Статья " Фокусы трехмерного пространства"

Статья « Фокусы трехмерного пространства»» К сожалению, математика  не направлена на то, чтобы доставлять детям  удовольствие. Но сегодня на занятии я попробую доказать обратное. Вопрос: «В каком пространстве мы живём?» Предполагаемый ответ: «Трёхмерном» Обычный альбомный лист имеет две поверхности и толщину. Предложить  учащимся рассмотреть репродукцию картины М. Эшера «Лента Мебиуса». Путешествие по ленте на картине представляет собой «бег по кругу», а в роли бегущих муравьи. Проследите за их движением.  Что заметили? Предполагаемый ответ  «совершив один оборот по ленте, каждый муравей оказывается в исходной  точке, но уже «по ту сторону» ленты вниз головой. Это положение антипода.  Муравью нужно дважды пройти по ленте, чтобы вернуться в начальное  положение. (чтобы стать самим собой). Эта лента на картине имеет  имя­«лента Мебиуса». Историческая справка: Лента Мебиуса (лист Мебиуса, петля Мебиуса) была открыта независимо  немецким математиком и астрономом­теоретиком Августом Мебиусом (1790  г.) и Иоганном Листингом в 1858 г. Август Мебиус­ученик «короля» математиков Гаусса, впрочем, как и  Листинг. Ленту всё же назвали в честь Мебиуса. В возрасте 68 лет Мебиусу  удалось сделать открытие поразительной красоты. Он установил  существование односторонних поверхностей. Давайте воспользуемся изобретением Мебиуса и сделаем модель ленты  Мебиуса. Для этого склеим противоположные концы бумажной полоски,  повернув один из них (180 гр.). Получим ленту Мебиуса. Лента Мебиуса,  считается объектом топологии. Топология­наука исследующая непрерывность среды и пространства. Лента  Мебиуса ­простейшая односторонняя, не ориентируемая поверхность которая имеет всего один край. В начале занятия, вы ответили, что мы живём в 3­х мерном пространстве.  Лента Мебиуса­двухмерная, т.к. имеет одну поверхность и толщину, в  отличие от кольца, которое можно свернуть из той же полоски. Убедимся в  этом. Задание 1 Нарисуйте линию посередине ленты, не отрывая карандаш от бумаги, пока не  вернётесь в исходную точку. За счёт полуоборота полоски её верхний и  нижний края объединились в одну непрерывную линию, а две стороны  превратились в единое целое и стали одной стороной. Результат (открытие):  попасть из одной точки ленты Мебиуса в любую другую можно, не переходя  через край. Это означает, что лента Мебиуса односторонняя. Задание 2 Разрежьте ленту Мебиуса по средней линии. Что заметили? Ответ: Она не распалась на две части, из неё получилось более узкая и  длинная двусторонняя лента, перекрученная дважды. Её иначе называют  «Афганская лента». Это означает непрерывность ленты. Подобную форму  имеет конструкция аттракциона «Американские горки». Задание 3 Разрежьте теперь полученную ленту вдоль посередине. Что получилось? ­Получилось две ленты, намотанные друг на друга. Задание 4 Разрежьте ленту Мебиуса, отступая от края треть ширины. Что получилось? ­Получились две ленты, одна­более короткая лента Мебиуса, другая­длинная  с двумя полуоборотами, т.е. получилась снова «Афганская лента». Задание 5 Разрежьте ленту с тремя полуоборотами (540 гр.) посередине. Что  получилось? ­Лента, закрученная узлом (3 сцепленных между собой кольца). Её ещё  называют лента, завитая в узле трилистника. Задание 6 Отправьте «гулять» вдаль ленты Мебиуса отпечаток правой ступни. Что  возвратилось домой? ­Домой «возвратился» отпечаток левой ступни (забавно, «правое» стало  «левым», как в Зазеркалье). Своими свойствами лента Мебиуса напоминает  объект из Зазеркалья. Задание 7 Покрасьте ленту Мебиуса не переворачивая. Она закрасится полностью. Это  означает, что лента Мебиуса не имеет ориентированности. Полный оборот  вокруг ленты Мебиуса изменяет направление окружности на  противоположное. Ленту Мебиуса так и можно было считать научным курьёзом, причудой  математиков, если бы она не нашла практического применения и не  вдохновила людей искусства. Её не раз изображали художники (с картиной  Эшера мы уже познакомились), её ставили памятники, посвящали свои  творения писатели. «Лист Мебиуса­символ математики, что служит высшей мудрости венцом». Он полон неосознанной романтики: в нём бесконечность свёрнута кольцом…» М. Ю. Иванова. Эта необычная поверхность приглянулась архитекторам, ювелирам,  дизайнерам одежды и мебели, изобретателям, конструкторам. В 1920­х годах  были запатентованы аудио и кино плёнки в форме ленты Мебиуса,  позволяющие удвоить продолжительность записи. Лопасти бытового миксера  изготавливаются в виде парадоксальной фигуры. Полосы ленточного конвейера имеет вид ленты Мебиуса, что позволяет  работы дольше, т.к. вся поверхность ленты изнашивается равномерно. В большинстве матричных принтеров внутри красящие устройство имеет вид  ленты Мебиуса для увеличения его радиуса. В Лондоне Велодром имеет контуры листа Мебиуса. Так как лента Мебиуса похожа на знак бесконечности, то её часто используют в качестве эмблем и товарных знаков. Международный символ переработки  выглядит как бесконечное путешествие. Лист Мебиуса считают символом  современной математики, так как именно он дал толчок новым  математическим исследованиям, ведь свойства листа Мебиуса удивительны.  Неправда ли? На доске: «А можно так закрутить бумажную ленту Мебиуса, чтобы  поверхностей совсем не осталось?» Об этом хороший фантастический рассказ Мартина Гарднера­«Нуль  сторонний профессор». Прочитайте, если заинтересовались. Источник информации: «Большая советская энциклопедия под редакцией Б. А. Введенского».  Сведения о листе Мебиуса; «Математическая энциклопедия». Редакция И. М. Виноградов. Сведения о листе Мебиуса;Гарднер М. «Математические чудеса  и тайны»­М.: Наука 1978; Журнал «Молодой учёный»;Гарднер М. «Нуль  сторонний профессор».