Статья на тему "V постулат Евклида и основные положения геометрии Лобачевского"

Артемов Александр Сергеевич V постулат Евклида и основные положения геометрии Лобачевского Содержание Аксиоматическое построение геометрии V постулат Евклида                                                     3 Свойства прямых в геометрии Лобачевского                                                                                  7 Простейшие кривые и сумма углов в треугольнике                                                                      14 Простейшие поверхности в геометрии Лобачевского                                                                  19  Значение геометрии Лобачевского                                                                                                 21  Список использованных источников                                                                                             22   2 Одним   из   первых   древнегреческих   геометров   был   Евклид,   являющийся   одним   из наиболее влиятельных математиков всех   времен. С трудов Евклида началось дедуктивное построение геометрии: из аксиом и основных понятий строятся определения, доказываются теоремы.  «Начала» («Stoicheia», другой перевод названия – «Элементы») Евклида представляют собой завершение целого ряда не дошедших до нас математических произведений. Изложение Евклида   построено   в   виде   строго   логического   вывода   теорем   из   системы   определений, постулатов и аксиом. Труд начинается с определений тех терминов, которые в ней вводятся. Можно   выделить   небольшое   число   наиболее   простых   понятий,   с   помощью   которых определяются остальные. «Исходные» же понятия настолько просты и ясны, что не требуют определения.  За определениями Евклид вводит 5 постулатов и аксиомы. Постулатами у Евклида назывались утверждения о возможности построения. Приведем их формулировки. 1. Через две точки можно провести прямую. 2. Отрезок прямой можно продолжить неограниченно. 3. Из всякого центра любым расстоянием можно описать окружность. 4. Все прямые углы равны между собой. 5.  Если две прямые, лежащие в одной плоскости, пересечены третьей и если сумма внутренних  односторонних углов меньше двух прямых, то эти прямые пересекутся с той стороны, где это имеет  место. Пятый   постулат   равносилен   так   называемой   аксиоме   параллельности   прямых.   Эта аксиома формулируется следующим образом: ”Через точку, не лежащую на данной прямой, в плоскости, определяемой этой точкой и данной прямой, можно провести прямую и притом только   одну,   не   пересекающую   данную”.   Попытки   сделать   из   этой   аксиомы   теорему позволили в XIX веке в полной мере оценить мудрость Евклида. Аксиомы  у  Евклида  –  предложения,   вводящие  отношения   равенства   и  неравенства Аксиоматическое построение геометрии величин. Приведем формулировки аксиом из первой книги. 1. Равные одной и той же величине равны между собой. 2. Если к равным придать равные, то получатся равные. 3. Если от равных отнять равные, то получатся равные. 4. Совмещаемые друг с другом равны друг другу. С помощью полученной системы понятий, постулатов и аксиом Евклид осуществляет построение своей геометрии. В дальнейшем математики не разделяли аксиом и постулатов, а общие понятия, принимаемые без доказательства, стали называть аксиомами. Последующие поколения математиков не во всем соглашались с системой аксиом и определений Евклида и пытались ее улучшить. Например, IV постулат удалось доказать как теорему,   исходя   из   остальных   аксиом.   В   то   же   время,   система   аксиом   Евклида   не   была полной,   в   ней   отсутствовали,   например,   аксиомы   непрерывности   и   порядка,   происходила апелляция   к зрительному  восприятию  чертежей,   что  иногда  вызывало   грубейшие  ошибки. Постепенно, к концу  XIX  века выявились принципы аксиоматического метода и основные требования к системе аксиом. Их можно изложить довольно кратко следующим образом: А)   Вводится   в   рассмотрение   некоторое   основное   множество   (и,   может   быть,   его подмножества), элементы которого получают свои наименования или обозначения (например, точки А, В, …, прямые а, b, … и плоскости , , … и т.п.). Б) Допускается, что эти элементы могут находиться в некоторых основных отношения друг   к   другу   (например,   точка   лежать   между   двумя   другими).   Эти   отношения   только называются, но их конкретный смысл никак не определяется. 3 В) Формулируются  аксиомы,  которые  характеризуют   свойства   введенных  основных отношений между элементами. В   математических   выводах   следует   опираться   только   на   логические   следствия   из аксиом. Но, чтобы эта система  аксиом могла служить основой для логически выводимой содержательной   теории   (т.е.   не   такой   теории   в   которой   вместе   с   утверждением   можно доказать его отрицание), к ней предъявляются определенные требования: 10. Система аксиом должна быть непротиворечивой. 20.   Система   аксиом   должна   быть   независимой.   Это   требование   не   обязательно,   но желательно. В системе не должно содержаться аксиом, доказываемых как теоремы, исходя из остальных аксиом. 30. Система аксиом должна быть полной. Это требование не всегда предъявляют к системе   аксиом.  Во  многих  теориях  от  него отказываются   (например,  в  алгебре),   но  при аксиоматизации евклидовой геометрии оно обязательно. Системы аксиом рассматриваются в какой­либо   интерпретации   (модели),   при   этом   в   каждой   интерпретации   элементы   и отношения могут истолковываться по­своему. Требование полноты системы аксиом состоит в том,   чтобы   все   интерпретации   были   изоморфны,   т.е.   между   основными   элементами   и отношениями в любых двух интерпретациях можно было установить взаимно однозначное соответствие, приводящее соответственные элементы в соответственные соотношения. Система аксиом у Евклида не удовлетворяет этим принципам. Наиболее известным из изложений   геометрии,   удовлетворяющих   вышеизложенным   требованиям,   являются «Основания   геометрии»,   опубликованные   в   1899   г.   немецким   математиком   Давидом Гильбертом. В аксиоматике Гильберта не определяются понятия «точка», «прямая», «плоскость» и отношения между ними, выражаемые словами «между», «лежит», «конгруэнтен». Аксиомы Гильберта делятся на 5 групп. I  группа   состоит   из   8   аксиом   принадлежности   (соединения),   которые   описывают отношение «принадлежности» («лежит»). А1. Для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из этих двух точек. каждую из этих двух точек. А2. Для двух различных точек существует не более одной прямой, проходящей через Эти   две   аксиомы   частично   соответствуют  I  и  II  постулатам   Евклида,   частично   – аксиоме, добавленной древним комментатором Евклида в качестве девятой аксиомы. А3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. А4.   Для   любых   трех   точек,   не   лежащих   на   одной   прямой,   существует   плоскость, проходящая через каждую из этих трех точек. На каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка. А5. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через каждую из этих трех точек. А6. Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости , то всякая точка этой прямой а лежит в . А7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку. А8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Последние пять аксиом обеспечивают геометрии выход в пространство и ограничивают размерность пространства ­ оно трехмерное. Следующая группа аксиом – аксиомы порядка, описывают отношение «между». 4 А9. Если точка В лежит между точкой А и точкой С, то точки А, В и С – различные точки одной прямой и точка В лежит также между точкой С и точкой А. А10. Для любых двух точек  А  и  В  на прямой  АВ  существует по крайней мере одна точка С такая, что В лежит между А и С. А11. Среди любых трех точек прямой существует  не более  одной точки, лежащей между двумя другими. А12. (Аксиома Паша). Пусть  А,  В,  С  –точки, не лежащие на одной прямой и  а  – прямая в плоскости АВС, не проходящая ни через одну из этих точек. Тогда, если прямая а проходит через внутреннюю точку отрезка  АВ, то она проходит через внутреннюю точку отрезка АС или внутреннюю точку отрезка ВС. Третья группа содержит 5 аксиом отношения «конгруэнтность» (Гильберт обозначает его «»). А13. Если даны отрезок АВ и луч ОХ, то на луче ОХ существует точка В такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку ОВ. А14. Если отрезок АВ конгруэнтен отрезку АВ и отрезок АВ конгруэнтен отрезку АВ, то отрезок АВ конгруэнтен отрезку АВ. А15. Пусть АВ и ВС – два отрезка на прямой, не имеющие общих внутренних точек, а АВ и ВС – два отрезка на той же или другой прямой, тоже не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если отрезок АВ конгруэнтен отрезку АВ и отрезок ВС конгруэнтен отрезку В С, то отрезок АС конгруэнтен отрезку АС. А16. Пусть даны угол АОВ, луч ОА и полуплоскость П, ограниченная прямой ОА . Тогда в полуплоскости П существует один и только один луч ОВ такой, что угол АОВ конгруэнтен углу АОВ. Кроме того, каждый угол конгруэнтен самому себе. А17. Если для треугольников АВС и АВС имеют место отношения АВАВ, АСА С и ВАСВАС, то АВСАВС. Из   последней   аксиомы   следует   первый   признак   конгруэнтности   треугольников, соответствующий принятому в школьном курсе первому признаку равенства треугольников. В IV группу входят 2 аксиомы непрерывности. А18.  (Архимеда)  Пусть  АВ  и  СD  – два каких­нибудь отрезка. Тогда на прямой  АВ существует конечное множество точек А1,А2,…,Аn­1,Аn таких , что точка А1 лежит между А1 и А2, А2 – A1 и А3, и т.д., причем отрезки АА1, А1А2, …,Аn­1Аn конгруэнтны отрезку СD и точка В лежит между точками Аn­1 и Аn. А19.  (Кантора)  Пусть на прямой  а  дана бесконечная последовательность  отрезков А1В1, А2В2, …, удовлетворяющая двум условиям: а) каждой последующий отрезок есть часть предыдущего; б) для любого наперед (заранее) заданного отрезка СD найдется такое натуральное n, что АnВn<СD.  последовательности. следующим образом: Тогда   на   прямой  а  существует   точка  М,   принадлежащая   каждому   из   отрезков V  группа   состоит   из   1   аксиомы   –   аксиомы   параллельности.   Формулируется   она А20. Пусть даны прямая а и точка А вне прямой а. Тогда в плоскости, определяемой этой прямой а и этой точкой А, существует не более одной прямой проходящей через точку А и не пересекающей прямую а. Аксиомы   изложены   в   порядке,   принятом   в   современной   геометрии.   Он   несколько отличается от порядка, предложенного Гильбертом: единственное его отличие состоит в том, 5 что   у   Гильберта  IV  группу   аксиом   составляла   аксиома   параллельности,   а   аксиомы непрерывности были помещены в V группу. Система   аксиом   Гильберта   обладает   свойством   непротиворечивости,   если непротиворечива арифметика действительных чисел. Кроме того, она обладает свойствами полноты и независимости.  Если в системе аксиом, удовлетворяющей вышеперечисленным требованиям, заменить одну  или  несколько   аксиом   так,  чтобы  новая  система   аксиом   также  удовлетворяла  этим требованиям,   то   на   основе   полученной   системы   аксиом   можно   построить   логически выводимую   содержательную   теорию.   Заменив   аксиому   параллельности   Евклида   своей, Лобачевский создал новую геометрию. Подробнее об этом в следующем разделе. V постулат – ключ к созданию геометрии Лобачевского V постулат Евклида не был столь очевиден, как остальные аксиомы, поэтому в течение двух   тысячелетий   многие   математики   пытались   доказать   его   как   теорему,   исходя   из остальных аксиом. Надежды на успех подогревались доказательством IV постулата, однако V постулат   остался   неприступен:   все   попытки   окончились   провалом,   т.к.   каждый   из математиков вводил некоторое предположение, равносильное  V  постулату. Было доказано, что V постулат равносилен аксиоме параллельности (A20 системы Гильберта) и следующим утверждениям: а) Сумма углов в треугольнике равна ; б) Существует хотя бы один треугольник, сумма углов в котором равна ; в) Существуют хотя бы два подобных, но не равных треугольника; Безуспешные   попытки   доказать   пятый   постулат   предпринимали   известные математики: Посидоний (I в. до н.э.), Прокл (5 в. н.э.), ал­Джаухари (IX в. н.э.) , Сабит Ибн Корра (836­901 г.г.), Ибн Аль­Хайсам (965­1039 г.г.), Омар Хайям (ок. 1048­после 1122 г.г.). Мы подробно остановимся лишь на 3 попытках, т.к. они имели большое значение для создания новой системы геометрии. Джон Валлис (1616­1703 г.г.) допустил существование подобных, но не равных друг другу   треугольников   и,   опираясь   на   пропорциональность   их   сторон,     доказал,   что перпендикуляр   и   наклонная,   проведенные   к   одной   прямой,   пересекутся.   Тем   самым   он доказал   пятый   постулат   Евклида.   Но   существование   подобных,   но  не   равных   друг  другу треугольников является новой аксиомой, равносильной пятому постулату. Итальянский   математик  Саккери,   рассматривал   четырехугольник   с  тремя  прямыми углами   (рис.   1).   Четвертый   угол    мог   оказаться   прямым,   тупым   или   острым.   Саккери установил, что гипотеза прямого угла, т.е. утверждение о том, что угол   всегда равен 900, позволяет доказать V постулат. Гипотезу тупого угла Саккери отверг при помощи строгого рассуждения, однако доказать, что и гипотеза острого угла неверна, он не смог. 900 900  900 Рис. 1 6 Французский   математик   Адриен   Лежандр   (1762­1833   г.г.)   совершил   несколько попыток   доказать   пятый   постулат.   Однако   при   публикации   нового   доказательства  V постулата он признавал, что в предыдущем издании использовал некоторое утверждение, не сформулированное им явно, в действительности эквивалентное пятому постулату. Приведем краткое описание одной из его попыток. Пусть  а  и  b  –   две   прямые,   перпендикулярные   одной   и   той   же   третьей   прямой   и пересекающие ее в точках А и В, соответственно (рис. 2). Допустим, что постулат Евклида неверен и через точку А можно провести еще одну прямую а параллельную b. Симметричная ей относительно АВ прямая а также не пересекает прямую b. 7  а А Рис. 2 а  а Рассматривая  два получающихся  острых угла    и    (симметричных  друг другу), Лежандр доказывает, что прямая а, как при продолжении ее вправо, так и при продолжении ее влево все более удаляется от прямой b. Но прямые а и b не могут вести себя так: если они не пересекаются, то должны находиться на ограниченном расстоянии друг от друга на всем своем протяжении. Однако это утверждение является новой аксиомой, равносильной пятому постулату. В b В начале XIX века предпринял попытку доказать пятый постулат русский математик профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский. В своих исследованиях он углубился в следствия, вытекающие из гипотезы о том, что сумма углов треугольника меньше , т.е. гипотезы острого угла Саккери. Вскоре он пришел к мысли о замене аксиомы параллельности   ее   отрицанием.   Если   бы   в   полученной   при   этом   геометрии   оказались противоречия, значит, аксиома параллельности и равносильный ей пятый постулат Евклида зависят от остальных аксиом и могут быть доказаны исходя из них. Если же новая система аксиом была бы непротиворечивой, то отсюда вытекала бы недоказуемость пятого постулата.  Заменив аксиому параллельности следующей аксиомой: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, более одной прямой, не пересекающей данную прямую», Лобачевскому удалось построить систему новой геометрии, непротиворечивость которой была доказана в 1868 году уже после смерти гениального ученого. Отметим,   что   все   аксиомы   и   теоремы,   не   зависящие   от   проблемы   параллелей, одинаковы  в обеих  геометриях  и составляют,  по современной  терминологии,  абсолютную геометрию. Подход   Лобачевского   к   проблеме   параллелей   (замена   аксиомы   ее   отрицанием)   в дальнейшем лег в основу метода доказательства независимости системы аксиом. Свойства прямых в геометрии Лобачевского В   геометрии   Лобачевского   нередко   применяется   аксиома   Дедекинда,   которая формулируется следующим образом: «Если  точки  отрезка  разбиты  на 2  класса,   лежащих   раздельно  (т.е.  так, что точки одного   класса   лежат   по   одну   сторону   от   каждой   точки   другого),   то   существует   точка, делящая этот отрезок на два отрезка, на одном из которых лежат точки одного класса, а на другом ­   только точки другого класса». Эта аксиома является сильной аксиомой: из нее вытекают аксиомы Архимеда и Кантора (А18 и А19 системы Гильберта). При   помощи   этой   аксиомы   можно   получить    теорему,   аналогичную   этой   аксиоме, например,   об   угле,   формулировка   которой   получается   из   аксиомы   Дедекинда   заменой термина «отрезок» ­ углом, а термина «точка» ­ лучом угла. 8 Необходимо отметить, что сам Лобачевский, уделяя много внимания вопросам анализа простейших   понятий   и   обоснования   геометрии,   обычно   ограничивался   ссылками   на   те простейшие теоремы и аксиомы, которые он использовал, но нигде не выделял явно системы аксиом. Лишь в сочинении «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» он дает систематическое доказательство теорем, не зависящих от пятого постулата. К числу теорем и свойств абсолютной геометрии относят теорему о внешнем угле треугольника, соотношение больше   или   меньше   между   сторонами   и   углами   треугольника,   свойства   равнобедренного треугольника, единственность перпендикуляра, проведенного из данной точки к прямой и т.п.  Из постулата (также называемого аксиомой) Лобачевского следует, что через данную точку   вне   прямой   проходит   бесконечное   множество   прямых,   не   пересекающих   данную прямую. Применяя теорему об угле на основе аксиомы Дедекинда, получаем, что существует граничная прямая  AA и симметричная ей относительно перпендикуляра PQ, опущенного из этой  точки  Р  на прямую  ВВ  в  точку  Q, прямая  DD, разделяющие  класс  пересекающих прямых, лежащих в углах APD и APD, от класса непересекающих, проходящих внутри углов APD и DPA (рис 3).   А С D В Р  Q Рис. 3. D С А В Граничные   прямые   не   пересекают  ВВ.   Докажем   это   для   прямой  АА.   Пусть  АА пересекает ВВ в точке S (рис. 4). На прямой ВВ возьмем точку Т, лежащую правее точки S, и проведем прямую РТ. Эта прямая проходит внутри углов APD и DPA, поэтому она не пересекает  ВВ, таким образом, получили противоречие. Итак, через одну точку проходят прямые трех типов относительно данной прямой: 1) Прямые, пересекающие прямую ВВ и проходящие внутри углов APD и DPA. 2) Прямые,  АА  и  DD.   Они   называются   параллельными   прямой  ВВ,   причем  АА параллельна ВВ в направлении ВВ, а DD параллельна ВВ в направлении ВВ. 3) Прямые,   проходящие   внутри   углов  APD  и  DPA.  Лобачевский   назвал   их разводными, но в современной геометрии их принято называть расходящимися с прямой ВВ. Это название будет пояснено ниже. Острый угол  QPA  называется углом параллельности для отрезка  PQ  (рис 3). Если допустить, что угол параллельности прямой, то две параллели сливаются в одну прямую СС, единственную параллель к прямой ВВ, но в двух направлениях, то есть имеет место аксиома параллельности   Евклида.   Таким   образом,   геометрия   Евклида   может   быть   получена   как предельный случай геометрии Лобачевского. 9 А D Р Q D B S Т B А Рис. 4. Рассмотрим основные свойства параллельности прямых на плоскости Лобачевского.  10. Аксиома параллельности Лобачевского утверждает, что на плоскости через данную точку Р проходит единственная прямая АА, параллельная данной прямой ВВ в заданном на ней направлении ВВ. Если Р не лежит на прямой ВВ, то угол параллельности острый. 20. Прямая сохраняет свойство параллельности во всех своих точках. Чтобы  доказать, например,  что прямая  АА  в точке  М  параллельна  прямой  ВВ  в направлении ВВ, необходимо: 1) Установить факт не пересечения этих прямых. 2) Показать, что АА в точке М является граничной прямой. Последнее   обычно   доказывается   следующим   образом   («критерий   угла»).   Проводят MQ, пересекающую ВВ, и рассматривают угол AMQ, который своим отверстием обращен в сторону параллельности. Если каждый луч с началом в точке  М, проходящий внутри этого угла, пересекает луч  QB, то прямая  АА  параллельна прямой  ВВ  в токе  М  в направлении ВВ. Исходя из приведенного метода, докажем свойство 20. Пусть прямая  АА  в точке  Р параллельна прямой  ВВ  (см. рис 5). Рассмотрим сначала случай, когда точка  М  лежит на полупрямой  РА. Выберем произвольную точку  Q  на прямой  ВВ  и соединим  М  с  Q.  МА лежит на прямой АА и поэтому не пересекает ВВ. Построим прямую MS, входящую в угол QMA и выберем на полупрямой MS точку С. Так как РА параллельна ВВ в точке Р, то РА ­   граничная   прямая   и  РС  пересекает  ВВ  в   некоторой   точке  D.   Прямая  MS  пересекает сторону PD треугольника PQD, PQ она пересечь не может, т.к. входит в QMA. Значит, по аксиоме   Паша (А12  системы   аксиом  Гильберта),  MS  пересекает  сторону  QD  в  некоторой точке К, т.е. любая прямая, проходящая через точку M и входящая в угол QMA, пересекает АА в точке К, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай, когда М лежит на полупрямой РА.  Учитывая доказанное, в дальнейшем будем просто говорить о параллельности двух прямых,   не   указывая   точку,   в   которой   имеет   место   факт   параллельности,   а   направление параллельности будем указывать в названии прямой. 30.   Свойство   взаимности   параллелей.   Если   прямая  l  параллельна   прямой  m  в определенном направлении, то и m параллельна l в соответственном направлении. 40.   Свойство   транзитивности   параллелей.   Если  l  и  m  параллельны  n  в   одном направлении, то они параллельны друг другу в соответственных направлениях. 10 P A B Q M S C K A B D Рассмотрим угол параллельности. Изучим, как он изменяется при приближении точки Рис. 5. Р к прямой ВВ.  ВВ, то  QB Пусть  Р1  лежит   между  Р  и  Q  (рис.   6).   Проведем  Р1R1PQ  и  QR  Р1R1.   Так   как РА  PA  (по свойствам 20  и 30), и, значит,  QR  будет уже секущей прямой и пересечет  РА в некоторой точке S.  P1R1  пересекает сторону  PQ треугольника  PQS, но не может пересечь  QS  по построению, поэтому по аксиоме Паша пересекает  PS. Пусть через точку Р проходит прямая РТ  Р1R1. Тогда, поскольку РА пересекает Р1R1, то луч РА лежит внутри   угла   параллельности   для   отрезка  РР1.   Учитывая,   что   углы   параллельности   для отрезков РР1 и PQ имеют общую сторону PQ, получаем, что угол QPA лежит внутри угла QPT.   Таким   образом,   при   уменьшении   отрезка   угол   параллельности   увеличивается. Лобачевский для угла параллельности для отрезка х вводит функцию П(х). В его геометрии получаем, что функция =П(х) – монотонно убывающая функция длины отрезка, причем при х=0 она имеет значение /2.  Р Р1 K R1 T R S A Докажем,   что,   если   угол   параллельности   постоянный,   то   имеет   место   геометрия B Евклида.  Q B Рис. 6. 11  РА. Тогда  РА  Р1R1  и  QR  P1R1    PA  QR. Итак, получаем, что  QR  PA,   т.е.  QR  и  QB  совпадают.  В  этом   случае  Р1R1 Если для отрезков РР1 и PQ в точке Р углы параллельности равны, то РТ совпадает с  РА  и РА  и  P1R1  QR),   угол QB параллельности для отрезка Р1Q равен  (т.к. Р1R1РQ по построению). Прямая Р1K  QB составляет с Р1Q такой же угол, что и Р1R1 (равный углу параллельности для отрезка P1Q1), то есть P1KP1Q. Через данную точку проходит только один перпендикуляр к данной прямой (это теорема абсолютной геометрии), поэтому прямые P1K и Р1R1 совпадают. Таким образом, получили,  что прямая  Р1R1  параллельна  прямой  ВВ, то есть в этом случае  имеет место геометрия Евклида.  QB  (т.к.  P1R1 Для   дальнейшего   рассмотрения   свойств   прямых   в   геометрии   Лобачевского необходимо доказать ряд дополнительных теорем.  Введем понятия дефектов треугольника и многоугольника. В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше  , поэтому дефект треугольника  АВС DABC=­SАВС, где SАВС    ­   сумма   углов  АВС.   Аналогично   вводится   дефект  n­угольника  DA1A2A3…An=(n­2)­ SA1A2A3…An. Если многоугольник разбит ломаными на несколько многоугольников, то дефект полного многоугольника равен сумме дефектов его частей. Докажем   теперь   теорему:   «Для   каждого   острого   угла   существует   прямая, перпендикулярная к одной его стороне и параллельная другой».  Рассмотрим перпендикуляры, восстановленные к стороне OQ острого угла POQ (см. рис 7). Среди них существуют такие, которые пресекают сторону  ОР  (достаточно опустить перпендикуляр из какой­нибудь точки луча ОР на ОQ). Р В3 В2 В1 В О А А1 А2 А3 Q Предположим, что все перпендикуляры к ОQ пересекают ОР. Рассмотрим на луче ОQ ряд   точек  А,   А1,   А2,…,   Аn,   такой   что  АА1=ОА,  А1А2=ОА1,  А2А3=ОА2,   …,Аn­1An=OAn­1. Перпендикуляры, восстановленные в точках А, А1, А2,…, Аn к стороне ОQ пересекут луч ОР в точках В, В1, В2,…, Вn, соответственно. Рис. 7 Обозначая дефект треугольника ОАВ через D, имеем: DOA1B1=DOBA1+DBA1B1=2DOAB+DBA1B1>2D, DOA2B2=DOB1A2+DB1A2B2=2DOA1B1+DB1A2B2>22D, ………………………………………………… DOAnBn=DOBn­1An+DBn­1AnBn=2DOAn­1Bn­1+DBn­1AnBn>2nD. 12 Увеличивая  n, получим треугольник  ОАnBn, у которого дефект превышает  любое число, а это невозможно, т.к. дефект любого треугольника меньше  по определению. Итак, предположение   неверно   и   среди   перпендикуляров   к   стороне  OQ  существуют   не пересекающие сторону ОР.  Рассмотрим один из них – MN (см. рис. 8). Если он параллелен ОР, теорема доказана. В противном случае разбиваем точки отрезка ОМ на два класса. К первому отнесем те точки,   в   которых   перпендикуляры   пересекают  ОР,   ко   второму   –   те,   в   которых перпендикуляры  не пересекают  ОР. Ясно, что левее  каждой  точки первого  класса  лежат только точки первого же класса, т.е. классы лежат раздельно: второй класс лежит правее первого.  Таким   образом,  это  классы   Дедекинда.  Применяя  аксиому  Дедекинда,   получаем точку D, разделяющую эти классы. P R E N K О L D M Q Рис. 8. Покажем, что перпендикуляр DE к ОQ параллелен ОР. Он не может пересечь ОР, так как, если бы DE пересекал ОР в точке F, то, опуская из точки G, лежащей на ОР правее F, перпендикуляр  GJ  на  OQ, получим точку  J  первого класса, лежащую правее  D. Остается показать, что любой луч  DK, проходящий внутри угла  ODE, пересекает  ОР. Опуская из какой­нибудь точки  DK  этого луча перпендикуляр  KL  на  OQ, получаем точку  L  первого класса, т.е. KL пересекает ОР в некоторой точке R. Прямая DK, пересекающая сторону LR треугольника  ORL,   по   аксиоме   Паша   должна   пересечь   отрезок  OR.   Таким   образом, перпендикуляр DE действительно параллелен ОР. Теорема доказана. Эта теорема имеет очень важное следствие. Следствие   1.  Любой   острый   угол   является   углом   параллельности   для   некоторого отрезка. В самом деле, POQ=П(OD). Из приведенных выше теоремы и ее следствия следует, что функция  П(х)  является монотонной, и при возрастании х от 0 до + она убывает от  до 0. Лобачевский нашел для этой  функции  следующее  уравнение: tg(/2)=e­x/k. Откуда следует, что П(х)=2arctg(e­x/k), где е  – число Эйлера, а  k  – длина некоторого постоянного отрезка, названного в последствии радиусом кривизны пространства. Если k, то в пределе , и мы получаем геометрию Евклида. Две различные прямые на плоскости могут образовывать пару одного из трех типов: пересекающиеся, расходящиеся или параллельные. Рассмотрим их особенности. 13 1.  Прямые   пересекающиеся.  Из   предыдущей   теоремы   следует,   что   прямая  m, пересекающая в точке S прямую l под любым острым углом , проектируется ортогонально на  l  в   виде   интервала  АВ,   где  AS=SB  –   отрезки,   для   которых   угол    служит   углом параллельности (см. рис. 9). Другое их свойство такое же, как и в евклидовой геометрии: расстояние от точки одной прямой до другой прямой неограниченно возрастает при удалении рассматриваемой точки пересечения. 2.  Прямые расходящиеся. Они имеют один общий перпендикуляр. По обе стороны перпендикуляра   прямые   расходятся,   и   притом   неограниченно.   Каждая   из   расходящихся прямых ортогонально проектируется на другую в виде интервала А  S  Рис. 9 В 3. Прямые параллельные. В направлении параллельности расстояние от точек одной прямой до другой прямой делается сколь угодно малым, а в противоположном направлении это   расстояние   неограниченно   возрастает   (см.   рис.10).   При   этом   найдется   такой перпендикуляр к одной прямой, который будет параллелен другой прямой в направлении, противоположном исходному направлению параллельности. R A  P Рис. 10. B 14 Необходимо   отметить,   что,   как   показали   исследования,   проведенные   Лобачевским, наше   физическое   пространство   по   свойствам   или   евклидово,   или   очень   мало   от   него отличается (радиус кривизны k>3105 R, где R – длина большой оси орбиты Земли) и сумма углов треугольника, имеющего размеры порядка поперечной оси земной орбиты не может иметь отклонения от 180  больше, чем на 0,000004. Оперируя с чертежом, мы вынуждены ограничиться его малыми размерами,  а отклонения от «евклидовости»  будут проявляться только   при   очень   больших   протяжениях.   Поэтому,   для   наглядности   обычно   принято изображать   прямые,   слегка   их   искривляя,   чтобы   выразить   характер   их   сближения   или U расхождения на плоскости Лобачевского. A Q B  Трем   типам   пар   прямых   соответствуют   три   пучка   прямых,   каждый   из   которых покрывает всю плоскость. 1. 2. 3. Пучок первого рода – множество всех прямых плоскости, проходящих через одну точку. Эта точка называется центром пучка (рис 11, а). Пучок второго рода ­ множество всех прямых плоскости, перпендикулярных к одной прямой. Эта прямая называется базой пучка (рис. 11, б). Пучок   третьего   рода   ­   множество   всех   прямых   плоскости,   параллельных одной   прямой  l  в   заданном   на   ней   направлении,   причем   прямая  l  тоже включается в это множество. Любые две прямые такого пучка параллельны между собой в направлениях, соответственных заданным (рис. 11, в). а) б) l в) Рис. 11. Простейшие кривые в геометрии Лобачевского С помощью трех типов пучков получают аналоги окружностей плоскости Евклида. Для этого достаточно рассмотреть ортогональные траектории пучков, т.е. линии, пересекающие все прямые пучка под прямым углом. 1.  Окружность  в   собственном   смысле   слова   –   ортогональная   траектория   прямых пучка первого рода (рис.12). Возможны любые размеры радиуса. 2. Эквидистанта, или линия равных расстояний – ортогональная траектория прямых пучка   второго   рода,   база   сюда   не   включается   (рис.13).   Доказывается,   что   все   точки эквидистанты находятся на постоянном расстоянии от базы. Эта линия вогнута в сторону базы   и   незамкнута.   В   интерпретации   Клейна   геометрии   Лобачевского   эквидистанту рассматривают как окружность с идеальным центром, т.е. с центром, лежащим за бесконечно удаленными точками. 15 Рис. 12.                                                   Рис.13. 3. Предельная линия, или орицикл – ортогональная траектория прямых пучка третьего рода   (рис.   14.).   Она   обладает   замечательными   свойствами.   Прежде   всего,   орициклы конгруэнтны.   Вообще,   две   кривые   называются   конгруэнтными,   если   между   точками   этих кривых можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором   каждая хорда одной кривой конгруэнтна соответственной (т.е. соединяющей соответственные точки) хорде другой.  A  a A S S B  B a Рис. 14. Кроме того, орициклы не замкнуты и вогнуты в сторону параллельности. Предельную линию можно рассматривать как окружность с бесконечно удаленным центром. Доказывается, что две предельные линии, построенные для одного и того же пучка, высекают на прямых этого пучка конгруэнтные отрезки: AABB. Таким образом, орициклы  концентричны. Но и это еще не все свойства! Отношение длин дуг орициклов, заключенных между двумя прямыми пучка, является показательной функцией расстояния a между дугами: S/S=eak Докажем   теорему,   связанную   с   аналогами   окружности:   «Никакие   три   точки окружности, эквидистанты, орицикла не лежат на одной прямой». Если бы три точки A, B, C какой­нибудь из этих линий лежали на одной прямой a, то три прямые соответствующего пучка P были бы перпендикулярны прямой a. Таким образом, пучок  P  принадлежал  бы ко второму роду, а прямая  a  являлась бы его базой. Получили противоречие:   окружность   и   орицикл   не   являются   ортогональными   траекториями   пучка второго рода, а случай эквидистанты также невозможен, так как все точки эквидистанты находятся на постоянном расстоянии от базы, поэтому база и эквидистанта не пересекаются. 16 Особенно важно отметить, что каждый из аналогов окружности может скользить по самому   себе,   при   этом   произвольная   точка   линии   может   совместиться   с   любой   другой, принадлежащей   данной   линии.   Аналогичное   свойство   в   геометрии   Лобачевского   имеет прямая, а в геометрии Евклида – прямая и окружность. Если в геометрии Лобачевского при этом скольжении  вместе  с обобщенной окружностью (т.е. аналогом  окружности  Евклида) заставить двигаться всю плоскость, то возникают три типа вращения плоскости. 1. Вокруг собственного центра. 2. Вокруг идеального центра (в этом случае одна из траекторий будет прямой линией, а остальные – эквидистанты). Движение плоскости, возникающее при скольжении плоскости по самой себе, не отличается от этого типа вращения.  3. Вокруг бесконечно удаленного центра. В этом случае все траектории между собой конгруэнтны,  так как это предельные линии, но длины пройденных дуг различны. Рассмотрим теперь очень важный вопрос, связанный с решением проблемы параллелей: сумма углов в треугольнике. Сначала докажем две леммы. Сумма углов в треугольнике 17 Лемма 1. Сумма углов треугольника не может быть больше .  Докажем ее от противного. Предположим, что сумма углов треугольника ABC равна +. Пусть BAC= ­ наименьший угол этого треугольника (рис. 15). Проведем медиану AD и   отложим   на   ее   продолжении   за  точку  D  отрезок  DB1AD.   Из  BDDC,  ADBB1DC следует, что DB1CDAB, DCB1DBA. Таким образом, в AB1C (назовем его первым выводным треугольником) сумма углов также равна  +, сумма двух углов с вершинами в конечных точках удвоенной медианы исходного треугольника равна  , а наименьший угол /2. Из первого выводного треугольника аналогичным построением получаем второй. В нем сумма  углов по­прежнему  равна  +, сумма  двух углов  с вершинами  в конечных точках удвоенной медианы первого выводного треугольника равна  /2, а наименьший угол  /22. Продолжая этот процесс далее, получим ряд выводных треугольников. В  n­м треугольнике сумма углов по­прежнему равна  +,  сумма  двух  углов  с  вершинами  в  конечных  точках удвоенной  медианы (n­1)­ого выводного треугольника равна /2n­1. Если взять n достаточно большим,   то  /2n­1  будет   меньше    и   третий   угол   этого   треугольника   будет   больше  . Получили противоречие. В D В 1 А С Рис. 15 С Докажем теперь лемму 2: «Если в каком­нибудь треугольнике сумма углов равна , то это имеет место и во всяком другом треугольнике».  Пусть в треугольнике  ABC  сумма углов равна    (рис. 16). Выберем на одной из сторон, например AC, точку D и соединим ее с противоположной вершиной B. Тогда сумма углов в треугольнике  ABC   SABC = SABD + SBDC  ADB + BDC). По теореме о внешнем угле  BDC  =  BAС  +  ABD  и  ADB  +  BDC  =  ADB  +  BAС   +  ABD  =  SABD. Используя полученные соотношения, находим SABC = SABD + SBDC  SABD = SBDC = . Аналогично находим SABD = . K B C A D Рис. 16. Выберем   теперь   точку   на  продолжении   стороны   треугольника:   точка    K  лежит   на   проведем  AK.   Тогда  SAKC=SAKB+SABCKBA+ABC. продолжении   стороны  BC  и   18 Расписывая  SAKB  и   применяя   к  AKB  и  ABC  теорему   о     внешнем     угле,   находим SAKC=AKB+KAB+ABK+SABCKBA+KAB+AKB=SABC=.   Применяя   к  AKB    и ABC рассуждение, аналогичное первой части теоремы, находим, что SAKB=. Продолжая процесс деления и увеличения полученных треугольников, можно получить любой   наперед   заданный   треугольник,   так   как   точки   на   сторонах   треугольника   и   их продолжениях выбираются произвольно, причем его сумма углов равна . Лемма доказана. Докажем   теперь   теорему   о   сумме   углов   треугольника:   «Если   сумма   углов треугольника равна , то имеет место постулат Евклида, если же она меньше , то справедлив постулат Лобачевского. Имеет место и обратное предложение». Прежде всего, покажем, что если сумма углов треугольника равна , то через точку P можно   провести   прямую,   образующую   с   прямой  BB  (AAPQ  и  BBPQ)   сколь   угодно малый угол и пересекающую AA (рис.17). Так как в одном треугольнике  сумма углов равна , то и во всех треугольниках сумма углов равна    (лемма 2). Построим  QQ1=PQ, тогда BPQ1=/4. Откладываем  Q1Q2=PQ1, тогда  BPQ2=/23. Затем продолжаем этот процесс: строим отрезки  Q2Q3=PQ2,    Q3Q4=PQ3, …,  Qn­1Qn=PQn­1.  Получаем лучи  PQ3,  PQ4, …,  PQn, образующие с лучом  PB  углы  /24,  /25, …,  /2n+1. При увеличении   n   мы можем, таким образом, получить угол, меньший любого заданного. B P A Q Q1  R Q2 Рис. 17. B  Qn A  Теперь уже просто доказать постулат Евклида. Пусть некоторый луч  PR  образует с PB угол . Выбирая n достаточно большим (так, чтобы /2n+1), мы получим треугольник PQQn, причем луч PR проходит внутри угла QPQn, т.е. пересекает сторону QQn. Рассмотрим теперь предположение, что сумма углов треугольника меньше . Покажем, что имеются прямые, отличные от BB, проходящие через точку P и не пересекающие AA. Соединим   некоторую   точку  M    прямой  AA  c  P  и   проведем   луч  PR  так,   чтобы MPR=PMQ.   Из   предположения   о   сумме   углов   треугольника   вытекает,   что MPB=QPR, т.е. луч PR пройдет внутри MPB. Этот луч не пересекает AA, так как в противном   случае   получился   бы   треугольник,   у   которого   внешний   угол  QMP  равен внутреннему углу MPR, с ним не смежному. Таким образом, первая половина теоремы доказана. Докажем вторую часть теоремы. Если справедлив постулат Евклида, то случай, когда сумма углов треугольника больше   невозможен в силу леммы 1, случай суммы углов меньше  также невозможен, так как в этом случае  согласно  первой  части теоремы  справедлив  постулат  Лобачевского, а  не Евклида. Остается случай, когда сумма углов равна . Аналогично доказывается, что, если справедлив постулат Лобачевского, то сумма углов треугольника меньше . Теорема доказана. 19 Особенности треугольников в геометрии Лобачевского При   рассмотрении   треугольников   в   геометрии   Лобачевского   наибольший   интерес представляют соотношения между его элементами (углами и сторонами) и его площадь. Рассматривая   треугольники,   Лобачевский   выводит   для   них   тригонометрические соотношения. Однако полученные формулы сложнее аналогичных у Евклида: они содержат гиперболические   функции,   хотя   Лобачевский   нашел   эти   соотношения   через тригонометрические функции от угла параллельности. Введем гиперболические функции. По определению гиперболический синус sh(x)(ex­e­ x)/2, гиперболический косинус ch(x)(ex+e­x)/2,  гиперболический тангенс thxshx/chx(ex­e­x)/ (ex+e­x).Тогда для треугольника со сторонами a, b, c и углами , , С (рис.18) получаем теорему синусов: a k A sh sin b k B sh sin  c k C sh sin  и теорему косинусов c ch c k  ch a k ch b k  sh a k sh b k cos C                              Рис.18 A B b a C В геометрии Лобачевского площадь треугольника зависит только от его дефекта, т.е. от   величины   его   углов:  k2DABCk2(­A­B­C).   Из   формулы   следует,   что   площадь треугольника будет наибольшей и равной k2, если A+B+C=0, т.е. A=0, B=0, C=0. Это может иметь место только в том случае, когда все три вершины удалены в бесконечность, т.е.   стороны   параллельны.   Такой   обобщенный   треугольник   (рис.   19)   называется асимптотическим, или несобственным. Любой треугольник с собственными вершинами будет иметь площадь меньшую, чем асимптотический, хотя разность этих площадей может быть сделана   сколь   угодно   малой.   Таким   образом,   наибольшего   по   площади   треугольника   с вершинами на конечном расстоянии не существует. Рис. 19 Отметим, что в сферической  геометрии, которая тоже является неевклидовой,  площадь треугольника R2DABCR2(A+B+C­), где DABC –угловой избыток  треугольника ABC, а R­радиус сферы. Необходимо   заметить,   что   сам   Лобачевский   видел   непротиворечивость   своей геометрии в том, что его тригонометрические соотношения между элементами треугольников 20 совпадают с формулами сферической геометрии, если радиусу сферы придать чисто мнимое значение ki и применить теорию функций мнимого аргумента. Поэтому он считал, что любое противоречие   в   его   геометрии   неминуемо   повлекло   бы   противоречие   в   сферической геометрии, а последняя не подвергается сомнению и до настоящего времени. Простейшие поверхности в геометрии Лобачевского Подобно тому, как в плоскости были построены простейшие кривые, в пространстве Лобачевского могут быть получены простейшие поверхности – сфера, поверхность равных расстояний и предельная поверхность. При исследовании поверхностей используется понятие «связки». Связка соответствующего рода образуется вращением пучка того или иного рода (вместе с центром в случае пучка первого рода и базой в случае пучка второго рода) вокруг одной из прямых пучка. Различают три типа связок: Связка   первого   рода   –   совокупность   прямых   и   плоскостей,   проходящих через одну точку (центр связки). Связка   второго   рода   –   совокупность   прямых   и   плоскостей, перпендикулярных некоторой плоскости (опорной плоскости связки). Связка третьего рода – совокупность прямых и плоскостей, параллельных данной прямой в заданном на ней направлении. Все три вида связок обладают некоторыми общими свойствами. Через каждую точку пространства (не являющуюся в случае связки первого рода ее центром) проходит одна и только одна прямая связки. Две точки пространства, не лежащие на одной прямой связки, определяют   единственную   плоскость   связки.   Две   прямые   связки   определяют   плоскость связки. Если две плоскости, проходящие через две прямые связки, пересекаются, то прямая их пересечения принадлежит к связке. Две   точки   называются   соответствующими   друг   другу   относительно   данной   связки, если они расположены симметрично относительно некоторой прямой, принадлежащей данной связке. В случае связки первого рода соответствующие точки равноудалены от ее центра (и обратно).   В   случае   связки   второго   рода   соответствующие   точки   лежат   по   одну   сторону опорной   плоскости   на   равных   расстояниях   от   нее.   Если   же   связка   ­   третьего   рода,   то соответствующие точки расположены симметрично относительно биссектрисы полосы между прямыми  связки, проходящей  через  эти точки.  Понятие  соответствующих  точек  обладает свойством симметрии и транзитивности. Рассмотрим   теперь   геометрическое   место   точек,   соответствующих   относительно данной связки некоторой точке (не являющейся центром в случае связки первого рода и не лежащей на  опорной поверхности в случае связки второго рода). Они образуют поверхности, ортогональные прямым связки в точке пересечения, и соответственно подразделяются на три типа. 1. 2. 3. 1. 2. 3. Сфера  в собственном смысле слова (рис.20, а). На ней возникает обычная сферическая геометрия. Поверхность равных расстояний  (рис.20, б). На ней возникает геометрия эквидистант – планиметрия Лобачевского. Предельная поверхность, или орисфера (рис. 20, в). Через каждые две точки орисферы  проходит  орицикл,  целиком    лежащий  на этой  поверхности. А потому   можно   рассматривать   треугольники,   образованные   орициклами   на орисфере.   Оказалось,   что   в   геометрии   на   орисфере   сумма   углов   любого треугольника равна  . Таким образом, на орисфере справедлива геометрия Евклида. Плоскости соответствующей связки пересекают сферу по окружностям, поверхность равных расстояний – по эквидистантам, орисферу – по орициклам. Любые две точки каждой 21 из этих двух поверхностей являются соответствующими друг другу относительно связки, при помощи которой построена эта поверхность. а) б) в) Значение геометрии Лобачевского Рис. 20. Геометрия Лобачевского была строго доказана в 1868 году, когда итальянский геометр Бельтрами   нашел   интерпретацию   геометрии   Лобачевского   и   доказал,   что   геометрия Лобачевского   выражает   свойства   определенных   криволинейных   фигур   в   пространстве Евклида,   поэтому   она   не   может   иметь   противоречий.   Итак,   если   геометрия   Евклида непротиворечива,   то   непротиворечива   геометрия   Лобачевского,   и   наоборот.   Позже   были созданы интерпретации Кэли, Клейна и Пуанкаре. Новый подход к развитию учения о неевклидовых пространствах был дан Бернгардом Риманом. Отыскивая наиболее простые по своему строению типы пространств, он выделил пространства постоянной кривизны (K = const). Геометрию пространства постоянной положительной кривизны  K>0 называют теперь геометрией  Римана   (в  узком  смысле)   или   эллиптической   геометрией   (по Ф. Клейну). Сферическая геометрия имеет постоянную положительную кривизну. При   нулевой   кривизне  K=0   получается,   по   терминологии   Клейна,   параболическая геометрия. Евклидова геометрия является частным случаем параболической геометрии. Геометрия постоянной отрицательной кривизны совпадает с геометрией Лобачевского, обобщенной   для   любого   числа   измерений.   Ее   называют   гиперболической   геометрией   или геометрий   Лобачевского   –   Бойаи   по   имени   венгерского   математика,   пришедшего   к   идее создания неевклидовой геометрии позже Лобачевского, хотя его исследования не были столь глубокими, как у Лобачевского в первых работах, не говоря уже о последующих.  22 Подход,   использованный   Лобачевским   при   доказательстве   недоказуемости  V постулата, в дальнейшем лег в основу метода доказательства независимости аксиом. Опираясь   на   созданную   им   геометрию,   Лобачевский   нашел   более   двухсот определенных интегралов, некоторые из которых очень трудно получить классическим путем, в то время как Лобачевский сделал это очень легко. Наше   физическое   пространство   является   четырехмерным.   Русский   физик   А.   А. Фридман, решая уравнение Эйнштейна, нашел метрику, из которой следовало, что Вселенная расширяется   с   течением   времени.   Эта   метрика   при   фиксированном   времени   дает пространство   Лобачевского,   поэтому   теперь   это   четырехмерное   риманово   пространство называют пространством Фридмана – Лобачевского. Другое, может быть,  наиболее важное значение геометрии Лобачевского заключается в том, что она оказалась неотделимой частью теории относительности и проявляется при рассмотрении отрицательных скоростей. Законы сложения скоростей в специальной теории относительности были получены А. Эйнштейном в координатной аналитической записи. Уже в 1909 году физик А. Зоммерфельд,  а в 1910 г. математик           Ф. Клейн показали, что геометрическая интерпретация этих законов связана с геометрией Лобачевского. Однако этот результат   остался   тогда   незамеченным   физиками.   В   1950­х   годах   на   эту   связь   обратил внимание академик В. Фок, а затем физики из Объединенного центра ядерных исследований (Дубна).   Они   стали   с   успехом   пользоваться   геометрией   Лобачевского   при   изучении столкновений элементарных частиц в ускорителе и при разработке других вопросов физики элементарных частиц и ядерных реакций. Таким   образом,   геометрия   Лобачевского   не   только   оказала   громадное   влияние   на развитие геометрии и ее аксиоматизацию, но и имеет прикладное значение. 23 Список использованной литературы 1. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. Пер. с нем. под ред. И.Б. Погребыжского  ­ М.: Наука, 1969. 2. Лаптев Б.Л. Геометрия Лобачевского, ее история и значение. ­ М.: Знание, 1976. 3. Лиман М.М. Школьникам о математике и  математиках. Пособие для учащихся 4­8 классов средней школы. ­ М.: Просвещение, 1989. 4. Широков П.А. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. ­ М.: Наука, 1983. 5. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика/Глав. Ред. Аксенова. ­ М.: Аванта+, 2000.  6. Большая Советская энциклопедия (в 30 томах). Издание третье. Том 17. ­ М.: Советская  энциклопедия, 1974. 7. Большая Советская энциклопедия. Издание второе. Том 48. ­ М.: Советская энциклопедия,  1957. 8. Математическая энциклопедия. Том 1. ­ М.: Советская энциклопедия, 1977. 24