Статья "Методы решения нестандартных задач по математике"

Методы решения нестандартных задач по математике Общепризнано,   что   уровень   математической   подготовки   ученика определяется   в   первую   очередь   его   умением   решать   задачи.   Поэтому обучение   решению   задач   является   одной   из   самых   важных   целей   учителя математики. Этот аспект кратко передается такой формулой: задача — цель. Чтобы   достичь   этой   цели,   недостаточно   и   нерационально   только знакомить учеников с типовыми задачами, разучивать способы решения задач каждого из выделенных типов, т. к. жизнь неизбежно поставит такую задачу, которая   не   подходит   ни   под   какой   из   заранее   заготовленных   шаблонов. Поэтому   важно   не   только   усвоить   определенный   набор   действий   в стандартных ситуациях, но и подготовить ученика к деятельности в новых, нетипичных обстоятельствах, развить его мышление. Наиболее подходящим для   этого   средством   является   решение   математических   задач.   Этим обосновывается формула: задача — средство. В школьном курсе математике решается много задач: «на движение», «вычисление стоимости покупки», «на работу» и «концентрацию растворов» и т.д.  Большую   часть   этих   задач   можно   решать   по   алгоритму,  и   эти   задачи можно   отнести   к   стандартным   задачам.     Какие   задачи   можно   назвать «нестандартными»?   имеющая   необычную   формулировку,   Нестандартная   задача   (задание)   –   это   учебная   задача,   содержание которой   не   укладывается   в   общепринятые   типы   и   варианты   расчётных   и экспериментальных   задач,   с зашифрованным в тексте вопросом, и обеспечивающая адаптацию учащихся в окружающем   мире.   Решение   нестандартных   задач   способствует   развитию логического   и   критического   мышления   школьников,   позволяет   провести умственный эксперимент, развивает фантазию и воображение. Развитие   творческих   способностей   личности   требует   длительной, целенаправленной   работы,   поэтому   эпизодическое   использование нестандартных   задач   не   принесёт   желаемого   результата.   Следовательно, давать новые задачи необходимо не сами по себе, а в определённой системе, приводящей к интенсивному общему развитию детей. Система нестандартных задач,   стимулирующая   учебно–познавательную   деятельность,   развивающая гибкость   и   нестандартность   мышления,   должна    отвечать   следующим требованиям:  возбуждать интерес к деятельности;  опираться на знания и опыт учащихся;  способствовать   развитию   психических   механизмов,   лежащих   в основе   творческих   способностей   (внимания,   памяти,   мышления, воображения);   должна быть направлена    на овладение    приёмами познавательной деятельности;   учитывать уровни развития учащихся. В   настоящее   время   очень   важно   уметь   ориентироваться   в   потоке информации, отличить верную версию от ложной, находить причины ошибок. Для этого необходимо развивать логическое мышление, которое предполагает умение детей решать нестандартные задачи. Нестандартные   задачи   обладают   различными   особенностями, отличающими их от обычных, стандартных задач. Своеобразие нестандартных задач   требует   от   учащихся   определённой   сообразительности,   логической культуры.   Нестандартность   задачи   состоит   не   в   её   сложности,   а   в непривычности для учащихся. Такие задачи являются новыми, необычными для учащихся не вообще, а лишь в данных условиях. После решения большого количества нестандартных задач одного вида они теряют свою необычность для   учащихся   и   превращаются   в   стандартные,   у   учащихся   формируется алгоритм их решения, в некоторых случаях он доводится до автоматизма и выработки стереотипа в решении задач данного вида.  Нестандартные задачи представляют как раз тот благодатный материал, при обучении   которому   у   учащихся   формируется   умение   думать   в   процессе решения   каждой   задачи.   Это   умение   является   важнейшей   стороной подготовки   учащихся   к   дальнейшей   практической   и   теоретической деятельности.   Научить   в   школе   решению   всех   задач,   которые   могут встретиться в жизни, невозможно: их количество практически необозримо.  Каждая нестандартная задача – это маленькая проблема, которая:   требует   от   учеников   повышенной   умственной   активности   и находчивости в поисках непроторенных путей решения;  способствует   развитию   логико­математического   продуктивного, эвристического мышления учащихся, активизации мыслительных операций, их самостоятельности;   вырабатывает   ценные   умственные   качества:   последовательность мысли,   логичность,   сообразительность,   смекалку,   то   есть улучшает   и   повышает   качество   математической   подготовки учащихся.  Таким образом, к наиболее характерным особенностям нестандартных задач относятся: - необычность по форме, содержанию и методам решения;  - способность   возбуждать   интерес   к   предмету,   делать   интересным процесс решения; занимательность и общедоступность.    упражнения   умственных   Нестандартные   задачи   представляют,   в   большинстве   своём,   свободные творческие способностей   учащихся. Целенаправленное формирование у учащихся умения решать нестандартные задачи   способствует   развитию   критического,   обоснованного   мышления, дерзости ума, интереса к закономерностям. Для   нестандартных   задач   характерно   то,   что   наряду   с   традиционной формулировкой   требования   задачи,   начинающегося   словами   «сколько», «найдите»,   «покажите»,   часто   встречаются   и   другие   виды:   «сколькими способами»,   «найди   закономерность»,   «как   рационально   выполнить», рассмотри различные случаи», «найди все возможные решения задачи» и т.. Целенаправленная   работа   по   решению   нестандартных   задач   формирует   у школьников базовые знания, умения и навыки, связанные с их познавательной активностью, способностью самостоятельно решать нестандартные задачи. Нормы оценивания обучающихся Для оценки учебных достижений обучающихся используется: текущий контроль в виде проверочных работ и тестов; тематический контроль в виде  контрольных работ; итоговый контроль в виде контрольной работы и теста.    Шкала оценивания:  Для оценки достижений учащихся применяется пятибалльная система оценивания.  Нормы оценки:  1 Оценка   письменных   контрольных   работ   обучающихся   по математике.  Ответ оценивается отметкой «5», если:  1) работа выполнена полностью;  2) в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;  3) в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).  Отметка «4» ставится, если:  1)   работа   выполнена   полностью,   но   обоснования   шагов   решения недостаточны   (если   умение   обосновывать   рассуждения   не   являлось специальным объектом проверки);  2)допущены   одна   ошибка   или   есть   два  –  три   недочѐта   в  выкладках, рисунках,   чертежах   или   графиках   (если   эти   виды   работ   не   являлись специальным объектом проверки).   Отметка «3» ставится, если: 1) допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.    Отметка   «2»,     так   как   большинство   задач   и   методов   их   решения, рассматриваемых   в   ходе   изучения   курса,   не     входят   в   школьный   курс изучения математики, не ставится.  2.Оценка устных ответов обучающихся по математике  Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:  полно   раскрыл   содержание   материала   в   объеме,   предусмотренном программой   и   учебником;   изложил   материал   грамотным   языком,   точно используя   математическую   терминологию   и   символику,   в   определенной логической последовательности;  правильно   выполнил   рисунки,   чертежи,   графики,   сопутствующие ответу;  показал   умение   иллюстрировать   теорию   конкретными   примерами, применять   ее   в   новой   ситуации   при   выполнении   практического   задания; продемонстрировал   знание   теории   ранее   изученных   сопутствующих   тем, сформированность   и   устойчивость   используемых   при   ответе   умений   и навыков; отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов учителя;  возможны   одна   –   две   неточности   при   освещение   второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил после замечания учителя.   Ответ оценивается отметкой «4»,  если удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков: в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившее   математическое   содержание   ответа;   допущены   один   –   два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные после замечания   учителя;   допущены   ошибка   или   более   двух   недочетов   при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные  после замечания учителя.   Отметка «3» ставится в следующих случаях: неполно   раскрыто   содержание   материала   (содержание   изложено фрагментарно,   не   всегда   последовательно),   но   показано   общее   понимание вопроса   и   продемонстрированы   умения,   достаточные   для   усвоения программного   материала   (определены   «Требованиями   к   математической подготовке   учащихся»   в   настоящей   программе   по   математике);   имелись затруднения   или   допущены   ошибки   в   определении   математической терминологии,   чертежах,   выкладках,   исправленные   после   нескольких наводящих вопросов учителя; ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного  уровня  сложности  по   данной  теме;  при  достаточном  знании теоретического   материала   выявлена   недостаточная   сформированность основных умений и навыков.   Отметка «2» не ставится . В   учебном   курсе   «Решение   нестандартных   задач   по   математике» представлены задания разного вида:  числовые ребусы;  задачи на переливание;  задачи на взвешивание;  задачи по принципу Дирихле;  задачи, решаемые алгебраическим способом;  задачи с несколькими переменными;  задачи, решаемые с помощью графов;  комбинаторные задачи;  задачи­шутки;  задачи на внимание сообразительность и смекалку;  задачи на сравнение;  логические задачи;  задачи на движение. Тексты задач и их решения. 1. 1 февраля 1999 г. был понедельник. Каким днем недели было 1 марта 1999 г.? Решение. Задачи на эту тему актуальны в переживаемом нами начале века и тысячелетия, их несколько в этой книжке (№ 1, 21, 41, 61, 81, 101, 121 и 141). Все они решаются подсчетом остатка от деления некоторого числа дней на число дней в неделе – на 7. В данной задаче нужно выяснить: сколько дней прошло   с   1   февраля   1999 г.   до   1   марта   1999 г.   (так   как   1999 г.   был невисокосным,   то   в   феврале   было   28   дней);   каким   днем   является   день "понедельник + 28   дней"   (так   как   28   дней   –   это   ровно   4   недели,   то "понедельник + 28 дней" – снова понедельник). Ответ:   1   марта   1999 г.   был   понедельник.Полезно   составить   календарь   на февраль 1999 г. Из него станет ясно, что ответ получен правильный. 2. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых – 1, 2 или 3? Решение. На первое место можно поставить любую из трех данных цифр. На второе – тоже любую из этих трех цифр. Значит, первые два места могут быть заняты девятью способами: 11_ , 12 _, 13 _, 21 _, 22 _, 23 _,31 _, 32 _, 33 _. В любом из этих случаев третье место можно занять любой из тех же трех цифр. Значит,   все   число   можно   записать   27  разными   способами,  от   111  до   333. Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из трех цифр, второй – любая из трех цифр, третьей – любая из трех цифр; значит, всего таких чисел 3 x 3 x 3 = 27. Ответ: 27 чисел. 3. Петя нашел один гриб, Коля – два, а Паша – три. Мама дала им 18 орехов   и   велела   разделить   их   по   заслугам.   Сколько   орехов   получил каждый? Решение. Паша собрал ровно половину всех грибов, поэтому ему полагается половина всех орехов – девять. Из остальных девяти орехов Коля должен получить в два раза больше Пети, так как он собрал вдвое больше грибов. Значит, Петя должен получить три ореха, а Коля шесть. Ответ: Петя – 3, Коля – 6, Паша – 9. 4. Попытайся понять, как составлена эта последовательность: 720, 360, 120, 30. Напиши еще два ее члена. Решение получается в результате обсуждения способов получения 360 из 720 и так далее. 360 можно получить из 720 вычитанием или делением. Вычитание числа 360 не приводит к получению третьего числа. Деление на 2 – приводит. Следующее число получается делением на 3, так как 360 : 3 = 120. Число 30 получается делением 120 на 4. Ответ:   Каждое   число,   начиная   со   второго,   равно   предыдущему   числу, деленному на 2, затем на 3 и т.д. Разделив 30 на 5, получаем 6, разделив 6 на 6, получаем 1. 5. Отец   старше   сына   на   30   лет.   Сохранится   ли   это   соотношение   на будущий год? Решение. На будущий год отец станет на 1 год старше и сын станет на 1 год старше.   Поэтому   разность   между   их   возрастами   не   изменится.   Можно подойти к решению и немного иначе, сказав, что отцу в момент рождения сына было 30 лет, и этот факт не меняется с годами. Ответ: да. 6. Илья стоит в хороводе. Пятый слева от Ильи тот же, что и шестой справа. Сколько людей в хороводе? Решение.   Между   Ильей   и   пятым   слева   (назовем   его   Жорой)   4   человека. Между   Ильей   и   шестым   справа   (а   это   тот   же   Жора)   5   человек.   Итого   в хороводе Илья, Жора и еще 4 + 5 = 9 человек. Ответ: 11. 7. В гараже стоят 750 автомобилей. Грузовые автомобили имеют по 6 колес, а легковые по 4 колеса. Сколько каких автомобилей в гараже, если колес всего 3024? Решение. Сколько было бы колес, если бы все автомобили были легковыми? 4 x 750 = 3000. Сколько колес имеется потому, что среди автомобилей есть грузовые? 3024 – 3000 = 24. На сколько колес у грузового автомобиля больше, чем у легкового? 6 – 4 = 2. Сколько автомобилей – грузовые? 24 : 2 = 12. Сколько автомобилей – легковые? 750 – 12 = 738. Решение полезно проверить: Сколько колес у 738 легковых автомобилей? 4 x 738 = 2952. Сколько колес у 12 грузовых автомобилей? 6 x 12 = 72. Сколько всего колес? 2952 + 72 = 3024. Ответ: 738 легковых и 12 грузовых. 8. Из 15 котят 8 рыжих и 7 пушистых, и других нет. Есть ли среди этих котят хоть один рыжий и пушистый одновременно? Решение.   Нарисуем   два   пересекающихся   круга.   Левый   пусть   обозначает рыжих   котят,   а   правый   –   пушистых   котят.   Возможны   разные   варианты рисунка. На первом имеются котята, рыжие и пушистые одновременно. На втором таких котят нет. Если бы правильным был первый рисунок, то тогда рыжих не пушистых котят было бы меньше восьми на то число, сколько котят находятся   в   общей   части   кругов   (на   нашем   рисунке   таких   котят   два), пушистых не рыжих было бы меньше семи на то же число (у нас на 2). Значит, всего котят было бы меньше 15. А на втором рисунке их как раз 15. Значит, правильный – второй рисунок. Ответ: нет. 9. Однажды   древнеримский   полководец   Юлий   Цезарь   послал   тайное письмо,   в   котором   каждая   буква   была   заменена   третьей   от   нее   по алфавиту, расположенному кольцом. Расположи этим способом русский алфавит и зашифруй шифром Цезаря фразу "Век живи, век учись". Ответ: ЕИН КМЕМ, ЕИН ЦЪМФЯ. 10. 1  февраля   1996 г.  был   четверг.   Каким   днем   недели   было   1   марта 1996 г.? Решение. В данной задаче нужно выяснить: сколько дней прошло с 1 февраля 1996 г. до 1 марта 1996 г. (так как 1996 г. был високосным, то в феврале было 29 дней); каким днем является день "четверг + 29 дней" (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то "четверг + 28 дней" – снова четверг, а "четверг + 29 дней" – пятница).   1 Ответ: пятница. Полезно  составить  календарь  на  февраль  1996 г. Из  него  станет  ясно, что ответ получен правильный. марта была   1996     г.     11. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых – четные и никакие цифры не повторяются? Решение. На первое место можно поставить любую из четырех четных цифр (трехзначное   число   не   может   начинаться   нулем).   На   второе   место   можно поставить любую из четырех оставшихся цифр (так как повторяться цифры не могут). Значит, первые два места могут быть заняты шестнадцатью способами: 20 _, 24 _, 26_, 28 _; 40_ , 42_, 46 _, 48_; 60_, 62_, 64_, 68 _; 80_ , 82_, 84_, 86_.  В   любом   из   этих   случаев   третье   место   можно   занять   любой   из   трех оставшихся   цифр.   Например,   в   случае   20_   третье   место   можно   занять цифрами   4,   6   или   8.   Значит,   всего   чисел   получится   48.   Кратко это решениеможно высказать так: первой может быть любая из четырех цифр, второй   –   любая   из   четырех   оставшихся   цифр,   третьей   –   любая   из   трех оставшихся цифр; значит, всего таких чисел 4 x 4 x 3 = 48. Ответ: 48 чисел. 12. Масштаб   карты   равен   1:300000.   Сколько   километров   в   1 см   этой карты? Решение. В 1 км содержится 1000 м, а в 1 м содержится 100 см, значит, в 1 км содержится 100000 см. Если масштаб карты 1:300000, значит, в 1 см карты содержится 300000 см, то есть 3 км. Ответ: 3 км. 13. 4 человека стоят у лифта 5­этажного дома. Все они живут на разных этажах, от второго до пятого. Лифтер хочет доехать до одного какого­ нибудь  этажа, а там  пусть  идут пешком. Спуститься  на один  этаж – неудовольствие, подняться на один этаж – двойное неудовольствие. На каком этаже надо остановить лифт, чтобы сумма неудовольствий была наименьшей? Решение. Прежде чем решать эту задачу, надо хорошо понять ее необычные условия. Для этого полезно разобрать, что получится, если лифт остановится, например, на четвертом этаже. Тогда без неудовольствий окажется жилец 4 этажа. Жилец 5 этажа получит двойное неудовольствие, так как ему придется подняться   на   один   этаж   (с   4   на   5).   Жилец   3   этажа   получит   одно неудовольствие, жилец  2   этажа   –   два   неудовольствия.   Впрочем,   еще   лучше,   если   жилец   2   этажа поднимется пешком с 1 этажа на 2: неудовольствий столько же, а лифт не перегружен. Итого, если лифт остановится на 4 этаже, получится 2 + 1 + 2 = 5 неудовольствий.   Ответ: на четвертом этаже. 14. Найди сумму всех чисел от 1 до 100. Великий немецкий математик Карл Гаусс решил эту задачу за одну минуту в шестилетнем возрасте. Решение. Надо находить суммы пар чисел, одинаково удаленных от концов ряда. Они равны между собой: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 и так далее.   Таких   пар,   а   значит,   таких   сумм   будет   100 : 2 = 50.   Значит,   общая сумма равна 101 x 50 = 5050. Ответ: 5050. 15. Коля считает, что если сумма первых трех цифр номера автобусного билета равна сумме последних трех цифр, то билет – счастливый. Билет с номером 198675 – счастливый. Какие два ближайших к нему билета тоже счастливые? Решение. Сумма первых трех цифр равна 1 + 9 + 8 = 18, и эти цифры долго не менялись и долго не будут меняться.. Менялись и будут меняться последние цифры, но их сумма должна быть равна тоже 18. Первая из этих трех цифр 6 долго не менялась и не будет меняться. Значит, нужно, чтобы сумма двух последних цифр равнялась 12. Перед числом 75 такое ближайшее число 66, а после 75 – число 84. Ответ: 198666 и 198684. 16. Сколько   существует   круглых   четырехзначных   чисел,   все   цифры которых   –   четные   и   никакие   цифры   не   повторяются   внутри   одного числа? Решение. Так как числа круглые, то они оканчиваются нулем, а так как ни одна цифра не повторяется, то на первые три места можно ставить любые из оставшихся четырех четных цифр (не повторяя их). На первое место можно поставить любую из четырех четных цифр, от 2 до 8. На второе – любую из трех   оставшихся   цифр.   Значит,   первые   два   места   могут   быть   заняты двенадцатью способами: 24_0, 26_0, 28_0; 42_0, 46_0, 48_0; 62_0, 64_0, 68_0; 82_0, 84_0, 86_0. В любом из этих случаев третье место можно занять любой из   двух   оставшихся   цифр.   Например,   в   случае   24_0   третье   место   можно занять   цифрами   6   или   8.   Значит,   всего   чисел   получится   24.   Кратко это решение можно высказать так: первой может быть любая из четырех цифр, второй – любая из трех оставшихся цифр, третьей – любая из двух оставшихся цифр,   четвертой   –   только   одна   цифра   нуль;   значит,   всего   таких   чисел 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Ответ: 24 числа. 17. Масштаб   карты   равен   1:400000.   Сколько   километров   в   1 см   этой карты? Решение. В 1 км содержится 1000 м, а в 1 м содержится 100 см, значит, в 1 км содержится 100000 см. Если масштаб карты 1:400000, значит, в 1 см карты содержится 400000 см, то есть 4 км. Ответ: 4 км. 18. Какое число в задаче на вычисление пропущено: 51 : ... – 12? Решение. Здесь пропущено число, на которое делится число 51, то есть либо пропущено число 1, либо 3, либо 17, либо 51. Но если пропущено 17 или 51, то получатся выражения, не имеющие смысла: 51 : 17 – 12 или 51 : 51 – 12. Ответ: 1 или 3. 19. Две ученицы, Люда и Валя, победили в математической олимпиаде. Нужно было выяснить, кому из них дать первую премию, а кому вторую. Судья соревнования показал им три заколки: одну красную и две синие, попросил их зажмуриться и приколол к их прическам по красной заколке, а синюю спрятал. После этого он сказал, что они могут открыть глаза. "Кто   догадается,   –   сказал   судья,   –   какого   цвета   на   ней   заколка,   та получит   первую   премию."   Девочки смотрели   друг   на   друга.   Каждая видела на другой красную заколку, но не знала, какая заколка на ней. Наконец, Люда сказала: "На мне красная заколка" – и получила первую премию. Как она могла додуматься до верного ответа? Решение.   Люда   знала,   что   Валя   сообразительная   девочка.   Если   бы   Валя увидела на Люде синюю заколку, она сразу догадалась бы, что на ней самой красная заколка (ведь синяя заколка была одна). И раз Валя молчала, значит, она не видела на Люде синюю заколку, а видела красную. Ответ: Так как Валя молчала. 20. Среди 12 щенков 8 ушастых и 9 кусачих, и других нет. Сколько среди этих щенков ушастых и кусачих одновременно? Решение.   Нарисуем   два   пересекающиеся   круга.   Левый   пусть   обозначает ушастых щенят, правый кусачих, а в общей части будут ушастые и кусачие одновременно. Так как ушастых 8, а всего щенят 12, то в самой правой части рисунка находятся 4 щенка – не ушастые, но кусачие. Так как кусачих 9, а всего   щенят 12,  то  в  самой  левой  части  рисунка  находятся 3  щенка  – не ушастые,   но   кусачие.   Значит,   в   центральной   части   рисунка   находятся   5 щенков – ушастых и кусачих одновременно. Можно оформить это решение по вопросам.     – –     не не       щенят   щенят 8 = 4. Сколько Сколько 9 = 3. Сколько щенят обладает только одним из этих качеств (только кусачие или только 4 + 3 = 7. Сколько   щенят   обладают   обоими   качествами   (кусачие   и   ушастые одновременно)? 12 – 7 = 5. ушастые? кусачие? ушастые)?       12 12     – –       Ответ: 5. 21. Илья стоит в хороводе. 5­й слева от Ильи тот же, что и 7­й справа. Сколько людей в хороводе, если их меньше 10? Решение.   Условия,   данные   в   задаче,   осуществимы,   только   если   в   число четырех, стоящих между Ильей и еще одним (Жорой) засчитывается Илья и, быть может, также и Жора. Это получится, если в хороводе 4 человека. Их могло бы быть и двое, но двое – не хоровод. Ответ: 4. 22. 1 февраля 1900 г. была пятница. Каким днем недели было 1 марта 1900 г.? Решение.   В   данной   задаче   нужно   выяснить:   1) сколько   дней   прошло   с   1 февраля 1900 г. до 1 марта 1900 г. (так как 1900 г. в григорианском календаре был невисокосным, то в феврале было 28 дней; заметим, что, в отличие от юлианского   календаря   ("старого   стиля")   в   григорианском   календаре   годы, оканчивающиеся двумя нулями, являются високосными лишь в том случае, если они делятся на 400 : 1800 и 1900 – невисокосные, а 2000, 1600 и 2400 – високосные); 2) каким днем является день "пятница + 28 дней" (так как 28 дней – это ровно 4 недели, то "пятница + 28 дней" – снова пятница). Ответ: 1 марта 1900 г. была пятница. 23. Пятеро   друзей   обменялись   рукопожатиями.   Сколько   произошло рукопожатий? Решение. Каждый должен сделать по четыре рукопожатия; значит, всего, как будто   бы,   получится   4 x 5 = 20   рукопожатий.   Однако   при   таком   подсчете каждое   рукопожатие   учитывается   два   раза:   ведь   в   одном   рукопожатии участвуют   двое.   Поэтому   на   самом   деле   рукопожатий   вдвое   меньше: 4 x 5 : 2 = 10.  В правильности такого решения можно убедиться, сделав к задаче чертеж. Каждый из друзей обозначается на нем точкой. Точек пять. А рукопожатие обозначается   отрезком,   соединяющим   две   точки.   Так   отрезок АВ на   этом чертеже   обозначает,   что   друзья А и В пожали   друг   другу   руку.   Видно,   что отрезков 10. Еще  лучше  –  представить  задачу  в  явном  виде.  К доске  вызываются   пять учеников   и   судья.   Первый   ученик   пожимает   остальным   руки.   Судья записывает   число   произведенных   рукопожатий:   4.   Сделавший   все рукопожатия садится на свое место. Остаются у доски четверо. Один из них пожимает руки остальным и садится на место. Судья записывает: 3. Можно переспросить у садящегося на место, всем ли он пожал руки или только трем ученикам. Он ответит, что всем: самый первый пожал ему руку еще раньше. Следующему остается пожать две руки, следующему – только одну. А самый последний не должен пожимать руку никому, так как все уже пожали ему руку. Судья записал: 4, 3, 2, 1.  Сложив эти числа, получаем общее число рукопожатий: 10. всего     Ответ: 10. 24. В кастрюле сварили 2 л супа, положив в него 15 г соли. Сколько соли окажется в одной тарелке, если в нее налить 400 г супа? Решение. Так как соль растворена в супе, то можно считать, что в равных количествах супа содержатся равные количества соли. Чтобы решить задачу, нужно вычислить, какую часть всего супа составляет одна тарелка. Можно считать, что 2 л супа имеют массу 2 кг, а потому в первом действии следует 2     разделить 400 г. 2 кг : 400 г = 2000 г : 400 г = 5, поэтому одна тарелка составляет одну пятую часть   кастрюли.   Значит,   и   соли   в   тарелке   одна   пятая   часть,   то   есть 15 г : 5 = 3 г. на кг   Ответ: 3 г. 25. Компьютер   выписал   подряд   все   натуральные   числа   от   1   до   1000. Какая цифра оказалась на тысячном месте? Решение. Сначала было написано девять однозначных чисел 9 цифрами, потом еще девяносто двузначных чисел 180 цифрами. Итого после написания всех чисел от 1 до 99 было написано 189 цифр. От 1 до 999 было написано 2889 цифр.   Значит,   тысячная   цифра   содержалась   в   трехзначном   числе.   Первое трехзначное число содержало с 190­й по 192­ю цифру. Чтобы добраться до тысячной цифры надо написать 1000 – 189 = 811 цифр, начиная с числа 100. На   каждое   число   уходит   3   цифры.   Значит,   нужно   написать   811 : 3 = 270 полных чисел и еще одну цифру. 270­е число после числа 99 – это число 371. Тысячная цифра – первая цифра числа 372. Ответ: 1. 26. Сумма   трех   различных   чисел   равна   их   произведению.   Что   это   за числа? Решение. Осуществляется подбором. 1 + 2 + 3 = 1 x 2 x x 3 = 6. Ответ: 1, 2 и 3. 27. На окраску 3 кв. м пола уходит 50 г краски. Сколько краски уйдет на окраску пола в комнате площадью 12 кв. м? Решение. 12 кв. м в четыре раза больше, чем 3 кв. м, а потому на них уйдет в четыре раза больше краски: 50 г x  4 = 200 г. Ответ: 200 г. 28. Какая   цифра   в   задаче   на   вычисление   пропущена: (223 + 81912174 + 23__ + 345287) : 10? Решение. Число, стоящее в скобках, должно делиться на 10, поэтому оно должно иметь на конце цифру 0. Эта цифра получится лишь в том случае, если число 23__ будет иметь на конце цифру 6. Ответ: 6. 29. Имеется   9   кг   песка   и   гиря   в   250 г.   Как   в   три   взвешивания   на чашечных весах отмерить 2 кг песка? Ответ: 1) делим пополам 9 кг; на одной из чашек оказывается 4 кг 500 г; 2) делим пополам 4 кг 500 г; на одной из чашек оказывается 2 кг 250 г; 3) кладем на другую чашку гирю и приводим весы в равновесие, отсыпая с нее лишний вес; этот лишний вес и составит 2 кг. 30. Какой  вес можно  отмерить гирями 1, 2, 4  и 8 г, если класть гири только на одну чашу весов? Ответ: любой от 1 до 15 г. Замечание для учителя: эти числа – степени числа 2. Продолжая этот ряд гирь, мы получим возможность минимальным числом гирь отмеривать любые веса, используя для гирь одну чашку весов. 31. Двое   одновременно   отправились   из А в В.   Первый   поехал   на велосипеде,   второй   –   на   автомобиле   со   скоростью,   в   5   раз   большей скорости первого. На полпути автомобиль сломался, и оставшуюся часть пути автомобилист прошел пешком со скоростью, в два раза меньшей скорости   велосипедиста.   Успел   ли   велосипедист   помахать   ручкой автомобилисту? Решение.   Вторую   половину   пути   автомобилист   шел   столько   же   времени, сколько   потребовалось   велосипедисту   на   весь   путь.   Значит,   автомобилист прибыл в Б позже велосипедиста как раз на то время, за которое он проехал первую половину пути. То есть вначале он намного обогнал велосипедиста, а к концу пути велосипедист обогнал его, пешего. Ответ: да. 32. Расшифруй ребус: хххх – ххх = 1. Решение.   Разность   двух   чисел   равна   единице,   если   это   –   соседние   числа. Значит,  нужно   найти   два   соседних   числа,  одно   из   которых   трехзначное,  а другое четырехзначное. Это числа 999 и 1000. Ответ: 1000 – 999 = 1. 33. Коля считает, что если сумма первых трех цифр номера автобусного билета равна сумме последних трех цифр, то билет – счастливый. Билет с номером 995995 – счастливый. Какие два ближайших к нему билета тоже счастливые? Решение. Сумма первых трех цифр равна 9 + 9 + 5 = 23, и эти цифры долго не менялись.   Менялись   последние   цифры,   но   их   сумма   должна   была   также равняться 23. Первая из этих трех цифр 9 долго не менялась. Значит, нужно, чтобы   сумма   двух   последних   цифр   равнялась   14.   Перед   числом   95   такое ближайшее число 86. Что касается следующего за данным счастливого билета, то у него сумма последних цифр уже не будет равняться 23, так как у чисел 996, 997, 998 и 999 сумма цифр от 24 до 27, а после 999 сумма цифр 0, 1 и так далее. Первое число с суммой цифр 23 будет 599. Ответ: 995986 и 995599.