Сборник математических задач

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  «ПРОКОПЬЕВСКИЙ ЭЛЕКТРОМАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ» математика Страница 1 Данное пособие направлено на овладение студентом общим подходом к поиску  способа решения разного вида задач как одним из общеучебных умений. Результаты освоения программы практикума Каждый имеет возможность 1) относительно текстовых задач научиться: ­ «видеть» задачные ситуации в окружающей жизни и формулировать вопросы к ним; ­ представлять задачные ситуации в виде устного текста, рисунка, модели, схемы,  математической записи; ­ осуществлять переход от одной формы представления к другой; ­ отличать текст задачи от других видов текстов; ­ выявлять структуру задачи; ­ по условию подбирать, составлять вопросы; ­ составлять задачи по определённой теме; ­ представлять жизненную ситуацию, описанную в задаче; ­ разбивать текст задачи на смысловые части и анализировать каждую часть; ­ переформулировать текст задачи; ­ составлять план решения задачи; ­ фиксировать решение задачи; ­ проверять правильность решения задачи; ­ составлять задания по решённой задаче. 2) Относительно коммуникативных задач научиться: ­ вести диалог; ­ самостоятельно составлять рассказ на заданную тему по картинке; ­ по схеме обосновать логику своего изложения; ­ формулировать вопрос на понимание, уточнение; ­ высказывать собственное суждение, мнение; ­ слушать и понимать другого; ­ организовывать работу малых групп и быть их участником. 3) Относительно информационных задач научиться: ­ ориентироваться в книге; ­ искать информацию в словарях, энциклопедиях, справочниках; ­ пользоваться изученной математической терминологией; ­ отделять известное от неизвестного, главное от второстепенного; ­ формулировать познавательные вопросы и задания; ­формулировать собственные выводы. математика Страница 2 г. Прокопьевск 2017 год СОДЕРЖАНИЕ Введение.................................................................................................................5­7 Раздел1. Практическая геометрия...................................................................8­11 Задачи с практическим содержанием: Параллельность......................................................................................................12 Четырехугольники.................................................................................................13 Вписанные и описанные многоугольники..........................................................14 Движение................................................................................................................15 Подобие...................................................................................................................16 Тригонометрические функции острого угла.......................................................17­18 Площадь многоугольников...................................................................................19­20 Площадь круга и его частей..................................................................................21 Координаты и векторы..........................................................................................22 Тригонометрия.......................................................................................................23­24 Элементы стереометрии........................................................................................25­32 Раздел 2. Математическая логика.....................................................................33­35 Метод логических квадратов................................................................................36­38 Логическая арифметика.........................................................................................39­40 Задачи для самостоятельного решения на логику...............................................41 Раздел 3. Решение нестандартных текстовых задач. "Исключение  невозможных значений, подбор ответа, рекомендация по решению  нестандартных задач, задачи из "числа".........................................................42­44 Арифметический метод..........................................................................................45­47 математика Страница 3 Алгебраический метод............................................................................................48 Комбинированный метод.....................................................................................49­50 Примеры решения задач.......................................................................................51­53 Раздел 4. Задачи на оптимизацию....................................................................54­56 Памятка по решению задач на оптимизацию......................................................57 Примеры решения задач на оптимизацию..........................................................58­66 Задачи для самостоятельного решения................................................................67 Тестовые задания....................................................................................................68 Раздел 5. Комбинаторика.....................................................................................69­71 Формула включений и исключений.......................................................................72 Определение факториала.........................................................................................73 Задачи по теме: Размещение, перестановки, сочетания.......................................74­75 Подбор и решение задач на основные формулы комбинаторики и Бином  Ньютона.....................................................................................................................76­77 Задачи для самостоятельного решения...................................................................78­82 Раздел 6. Элементы теории вероятностей и математической статистики...83­85 Как решать задачи на вероятность..........................................................................86­88 Задачи для самостоятельного решения...................................................................89­97 Заключение.................................................................................................................98­99 Список литературы....................................................................................................100 математика Страница 4 Введение        В обучении математике задачам всегда отводилась достаточно большая, если не решающая, роль. Сейчас всё большее распространение получает прогрессивный метод обучения   через   задачи   как   реализация   системы   проблемного   обучения.   Задачи становятся   не   только   и   не   столько   целью,   сколько   средством   обучения. Исторически сложилось, что на ранних этапах развития математики решение задач было целью обучения. Ученик должен был заучить образцы и затем подводить под эти образцы   решения   задач.   В   основном   решались   типовые,   стандартные   задачи, принадлежащие классам алгоритмически разрешимых задач, т.е. таких, для которых существует общий метод (алгоритм) решения. Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и   нестандартным   задачам,   алгоритм   решения   которых   либо   неизвестен,   либо   не существует.            В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит   к   необходимости   учить   детей   решению   не   только   стандартных,   но   и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно   по   отношению   к   нестандартной   задаче   возникает   необходимость   в вариативном   поиске   решения.  "Задача   предполагает   необходимость   сознательного поиска   соответствующего   средства   для   достижения   ясно   видимой,   но непосредственно   не   доступной   цели.   Решение   задач   означает   нахождение   этого средства".  Роль задач в обучении математике невозможно переоценить. Через задачу естественно ввести проблемную ситуацию. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с существенными элементами новых алгоритмов, овладевает новыми техническими элементами. Применять математические знания в жизненных ситуациях   учат   соответствующие   практические   задачи.   Итак,   как   видно   из приведённого выше обзора мнений различных специалистов в области образования и обучения математике, задача является основным звеном внутри процесса обучения, а тем более такого, как проблемное и развивающее.          Цели обучения математике определяется ее ролью в развитии общества в целом и   формировании   личности   каждого   человека.   Для   жизни   в   современном   обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в   определенных   умственных   навыках.   Наряду   с   решением   основной   задачи (обеспечение   прочного   и   сознательного   овладения   учащимся   системой математических  знаний   и умений, необходимых  в  повседневной  жизни  и  трудовой деятельности,   достаточных   для   изучения   смежных   дисциплин   и   продолжения образования)   факультативный   курс   предусматривает   формирование   у   учащихся устойчивого   интереса   к   предмету,   выявление   и   развитие   их   математических математика Страница 5 способностей,   ориентацию   на   профессии,   существенным   образом   связанные   с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе.         Изменения,   вносимые   Федеральным   компонентом   государственного   стандарта общего образования в требования к математической подготовке учащихся, должны найти отражение в технологии и содержании контроля математической подготовки. Проверка   усвоения   содержания   курса   математики   предполагает   включение   в содержание контрольных работ заданий из всех 4 категорий познавательной области: – знание/понимание:  владение   термином;   владение   различными   эквивалентными представлениями (например, числа); распознавание (на основе определений, известных свойств, сформированных представлений); использование различных математических языков   (символического,   графического,   вербального),   переход   от   одного   языка   к другому; интерпретация; – алгоритм:  использование   формулы   как   алгоритма   вычислений;   применение основных   правил   действий   с   числами,   алгебраическими   выражениями;   решение основных типов уравнений, неравенств, систем; – решение   задачи:  задания   с   математическим   контекстом,   при   решении   которых требуется применение (актуализация) системы знаний, преобразование связей между известными фактами, включение известных понятий, приемов и способов решения в новые   связи   и   отношения;   распознавание   стандартной   задачи   в   измененной формулировке; – практическое   применение:  задание,   соответствующее   одной   из   первых   трех категорий данного списка, формулировка которых содержит практический контекст, знакомый учащимся или близкий их жизненному опыту. В результате учащиеся должны уметь: быстро   и   свободно   выполнять   действия   с   числовыми   и   алгебраическими  выражениями; хорошо   владеть   техникой   тождественных   преобразований   целых   и   дробных  рациональных выражений и выражений , содержащих степень и корень n­ой степени; усвоить основные приемы решения уравнений, неравенств, систем уравнений и  неравенств;  решать текстовые задачи методом уравнений; математика Страница 6 решать   иррациональные,   тригонометрические   уравнения   и   неравенства,  доказывать неравенства, уравнения и неравенства с модулем;   решать нестандартные уравнения и неравенства; уметь решать уравнения, содержащие параметр; строить графики элементарных функций и проводить преобразования графиков,  использовать изученные методы;  применять метод математической индукции и бином Ньютона; изображать на рисунках и чертежах пространственные геометрические фигуры и  их комбинации; усвоить определенный набор приемов решения геометрических задач и уметь их  применять в задачах на вычисление, доказательство и построение; применять   основные   методы   геометрии   (проектирование,   преобразований, расширение представления об уравнениях, неравенствах, системах и методах их  векторный, координатный) к решению задач.  решения;  культуры мышления, рассматриваемой в рамках общей культуры;  овладение   общими   приемами   организации   действий: осуществление плана, анализ и представление результатов действий;  деятельности, формирование устойчивого и осознанного интереса к ней. развитие внутренней мотивации и фактора поисковой активности в предметной развитие   логической   культуры,   составляющей   существенный   компонент   планирование, Способствует развитию у учащихся следующих компетенций: Предметные: умение проводить логически грамотные преобразования выражений и эквивалентные преобразования   алгебраических   задач     систем, совокупностей); умение   использовать   основные   методы   при   решении   алгебраических   задач   с различными классами функций; умение   понимать   и   правильно   интерпретировать   алгебраические   задачи,   умение применять изученные методы исследования и решения алгебраических задач.   неравенств, (уравнений, Общеинтеллектуальные: умение анализировать различные задачи и ситуации, выделять главное; умение логически обосновывать свои суждения; математика Страница 7 умение конструктивно подходить к предлагаемым задачам; умение планировать свою деятельность, проверять и оценивать её результаты. Общекультурные: восприятие   математики   как   развивающейся   фундаментальной   науки,   являющейся неотъемлемой   составляющей   науки,   цивилизации,   общечеловеческой   культуры   во взаимосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.  РАЗДЕЛ 1.  Практическая геометрия математика Страница 8 Геометрия ­   один   из   важнейших   компонентов   математического   образования,   она необходима   для   приобретения   конкретных   знаний   о   пространстве   и   практически значимых   умений,   формирования   языка   описания   объектов   окружающего   мира, математика Страница 9 развития   пространственного   воображения   и  интуиции,  математической   культуры   и эстетического   воспитания   учащихся.  Изучение   геометрии   вносит   вклад   в  развитие логического мышления и формирование понятия доказательства. Ценностные ориентиры содержания геометрии Математическое образование играет   важную   роль,  как   в  практической,  так   и   в духовной   жизни   общества.   Практическая   сторона   математического   образования связана с формированием способов деятельности, духовная — с интеллектуальным развитием человека, формированием характера и общей культуры. Практическая полезность геометрии обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные   структуры   реального   мира:   пространственные   формы   и количественные   отношения   —   от   простейших,   усваиваемых   в   непосредственном опыте,   до   достаточно   сложных,   необходимых   для   развития   научных   и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов   устройства   и   использования   современной   техники,   восприятие   и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, находить в справочниках нужные формулы и применять их, владеть практическими приемами геометрических измерений   и   построений,   читать   информацию,   представленную   в   виду   таблиц, диаграмм,   графиков,   понимать   вероятностный   характер   случайных   событий, составлять несложные алгоритмы и др. Без   базовой   математической   подготовки   невозможно   стать   образованным современным   человеком.   Математика   служит   опорным   предметом   для   изучения смежных дисциплин. В после школьной жизни реальной необходимостью в наши дни является   непрерывное   образование,   что   требует   полноценной   базовой общеобразовательной   подготовки,   в   том   числе   и   математической.   И   наконец,   все больше   специальностей,   где   необходим   высокий   уровень   образования,   связано   с непосредственным   применением   математики  (экономика,  бизнес,  финансы,  физика, химия,   техника,   информатика,   биология,   психология   и   др.).   Таким   образом, расширяется   кругстудентов,   для   которых   математика   становится   значимым предметом. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ   и   синтез,   классификация   и   систематизация,   абстрагирование   и   аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм   логических   построений,   вырабатывают   умения   формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. математика Страница 10 Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления и воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе   решения   задач   —   основной   учебной   деятельности   на   уроках   математики   — развиваются творческая и прикладная стороны мышления. Обучение математике дает возможность развивать у студентов точную, экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства. Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека.   Необходимым   компонентом   общей   культуры   в   современном   толковании является общее знакомство с методами познания действительности, представление о предмете и методе математики, его отличия от методов естественных и гуманитарных наук, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач. Изучение геометрии способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты   и   изящества   математических   рассуждений,   восприятию   геометрических форм, усвоению идеи симметрии. В результате изучения геометрии студент должен: знать/понимать  значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике;   широту   и   ограниченность   применения   математических   методов   к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;  возможности геометрического языка как средства описания свойств реальных предметов и их взаимного расположения;  универсальный   характер   законов   логики   математических   рассуждений,   их применимость в различных областях человеческой деятельности;  различие   требований,   предъявляемых   к   доказательствам   в   математике, естественных, социально­экономических и гуманитарных науках, на практике;  роль   аксиоматики   в   математике;   возможность   построения   математических теорий на аксиоматической основе; значение аксиоматики для других областей знания и для практики; Уметь: математика Страница 11  соотносить   плоские   геометрические   фигуры   и   трехмерные   объекты   с   их описаниями, чертежами, изображениями; различать и анализировать  взаимное расположение фигур;  изображать   геометрические   фигуры   и   тела,   выполнять   чертеж   по   условию задачи;  решать   геометрические   задачи,   опираясь   на   изученные   свойства планиметрических   и   стереометрических   фигур   и   отношений   между   ними, применяя алгебраический и тригонометрический аппарат;  проводить доказательные рассуждения при решении задач, доказывать основные теоремы курса;  вычислять   линейные   элементы   и   углы   в   пространственных   конфигурациях, объемы   и   площади   поверхностей   пространственных   тел   и   их   простейших комбинаций;  применять   координатно­векторный   метод   для   вычисления   отношений, расстояний и углов;  строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения. Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для  исследования   (моделирования)   несложных   практических   ситуаций   на   основе изученных формул и свойств фигур;  вычисления   длин,   площадей   и   объемов   реальных   объектов   при   решении   используя   при   необходимости   справочники   и практических   задач, вычислительные устройства. Общеучебные умения, навыки и способы деятельности В   ходе   изучения   математики   студенты   продолжают   овладение   разнообразными способами деятельности, приобретают и совершенствуют опыт:  проведения   доказательных   рассуждений,   логического   обоснования   выводов, использования различных языков математики для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства; математика Страница 12  решения   широкого   класса   задач   из   различных   разделов   курса,   поисковой   и творческой   деятельности   при   решении   задач   повышенной   сложности   и нетиповых задач;  планирования и осуществления алгоритмической деятельности: выполнения и самостоятельного составления алгоритмических предписаний и инструкций на математическом материале;  использования и самостоятельного составления формул на основе обобщения частных случаев и результатов эксперимента;  выполнения расчетов практического характера;  построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин и реальной жизни;  проверки и оценки результатов своей работы, соотнесения их с поставленной задачей, с личным жизненным опытом;  самостоятельной   работы   с   источниками   информации,   анализа,   обобщения   и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт.   ЗАДАЧИ С ПРАКТИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ Параллельность          1.   Постройте   параллельные   прямые   с   помощью   линейки   и:   а)   чертежного угольника; б) циркуля.          2. Через данную точку (не принадлежащую данной прямой)  проведите с помощью транспортира и линейки прямую, параллельную данной прямой.          3. Начертите две прямые, параллельные верхнему краю тетради.          4.   На   плане   города   улицы   обозначенные   как AB и CD,   параллельны   (рис.   35). Улица EF составляет с улицами AB и AC углы соответственно =43 и=65. Найдите углы, которые образуют между собой улицы AC и AB, AC и CD. математика Страница 13 5. Как практически проверить, параллельны ли две прямые: а) изображенные в тетради; б) провешенные на местности?          6. С помощью одной линейки постройте сумму углов A и B треугольника ABC.          7.   На   рисунке   36   изображен   прибор,   который   называется эклиметр.   Он используется для измерения углов в вертикальной плоскости при проведении работ на местности. Объясните, что измеряется с помощью него и как он устроен.          8. На рисунке 37 показано, как с помощью чертежного угольника построены две перпендикулярные прямые AB и BC. Объясните это построение.          9. Найдите угол, образованный линиями насечек у напильника, изображенного на рисунке 38.          10.   По   одну   сторону   от   шоссе   расположены   два   дачных   участка.   Нужно проложить дорогу, параллельную шоссе, таким образом, чтобы сумма расстояний от участков до нее была наименьшей. Четырехугольники          11. На рисунке 39 изображено устройство, которое называется «параллельные линейки» и используется для построения параллельных прямых. Объясните, как им пользуются.          12. Объясните по рисунку 40, как находится расстояние между недоступными объектами X и Y, которые находятся, например, на противоположном от наблюдателя берегу реки, MN ­ искомое расстояние.          13. В старинных паровозах на колесах закреплялся специальный стержень (на рисунке 41 ST), равный расстоянию между центрами соответствующих окружностей, который   передавал   движение   от   первого   колеса   ко   второму,   равному   ему   колесу. математика Страница 14 Объясните,   как   должен   быть   расположен   стержень   относительно   линии   центров (прямая, соединяющая центры двух окружностей).          14. В прямоугольной пластине нужно просверлить круглое отверстие на равном расстоянии от вершин. Как найти центр отверстия?          15. Мастеру заказали изготовить ставни, чтобы закрыть прямоугольные окна на даче. Какие размеры он должен снять с каждого окна?          16. Как, имея двустороннюю линейку, построить ромб?          17.  Как,  имея  двустороннюю   линейку, данный  угол:   а)  разделить   пополам;  б) удвоить?          18.   Как   проверить,   что   салфетка   имеет   форму   квадрата?   Достаточно   ли перегнуть ее по: а) одной диагонали; б) двум диагоналям?          19. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба.   Крайние   находятся   от   дороги   на   расстояниях   18   м   и   48   м.   Сделайте соответствующий   рисунок   и   найдите   расстояние,   на   котором   находится   от   дороги средний столб.          20.   Участок   между   двумя   параллельными   улицами   имеет   вид четырехугольника ABCD (AD||BC) AB=28   см, BC=35   см, AD=42   см,  B=112. Выберите   масштаб   и   нарисуйте   план   участка.   Найдите   приблизительно   периметр участка и количество досок шириной 10 см, которые нужно заготовить, чтобы обнести его плотным забором. Вписанные и описанные многоугольники          21. В металлической пластине просверлены три круглых отверстия, их центры не принадлежат одной прямой. Где нужно просверлить четвертое отверстие, чтобы его центр находился на равном расстоянии от центров трех данных отверстий?          22. В треугольной пластине нужно просверлить круглое отверстие, чтобы оно находилось на равных расстояниях от ее сторон. Где должен быть центр отверстия?          23.   В   каком   месте   потолка   нужно   повесить   люстру,   чтобы   все   углы прямоугольной комнаты были одинаково освещены?          24.   В   каком   месте   ромбовидной   поляны   нужно   встать,   чтобы   эхо   одинаково отражалось от всех стен леса?          25.   В   окружность   без   указанного   центра   с   помощью   чертежного   угольника впишите квадрат.          26. Из фанеры требуется выпилить круглую крышку для бочки. Какие измерения нужно сделать мастеру, имея в своем распоряжении одну рулетку? математика Страница 15 27.   Для   того   чтобы   предупредить   корабли   об   имеющихся   на   их   пути   трех мелях A, B, C (рис.   42),   поставили   два   маяка M1 и M2,   которые   расположены   на окружности,   охватывающей   опасный   участок.   Угол M1OM2 должен   быть   известен лоцманам, ведущим корабли. Как могут лоцманы, измеряя угол между направлениями на оба маяка, узнавать, находятся ли корабли вне зоны опасности?          28.   Ученику   нужно   провести трисекцию (разделить   на   три   равные   части) центрального угла на выпиленной круглой пластине. Он поступил следующим образом: провел   хорду,   соответствующую   данному   центральному   углу,   разделил   ее   на   три равные части и точки деления соединил с центром пластины. Разделился ли при этом центральный угол на три равные части? Обоснуйте свой ответ.          29.   Известно,   что   громоотвод   защищает   от   молнии   на   расстоянии   от   его основания   не   более   его   удвоенной   высоты.   Где   на   дачном   участке   лучше   всего разместить громоотвод, чтобы его высоту сделать наименьшей, если участок имеет форму: а) круга; б) прямоугольного треугольника; в) равностороннего треугольника; г) разностороннего треугольника; д) прямоугольника; е) квадрата.          30. Садовник разбил красивую круглую клумбу. На ней, в частности, посадил маргаритки,   которые   образовали   стороны   вписанного   четырехугольника.   У   него остались еще цветы, и он продолжил стороны четырехугольника до их пересечения и посадил   также   цветы   по   биссектрисам   углов,   образованных   продолжениями   этих сторон.   Ему   показалось,   что   эти   биссектрисы   перпендикулярны   и   соответственно параллельны   биссектрисам   углов,   образованных   диагоналями   того   же четырехугольника. Верно ли предположение садовника? Движение 31. Как, используя центральную симметрию, измерить расстояние между двумя объектами, между которыми находится, например, дом? 32. Как, используя центральную симметрию, измерить расстояние между двумя объектами M и N,   если   между   ними   два   дома  D1, D2 и  невдалеке   кустарник К (рис. 43). математика Страница 16 33.   На   участке   прямоугольной   формы   находятся   две   дачи D1, D2 и колодец К (рис. 44). Как нужно поставить  забор, чтобы участки дач были равны и колодец находился на их границе? 34. На участке имеется площадка. Как провести прямую изгородь, чтобы она разделила и участок, и площадку на две равные части, если: а) и участок, и площадка имеют прямоугольную форму (рис. 45,а); б) участок имеет форму параллелограмма, площадка – круга, и расположены они так, как показано на рисунке (рис. 45,б)? 35. Между двумя пунктами P и Q: а) протекает река (рис. 46,а); б) протекают две реки   (рис.   46,б).   Где   нужно   построить   переправу,   чтобы   соединить   пункты   самой короткой дорогой? 36. Как восстановить садовый участок квадратной формы, если сохранились три столбика от ограды его периметра – два на противоположных сторонах и один – в центре? 37.   Как   восстановить   участок   квадратной   формы,   если   от   его   ограды сохранились   четыре   столбика  –  по   одному   на   каждой   его   стороне?   Всегда   ли   это можно сделать? 38. В каком направлении нужно ударить бильярдный шар X (рис. 47), чтобы он, ударившись о стенку BC прямоугольного стола, попал в шар Y? 39. В каком направлении нужно ударить бильярдный шар X (рис. 47), чтобы он, последовательно ударившись о четыре стенки AB, BC , CD и ADпрямоугольного стола, попал в шар Y? 40. На клетчатой бумаге в вершинах клеток поставлены две точки O и P так, как показано   на   рисунке   48.   Не   проводя   никаких   линий,   найдите   точкуP1,   в   которую перейдет точка P при повороте вокруг точки O на угол, равный ­90 . математика Страница 17