Шахматы и математика

Гончаров Дмитрий, МБОУ «Балдаевская СОШ», 7 класс Научный руководитель: Полякова Лариса Борисовна, учитель математики МБОУ «Балдаевская СОШ»

«Игра  в  шахматы  существовала  еще  до  появления  на  Земле  человека  и,  может  быть, даже до сотворения мира. Если мир  впадет  в  хаос,  игра  в  шахматы  останется  времени  вне  свидетельством  вечного  существования  идей» ­так высоко оценил искусство игры  в  шахматы  Массимо  Бонтемпелли  (итальянский писатель,  журналист,  эссеист и композитор) пространства  и

Почему я выбрал эту тему? Актуальность исследования Я изучил много разных сложных шахматных позиций, это большой труд, но и огромное  интеллектуальное  наслаждение.  Игра  в  шахматы  мне  очень  нравится.  Обучаясь  шахматам,  мы  превращаемся  в  полководцев.  Как  всякие  полководцы,  мы  хотим  одерживать  победу.  Цель  игры  ­  объявить  мат  королю,  обдумывая  ходы.  Шахматы  развивают логическое мышление, внимание, память и тренируют мысль. Но вот я решил  взглянуть  на  шахматы  несколько  с  другой  стороны  –  математической.  Конечно,  между  математикой  и  шахматами  много  общего.  Игра  в  шахматы  –  это  в  первую  очередь  решение  математических  проблем.  Выдающийся  ученый  Г.  Харди,  проводя  параллель  между  этими  видами  человеческой  деятельности,  заметил,  что  решение  проблем  шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а игра в шахматы это  как бы насвистывание математических мелодий. Понимая огромное значение математики  для  развития  интеллекта,  многие  великие  шахматисты  увлекались  решением  математических  задач  и  головоломок.  В  качестве  примера  можно  привести  таких  шахматистов  как  Эммануил Ласкер, Михаил Ботвинник и Макс Эйве. Кстати, М. Эйве  сказал, что «в математике не меньше логики и красоты, чем в шахматах».

Объект нашего исследования– шахматная доска. Предмет  исследования – математические задачи, связанные с шахматной  доской и шахматными фигурами. Целью моей работы: изучить математику на шахматной доске. Задачи: собрать  и прорешать математические задачи,  сюжетом которых  является шахматная доска и шахматные фигуры; классифицировать математических задач на шахматную тему по  типам; выявить используемые при решении таких задач математические  методы. Гипотеза: «Шахматы­ это не только увлекательная игра, но и оригинальный способ  развития мышления, памяти, познания себя и окружающего мира» Все  представленные  в  работе  задачи  мною  прорешаны.  Условия  задач  взяты  из  сборников  олимпиадных математических задач, книги Е. Я. Гика «Математика на шахматной доске».

Особенностью моей работы является то, что я попытался не  просто решить задачи, а разделил их по типам. Вот что у меня  получилось: ­ задачи на раскрашивание шахматной доски; ­ задачи на разрезание шахматной доски; ­ задачи на нахождение числа фигур на шахматной доске,  числа путей передвижения фигур; ­ лабиринты на шахматной доске; ­ задачи о перестановках фигур на шахматной доске.             Методы исследования:  1. Анализ и синтез различных источников информации. 2.Самостоятельное решение задач, исследование их решений, составление задач.  Новизна работы заключается в том, что тема математики и шахмат  недостаточно освещена в современной литературе. По этой проблеме  было найдено небольшое количество книг.  Практическая значимость работы состоит в том, что задачи с применением  шахматной теории часто встречаются на олимпиадах по математике. Данное  исследование будет полезным для учащихся, интересующихся математикой и  шахматами.  Новизна работы заключается в том, что тема математики и шахмат недостаточно освещена в современной литературе. По этой проблеме было найдено небольшое количество книг.

Историческая справка Шахматы ­ одна из самых древних и мудрых игр на Земле. Изобретатель шахмат попросил в награду за своё изобретение столько  пшеничных зёрен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной  доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т.е. 2 зерна, на  третью – ещё в 2 раза больше, т.е. 4 зерна, и так далее до 64­й клетки. Таким  образом, изобретатель потребовал 1+2+22+...+263=264—1 зерен. Это число  записывается двадцатью цифрами, является фантастически большим и  заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до  настоящего времени. Подсчет показывает, что амбар для хранения  необходимого зерна с площадью основания 80 м2 должен простираться от  Земли до Солнца.

Историческая справка Шахматная  доска,  фигуры  и  сама  игра  часто  используются  для  иллюстрации  разнообразных  математических  понятий  и  задач.  Точка  соприкосновения математики и шахмат — это один из популярных жанров  занимательной  математики,    которому  относятся  математические  игры,  задачи и развлечения на шахматной доске.

Типы задач: 1) Задачи на раскрашивание  шахматной доски      Художник­авангардист Змий  Клеточкин покрасил несколько  клеток доски размером 8х8,  соблюдая правило: каждая  следующая закрашиваемая клетка  должна соседствовать по стороне с  предыдущей закрашенной клеткой,  но не должна — ни с одной другой  ранее закрашенной клеткой. Ему  удалось покрасить 36 клеток.  Побейте его рекорд!  Вывод: При решении задач на раскрашивание шахматной доски нет  какого­то определенного используемого математического метода,  нужно просто быть внимательным при решении, чтобы учесть все  содержащиеся в условии задачи ограничения.

Типы задач: 2)  Задачи на разрезание шахматной доски 2) 1) Разрежьте изображённую на  рисунке доску на 4 одинаковые  части, чтобы каждая из них  содержала 3 заштрихованные  клетки. 3) 4) 5)

Шахматная доска и домино частным случаем задач на разрезание доски Можно ли целиком покрыть  домино квадрат 8х8, из которого  вырезаны противоположные  угловые клетки Решение: Предполагается, что каждое домино имеет размеры 2х1 и покрывает два соседних  поля доски, а каждое поле покрывается одной половинкой домино. Можно было бы заняться  алгебраическими рассуждениями, но шахматное решение гораздо проще. Окрасим урезанный  Вывод:  Задачи  на  раскрашивание  и  разрезание  доски,  по­моему,  квадрат в черно­белый цвет, превратив его в шахматную доску без двух угловых полей a8 и  h1. При любом покрытии доски    каждое домино покрывает одно белое и одно черное поле. У  самые легкие математические шахматные задачи. Для решения таких  нас же черных полей на два больше, чем белых, и поэтому необходимого покрытия не  задач  единого  алгоритма  нет,  нужны  небольшие  математические  существует! Таким образом, раскраска доски не только позволяет шахматисту легче  расчеты,  хорошее  внимание  и,  конечно,  строгие  логические  ориентироваться во время игры, но и служит средством решения математических  головоломок. рассуждения. Шахматная доска и домино

Типы задач: 4) Задачи на нахождение числа фигур на шахматной  доске, числа путей передвижения фигур  Король – самая медленная фигура в шахматах. С любого места он может переступать только на соседние поля доски. Однако необычное измерение расстояний на доске лучше всего иллюстрирует движущийся король. 3) 1) 2) Король – самая медленная фигура в шахматах. С любого места он может переступать только на соседние поля доски. Однако необычное измерение расстояний на доске лучше всего иллюстрирует движущийся король.

Ферзь на шахматной доске. Ферзь – самая сильная шахматная  фигура. Существует множество задач о ферзе. Я думаю, самая  распространенная из них – это задача о восьми ферзях. Сколькими способами можно расставить на доске восемь ферзей  так, чтобы они не угрожали друг другу, т.е. никакие два не стояли  на одной вертикали, горизонтали и диагонали? Очевидно, больше восьми ферзей расставить невозможно, тогда хотя бы на одной  вертикали и горизонтали их окажется не меньше двух. Найти несколько решений несложно,  одно из них показано на рисунке. Многие известные математики пытались решить эту  задачу, среди них: М. Беццель, Ф.Наук, В. Аренс, Гаусс. Гаусс немецкий математик  заинтересовался задачей и нашел 72 решения. Однако строгое доказательство того, что 92  расстановки исчерпывают все возможности, было получено Д. Глэшером только спустя  более 100 лет после открытия этой задачи. Как уже было сказано всего решений 92, но  основные из них 12. Остальные получаются при помощи симметрии.

Прямолинейная ладья. Ладья – строгая, прямолинейная  фигура. Она тоже часто встречается в математических  задачах. Какое наименьшее число поворотов должна сделать ладья при  обходе всех полей доски n х n?  Решение: Ладья должна была сделать хотя бы один ход вдоль каждой вертикали или  вдоль каждой горизонтали. Пусть, ладья двигалась хотя бы раз вдоль каждой вертикали.  На любую из них, кроме тех, где маршрут начался и закончился, ладья должна была войти  и после движения вдоль нее выйти. При этом вход и выход обязательно происходят с  поворотами. Таким образом, общее число поворотов не меньше, чем 2(n–2)+1+1=2(n–1).  Для любого n маршрут, содержащий ровно столько поворотов, можно получить из  маршрута, приведенного на рисунке; при n=8 ладья делает 2(8–1)=14 поворотов. Этот  маршрут является открытым, замкнутый маршрут состоит уже из 16 ходов. Прямолинейная ладья. Ладья – строгая, прямолинейная фигура. Она тоже часто встречается в математических задачах.

Лабиринты на шахматной доске. Ход конем Обойти конем все поля шахматной доски, посетив каждое из них  ровно один раз.  Эйлера  впервые  обратил  внимание  на  ее  математическую  сущность,  и  поэтому  задачу  часто  связывают  с  его  именем.  Метод  Эйлера  состоит  в  том,  что  сначала  конь  двигается  по  произвольному маршруту, пока не исчерпает все  возможные  оставшиеся  непройденными клетки добавляются в сделанный  маршрут,  после  специальной  перестановки  его  элементов.  Фигура  коня  обозначает  начальное  положение  шахматной  фигуры,  цифры  –  его  последующие ходы  Затем  ходы.  Обойти конем все поля шахматной доски, посетив каждое из них ровно один раз. Эйлера впервые обратил внимание на ее математическую сущность, и поэтому задачу часто связывают с его именем. Метод Эйлера состоит в том, что сначала конь двигается по произвольному маршруту, пока не исчерпает все возможные ходы. Затем оставшиеся непройденными клетки добавляются в сделанный маршрут, после специальной перестановки его элементов. Фигура коня обозначает начальное положение шахматной фигуры, цифры – его последующие ходы

Типы задач:  5) Лабиринты на шахматной доске. Ход  конем 1) 2)

Типы задач: 6) Задачи о перестановках фигур на  шахматной доске В противоположных углах шахматной доски 3×3 стоят два белых и два черных коня  (рис. 21,а). За минимальное число ходов поменять местами белых коней с черными. Вывод:  Метод  пуговиц  и  нитей  легко  объяснить  в  терминах  теории  графов.  Действительно,  задаче  о  перестановке  коней  можно  сопоставить  граф,  вершины  которого  соответствуют  полям  доски  (пуговицам),  а  рёбра  –  возможным  ходам  коня  между полями (нитям). Тогда распутывание клубка пуговиц и нитей есть не что иное,  как  более  наглядное  расположение  графа  на  плоскости.  Разумеется,  метод  пуговиц  и  нитей  может  быть  использован  для  решения  не  только  задачи  Гуарини,  но  и  целого  класса перестановочных задач и головоломок (необязательно шахматных).

Типы задач: 6) Задачи о перестановках фигур на  шахматной доске Перед вами белые и черные пешки.  Поменяйте их местами. Переставлять  фигуры можно только на свободные клетки  (по горизонтали, вертикали или диагонали).

Головоломка на шахматной доске 1. Единица измерения площади. 2. Длина.3. Древнегреческий   математик. 4. Часть окружности. 5. Раздел математики.

Практическая часть Составление шахматных задач и головоломок.  1 задача: Поставить мат черному королю за 2 хода белых. Черные: Ф­  a8. К­с8, d6, e7, КР –d8 Белые: Кр­a1. a2, b6, Л­ с1, К­ f4, К­d5. Ф­h6  Решение:1ход белых Фh6­f8, 2ход чёрных КРd8 –d7, 3ход белых Л с1­ с7. 2 задача: Поставить мат черному королю за 2 хода белых. Черные: Ф­ h2 . К­ f4, С­e3, КР –b8      Белые: Кр­d7, b7, b5, Л­ d1 Решение:  1ход Л­ d1­ d8,  2ход КР –b8­a7, 3ход b7­b8.

Практическая часть Сломанная шахматная доска .  Предание гласит, что шахматная доска от  удара разломилась на тринадцать частей. На  рисунке вы видите их; это двенадцать  кусочков разной формы, каждый из которых  содержит пять клеток, и только один меньший  кусочек состоит из четырех клеток. Таким образом, у нас есть все 64 клетки  шахматной доски, а головоломка состоит в  том, чтобы сложить из них правильную  шахматную доску. Части легко можно  вырезать из бумаги в клеточку, и если их  наклеить на картон, то они могут служить в  доме источником постоянного развлечения.

Заключение Шахматы  справедливо  считают  единственной  игрой  из  всех,  придуманных  человеком,  в  которой  сочетаются  спорт,  искусство  и  наука.  Почему  шахматы  привлекательны  для  людей  разных  возрастов  и  профессий?  Потому  что,  играя  в  шахматы,  мы  приобретаем  много  полезных  качеств,  тренируем  память,  учимся  упорству,  находчивости,  развиваем  фантазию.  Занятие  шахматами  способствует  развитию  математических  способностей  человека. Шахматы – это вид интеллектуальной борьбы, и соревнование, а  любое  соревнование  совершенствует  сильные  черты  личности.  Шахматы  содержат  себе  элементы  научного  исследования  –  именно  такой  подход  свойствен  многим  выдающимся  шахматистам.  Задачи,  связанные  с  шахматной теорией, широко применяются в математике. В  ходе  работы  исследовали  связь  математики  и  шахмат,  рассмотрели  математические  решения  задач,  связанных  с  шахматной  доской  и  шахматными  фигурами.  Таким  образом,  цель  работы  достигнута.  Работу  можно использовать для подготовки к олимпиадам, конкурсам.

Литература Литература •Гик Е. Я. Занимательные математические игры. – М., Знание, 1982. – 143 с.  •Гик Е.Я.Математика на шахматной доске год изд.1976 •Гик Е.Я. Шахматы и математика. ­ М., Наука, 1983. ­ 173 с. •Гусев В. А. Внеклассная работа по математике в 6­8 классах/ В. А. Гусев, А. И. •Лойд С. Математическая мозаика. – М., Мир, 1984. – 311 с. Интернет ресурсы:   http://wysotsky.com/0009/536.htm#i_62.: