладная   задача   обязательно   имеет   научную (практическую)   значимость.   Причем   не   в   математике,   а   в   других   областях   знаний. Задачи прикладного характера встречаются в школьном курсе математики довольно редко.   Поэтому,   в   силу   некоторого   сходства,   к   прикладным   задачам   в   рамках школьного курса можно отнести практические и межпредметные задачи. Эти задачи обязательно нужны, так как:  1) методика их решения идентична методике решения прикладной задачи;  2) задачи практического  и межпредметного характера включены в задания ОГЭ и ЕГЭ. Поэтому все приемы и средства обучения, которые учитель использует в ходе урока,   должны   быть   сориентированы   на   реализацию   прикладной   направленности обучения во всех возможных проявлениях.  На уроках необходимо показывать связь изучаемого теоретического материала и задачного   материала,   так,   чтобы   школьники   понимали   его   значимость,   ближнюю   и дальнюю   перспективу   его   использования.   Например,   очертить   область,   в   которой данный материал имеет практическое применение. Известно, что интерес к обучению уменьшается у учащихся уже в среднем звене, чтобы добиться устойчивой мотивации к обучению в старших классах, необходимо сделать обучение желанным процессом. В связи с этим возрастает роль прикладных задач, так как такие задачи призваны, во­ первых, убедить школьников  в необходимости  и практической  полезности  изучения нового   материала;   во­вторых,   показать   учащимся,   что   математические   абстракции возникают из практики, из задач, поставленных реальной действительностью.  Для того чтобы раскрыть перед учащимися спектр применения  математических знаний, я   предлагаю несколько приемов по реализации прикладной направленности, которые используются мной на уроках в разной степени в зависимости  от возраста 1 ребят, темы урока, особенностей класса. Все приемы появлялись постепенно, часть из них мною взяты из опыта других учителей; часть из книг, методических пособий, часть – придумывала сама. Все это прошло проверку временем. 1. Одной из основных и первоначальных задач при обучении математике является выработка у ребят хорошего счета. Однако, однообразие заданий в виде примеров на вычисление притупляет интерес как к счету, так и уроку вообще. Поэтому я использую разнообразные формы устных заданий: традиционные (вычислить, сравнить, упростить и т.д.) и нетрадиционные: математическая лестница, задача – загадка, задача в стихах, работа по блок­схеме, вычисление цепочкой, задачи экономического, экологического содержания,   задачи   со   сказочными   героями,   задачи   логического   характера.   Опыт показал, что не следует умалять роль устных упражнений в старших классах. Они, кажущиеся   легкими,   действуют   на   учащихся   мобилизующе,   увлекают   и   слабых школьников.  2. Опыт показывает, что использование так называемых “числовых”, “цифровых”, “буквенных”   диктантов   позволяет   активизировать   познавательную   деятельность учащихся,   дает   возможность   научить   школьников   составлять   нетрадиционные, творческие задания. Такой подход к обучению позволяет узнать интересы ребенка и наметить пути их развития. 3.   Внедряю   в   школьную   практику   прием   фронтальной   работы   –   разминки. Разминки могут включать вопросы не только на проверку домашнего задания, но и на актуализацию опорных понятий, пройденных ранее и которые необходимо восстановить в   памяти   ребенка.  Интересно   заметить,   что   в   этом   случае   работают   даже   те   дети, которые пассивны. 4. Составление задач по моделям, например, типа:  у = 5х; у = 2х – 3. Огромное   значение   имеет   отбор   прикладных   задач.   При   подборе   задач необходимо, чтобы задачи позволяли использовать разнообразные методы для поиска ответа на практически значимые вопросы. Чаще всего для решения прикладных задач используется алгебраический и аналитический методы. В качестве прикладной задачи в которой   можно   продемонстрировать   использование   доказательства   от   противного можно предложить, например такую задачу « Даны 18 плиток размером 12. Можно ли из них выложить участок стены квадратной формы так, чтобы при этом не было ни одного прямого шва, соединяющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток.   (учащиеся предполагают  что, им удалось выложить  квадрат 66   и выстраивая   цепочку   истинных   предположений   приходят   к   ложному   утверждению. Учащиеся используют метод доказательства по нисходящей). А в такой задаче, можно продемонстрировать метод доказательства от противного «В одной стране имеется 100 аэродромов. Все попарные расстояния между ними различны. С каждого аэродрома поднимается по самолету, и каждый самолет летит на ближайший аэродром. Доказать, что на любой аэродром прилетит не более пяти самолетов.» (учащиеся предполагают что, на некоторый аэродром, расположенный в точке О прилетает более 5 самолетов и выстраивая   цепочку   верных   рассуждений   приходят   к   противоречию   с  допущенным, значит допущение неверно и утверждение задачи доказано.).  При   отборе   задач   я     так   же   стараюсь   учитывать   круг   предметных   интересов учащихся, с учетом их потенциальной будущей профессии.  2 Для реализации прикладной направленности обучение математике большое значение имеет так же использование различных форм организации учебного процесса. В своей работе я использую следующие формы учебных занятий:  уроки разных типов (изучение нового материала, первичное закрепление;  комплексное применение знаний, умений и навыков; обобщение и систематизация изученного материала и т.д.);  лекции;  практические занятия (семинары, консультации, зачеты);  нетрадиционные формы уроков: урок­сказка, урок­путешествие, урок деловая  игра и другие). Однако   применение   этих   приемов   не   позволяет   в   полной   мере   реализовать прикладную направленность в обучении математики. Связано это с тем, что процесс решения прикладной задачи, состоит из трех этапов: 1) формализации, т. е. построения математической модели задачи; 2) решения задачи внутри модели, 3) интерпретации полученного   решения,   т.   е.   перевода   полученного   результата   (математического решения) на язык, на котором была сформулирована исходная задача. Важно отметить, что традиционно, в обучении второму этапу уделяется время намного большее, чем остальным, хотя они не менее важны. Складывается ситуация, при которой, учащиеся приобретают некоторые навыки в решении довольно сложных математических задач, но оказываются бессильными перед простой задачей, возникающей вне математики, так как не умеют ее переводить в математическую. Трудность   этапа   построения   математической   модели   состоит   в   том,   что   он требует соединения математических и специальных знаний.    Создается странная ситуация: физики знакомят учащихся с ядерными реакциями, математики   –   с   дифференциальным   и   интегральным   исчислением   и   т.д,   а   о практическом применении этих знаний учащиеся не имеют представления. Возникшее противоречие   я   пытаюсь   разрешить   с   помощью   решения   задач   межпредметного содержания. Для нашего времени характерна интеграция наук, стремление получить как можно более точное представление об общей картине мира. Но решить эту задачу в рамках   одного   учебного   предмета   невозможно.  Привлечение   медпредметных   связей повышает   научность   обучения,   доступность   (теория   насыщается   практическим содержанием), естественным образом проникают на урок элементы занимательности. Однако появляется и немало трудностей: учителю требуется освоить другие предметы. Например,   при изучении темы в 9 классе “Геометрическая прогрессия” можно выстроить   урок   “Геометрическая   прогрессия   и   ее   приложения   в   экономике”   и рассмотреть вопрос: “Каковы условия предоставления банками кредита частным лицам и фирмам?”. Учащиеся видят, что такие, на первый взгляд, бесполезные вопросы, как сумма   членов   геометрической   прогрессии,   бесконечно   убывающая   прогрессия   и   ее сумма,   имеют   глубокий   экономический   смысл.   Прикладной   характер   математики можно показать, рассказывая о задачах планирования народного хозяйства. Например, известно,   что   прирост   объема   древесины   в   лесном   массиве   происходит   по   законам геометрической   прогрессии.   Ребята   с   интересом   узнают,   что   составление   прогноза погоды   –   сложная   математическая   задача.   Для   обработки   данных   в   метеоцентрах ежедневно выполняются почти 300 млн. вычислений.  3 Интегрированные   уроки   математики   с   другими   предметами   обладают   ярко выраженной   прикладной   направленностью   и   вызывают   несомненный   познавательный интерес учащихся. Опыт показывает, что при проведении таких уроков, как, например: “Действия с натуральными числами и системы счета” – 5 класс (математика и история); “Делители   и   кратные.   Признаки   делимости”   –   6   класс   (математика   и   экономика); “Симметрия   относительно   прямой   и   “Класс   насекомых”   –   8   класс   (математика   и биология); “Логарифмы. Логарифмическая функция и ее приложения” – 11 класс и другие,   развивается   познавательная   и   исследовательская   деятельность   учащихся. Например,  на     уроке    «Преобразование   графиков   элементарных   функций»   по   теме «Геометрические   преобразования   графиков,   практическое   применение»,   мы   с учащимися   рассматривали   применение   графиков   в   экономике   и   использовали   для построения   графиков   и   их   преобразования   виртуальную   лабораторию  Учебного Электронного Издания «Математика 5­11» Дрофа. Обращение   к   историческим   событиям   создают   эмоциональный   подъем   в   классе. Даже неинтересная тема способна увлечь школьников, если учитель сумеет связать с ней такие факты, которые вызовут светлые чувства у слушателей. Например, на одном из   уроков   в   11   классе   по   теме:   “Площади   поверхностей   тел”   можно   использовать следующий  факт.  Чтобы  получить  формулу   для  определения  площади  поверхности сферического   сегмента,   можно   начать   урок   с   сообщения:   “12   апреля   1961   года   в Советском Союзе выведен на орбиту вокруг Земли первый в мире космический корабль – спутник “Восток” с человеком на борту. Пилотом – космонавтом является гражданин СССР,   летчик,   майор   Гагарин   Юрий   Алексеевич”.   Учащиеся   удивлены:   какое отношение   имеет   подвиг   Ю.А.  Гагарина   к   уроку   геометрии   и,  в   частности,  к   теме “Поверхность шара и его частей”? их мысли можно прервать вопросом: “Какую часть поверхности   Земли   видел   Ю.А.   Гагарин,   пребывая   в   апогее?”   вопрос   вызывает   у учащихся интерес, но математических знаний пока недостаточно. Затем можно заняться выводом   формулы,   по   которой   можно   рассчитать   площадь   поверхности   шарового сегмента. Задачу можно обогатить, предложив учащимся, найти площадь поверхности Земли, которую видел Ю.А. Гагарин в течение всего своего полета. Решая задачи о полете   Ю.А.   Гагарина,   выводя   нужные   формулы   ради   них,   ребята   погружаются   в процесс интересного исследования. Среди множества прикладных задач особое место занимают задачи по определению оптимальной формы различных предметов. Эти задачи очень наглядно демонстрируют применение математики в практических целях. Очень много таких интересных задач в книге “Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики” И.М. Шапиро.  Изучая тему алгебры и начала анализа «Решение задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции», привожу рассказ Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли   надо».   О   том,   как   крестьянин   Пахом,   мечтавший   о   собственной   земле, собравший,   наконец,   желанную   сумму,   предстал   перед   хозяином   богатого   участка: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя и будет за 1 000 рублей. Но, если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги. Выбежал утром Пахом в поле, прибежал на место с последним лучом солнца и упал без чувств, обежал   четырехугольник,   сумма   длин   которого   составила   40   км.   Наибольшую   ли 4 при         получил данном периметре площадь Пахом?» На   первом   этапе   учащиеся   находят   площадь   данного   четырехугольника   (на   доске изображаем   трапецию,   периметр   которой   равен   40).   Предлагаю     исследовать четырехугольники,   периметр   которых   40,   и,   вычислив   их   площадь,   найти максимальную.   Учащиеся,   проанализировав   различные   варианты,   делают   вывод: максимальную площадь имеет квадрат. Так, Пахом мог пройти всего 36 км (то есть обойти квадрат со стороной 9), получив площадь 81 км2 (S = 9 * 9). На втором этапе работы   подвожу   учащихся   к   новой   теме:   «Как   решить   данную   задачу   с   помощью производной   функции?».   Ученики   составляют   функцию   по   данному   условию, исследовав   ее   на   экстремум,   убеждаются,   что   максимальная   площадь   при   данном периметре будет у квадрата со стороной 10. Таким образом, решая данную учебную задачу через проблемную ситуацию, учащиеся самостоятельно, творчески овладевают новыми знаниями. Работа   учителя   и   ученика   в   этом   случае   доставляет   радость,   является продуктивной.   На   своих   уроках   я   стараюсь   организовать   учебный   процесс   в соответствии   с   естественной   потребностью   личности   свободно   мыслить,   творить, самоутверждаться. “Образование не дает ростков в душе, если оно не проникает до значительной глубины”, – говорил древнегреческий философ Протагор. Заключение Итак, повышение мотивации старшеклассников возможно за счет отбора и  составления задач межпредметного характера, отражающих связи математики с теми  учебными предметами, которые представляют сферу интересов старшеклассников, в  данной связи возрастает роль прикладных  задач, как средства решения данной  проблемы. В повседневной работе стараюсь обнаруживать и укреплять связь тех трудовых и умственных   умений   и   навыков,   которые   вырабатываются   в   процессе   занятий математикой, с навыками, необходимыми в различных профессиях. Хорошим резервом служит проведение внеклассной работы по предмету. Традиционно проводится декада математики,  в  течение   которой   на   занятиях   приобретаются   практические   умения   и навыки, развивается фантазия. Работать   над   реализацией   прикладной   направленности   обучения   надо   очень серьезно,   ведь   она   дает   широкие   возможности   для   реализации   общедидактических принципов   в   обучении   математике   в   школе.   Практика   показывает,   что   прикладные задачи   могут   быть   использованы   с   разной   дидактической   целью,   они   могут заинтересовать   или   мотивировать,   развивать   умственную   деятельность,   объяснять соотношение между математикой и другими дисциплинами. 5