Самостоятельная работа по теме:
«Теория сравнений по модулю»
Задание 1. Решите сравнения: а) 7х ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 11)
б) 5𝑥 ≡ 3 (𝑚𝑜𝑑 17)
в) 12𝑥 ≡ 7 (𝑚𝑜𝑑 13).
Задание 2. Найти остаток от деления числа 11210 на 5.
Задание 3. Докажите, что 3099+61100 делится на 31.
Ответы
а) 𝑥 ≡ 8 (𝑚𝑜𝑑11) б) 𝑥 ≡ 4 (𝑚𝑜𝑑17) в) 𝑥 ≡ 6 (𝑚𝑜𝑑13)
Задание 2. Нам надо указать число от 0 до 4, которое сравнимо с 11210 по модулю
5. Известно, что 112 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 5), (112 = 5 · 22 + 2). Мы можем возводить в одну и ту же степень левую и правую части:
11210≡210(𝑚𝑜𝑑 5), где 210= (25)2 = 322
Знаем, 32 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 5), (32 = 5 · 6 + 2)
Возведем в квадрат обе части:
322≡22(𝑚𝑜𝑑 5)
По свойству транзитивности:
11210 ≡ 4(𝑚𝑜𝑑 5)
Ответ: 4.
Задание 3. 3099≡ (−1)99 ≡ – 1 (𝑚𝑜𝑑 31) 61100≡ (−1)100 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 31).
Задание 1.
а) 𝑥 ≡ 11 (𝑚𝑜𝑑12) б) 𝑥 ≡ 7 (𝑚𝑜𝑑10) в) 𝑥 ≡ 10 (𝑚𝑜𝑑17)
Задание 2. 101 – простое число. Числа 5 и 101 взаимно простые, а поэтому 5100 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑101). Возведем это сравнение почленно в четвертую степень. Получим: 5400 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑101)
Кроме того, 53 ≡ 24(mod101). Перемножим эти сравнения:
5403 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑101)
Из последнего сравнения получается, что искомым остатком будет число 24.
Задание 3. 4323 + 2343 : (2 · 3 · 11)
1. 4323 + 2343 ≡ 123 + 143 ≡ 2 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 2)
2. 4323 + 2343 ≡ 123 + 143 ≡ 123 + (−1)43 ≡ 1 − 1 = 0 (𝑚𝑜𝑑 3)
3. 4323 + 2343 ≡ (−1)23 + 143 ≡ −1 + 1 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 11)
© ООО «Знанио»
С вами с 2009 года.