Статья "Введение вспомогательных неизвестных при решении геометрических задач"
Оценка 4.9

Статья "Введение вспомогательных неизвестных при решении геометрических задач"

Оценка 4.9
Руководства для учителя
doc
математика
9 кл—10 кл
08.01.2017
Статья "Введение вспомогательных неизвестных при решении геометрических задач"
Данная статья по теме "Введение вспомогательных неизвестных при решении геометрических задач повышенной сложности" поможет каждому учителю подойти к проблеме решения нестандартных задач по геометрии более полно,четко и конструктивно.Данная статья поможет более интересно провести любое элективное занятие ,посвященное решению геометрических задач.Статья "Введение вспомогательных неизвестных при решении геометрических задач"
Проект Мозговенко Болдырева.doc

МБОУ СОШ№95

 

Проект

 

Дисциплина: математика

 

 

Тема: «Введение вспомогательных неизвестных как алгебраический прием для

    решения нестандартных геометрических задач»

 

 

 

 

Выполнили: Мозговенко Ирина и Болдырева Екатерина

Проверила:  Попова Ольга Валерьевна

 

 

 

 

 

 

Город Воронеж

2014 год

Введение вспомогательных неизвестных как алгебраический прием для решения нестандартных геометрических задач.

 

Умение решать задачи является одним из самых важных показателя уровня математического развития  и общей математической культуры каждого человека. Это умение зависит не от числа решенных задач, а от того, насколько четко сформулирован у человека общий подход к поиску плана решения задачи. Одним из самых популярных методов решения является алгебраический метод. Применение данного метода часто строится на введение вспомогательных неизвестных.

Если при решении задачи трудно выразить искомую величину через данные величины, то к числу искомых величин бывает целесообразно присоединить вспомогательные неизвестные, которые в ходе решения управлений (или систем) иногда удается исключить. В таких случаях вспомогательное неизвестное выступает в роли опорного элемента.

Рассмотрим решение следующих задач.

 

Задача №1.

Зная длины a, b, c и d последовательных сторон вписанного в окружность четырехугольника ABCD (AB=a, BC=b, CD=c, AD=d) вычислить длину его диагонали АС.

Решение:

1)  Надпись: АНадпись: aНадпись: bНадпись: dНадпись: ВИз ∆АВС выразим АС через а, b и вспомогательное неизвестное:

АС2=a2+b2+2∙a∙b∙cos B;

Надпись: С2) Выразим АС из ∆ACD через d, c и вспомогательное   неизвестное соs D:

AC2=c2+d2-2∙c∙d∙cos D (1);

Надпись: c3) Т.к. в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то D=180°- B,

Надпись: Dcos D=-cos B;

4) Тогда АС2= c2+d2+2сdcos B;

откуда cos B=

5) Подставим полученное выражение для вспомогательного неизвестного в равенство (1):

AC2=a2+b2-2ab*;

Тогда имеем:

АС2∙2∙с∙d=2∙cda2+2∙cdb2-2∙abAC2+2∙abc2+2∙abd2;

АС2∙2∙с∙d+ 2∙abAC2= 2∙cda2+2∙cdb2+2∙abc2+2∙abd2;

2∙AC2(cd+ab)=2(cda2+cdb2+abc2+abd2);

AC2(cd+ab)=cda2+cdb2+abc2+abd2;

Ответ: AC=

Задача №2.

В равнобедренной трапеции с острым углом α при основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции?

 

Надпись: ВНадпись: CРешение:

 


1) Введем вспомогательное неизвестное:

OD=x

Надпись: MПусть окружность пересекает большее основание трапеции в точке Е.

Надпись: OТогда СED=90°, т. к. он опирается на диаметр.

Из ∆СED найдем DE:

сosα=;

Надпись: αcosα=

DE=2x*cosα.

Надпись: AНадпись: DНадпись: E2) Соединим точку Е с центром окружности и опустим перпендикуляр ОМ и EN на сторону АВ.

Рассмотрим ∆ODE.

Данные треугольник является равнобедренным =>

OED= ODE

Значит BAD= CDE

  Поэтому OE||AB

Отсюда NE=MO=x

И из ∆ANE получим, что AE=

Искомое отношение найдено;

==2cosα ∙sinα =sin2α

 

Ответ:=sinα

 

 

 

Задача №3.

Биссектрисы AD и CF треугольника АВС пересекают стороны ВС и АВ в точках D и F соответственно. Найти длину FD, если АС=6, AF=2, CD=3.

Надпись: B 


Решение :

Надпись: у
Надпись: x
 


Надпись: FНадпись: DНадпись: ?1)Из ∆FBD по теореме косинусов имеем:

  FD2=FB2+BD2-2∙FBBDcosB

Надпись: 3Надпись: 2В этом уравнении три неизвестных: FB, BD и cos B

Следовательно, надо искать три уравнения для их                   Надпись: AНадпись: Cотыскания.

Надпись: 6Введем вспомогательные неизвестные

 

Пусть FB=x, BD=y. Тогда используя свойство биссектрисы треугольника, получим:

=                     6x=2y+6                    6x-2y=6

                  3x+6=6y                    3x-6y=6      

 

 

Решая систему, получим:

х=

у= 
Итак,
FB=, BD= и АВ=, ВС=. Для определения косинуса угла В воспользуемся уравнением:

Надпись:  Надпись: 2АС2=АВ2+ВС2-2∙АВ∙ВС∙сos B, т.е.

36=  +  -2∙cos B

cos B=

Итак, cos B=0, следовательно B=90°.

Из ∆FBD: FD==.

Ответ: FD=

 

Задача №4.

 

В треугольнике АВС биссектриса угла В делит сторону АС на отрезки AD=15 и DC=24 и образует с этой стороной уНадпись: Bгол 60°. Определите АВ и ВС.

Решение:

Надпись: у1)Введем вспомогательные неизвестные:

Надпись: хНадпись: хПусть BD=а, АВ=х, ВС=у.

Надпись: C2)По свойству биссектрисы треугольника:

Надпись: AНадпись: 60⁰== (1)Надпись: DНадпись: 15Надпись: 24

 

 

3)По теореме косинусов имеем:

В ∆DAB: х22+225-2∙15∙а∙;

х22+225-15∙а (2);

В ∆DВС: у22+576-2∙34∙а∙cos120°;

у22+576+24∙а;

Исключим из этих уравнений а, для чего выразим х через у и подставим это выражение в равенство (2)

Надпись:   
 
х=, тогда

= а2+225-15*а;

 

у2= и следовательно:

 

2+576+24∙а

Решая данное уравнение, получим, что а=40

Тогда х==35;

У==56.

 

Ответ: АВ=35, ВС=56.

 

Данный метод выделения вспомогательных неизвестных может широко применять для решения любых нестандартных задач различной сложности.

 

Овладение данным методом способствует:

-развитию математических способностей учеников;

-рассмотрению их математического кругозора;

-развитию познавательной активности и интереса к предмету в целом.

 

Данный метод повышает уровень общей математической культуры учащегося и способствует их развитию как личности в целом.


МБОУ СОШ№95 Проект Дисциплина: математика

МБОУ СОШ№95 Проект Дисциплина: математика

Введение вспомогательных неизвестных как алгебраический прием для решения нестандартных геометрических задач

Введение вспомогательных неизвестных как алгебраический прием для решения нестандартных геометрических задач

AC 2 ( c ∙ d + a ∙ b )=2( c ∙ d ∙ a 2 + c ∙ d ∙ b 2 +…

AC 2 ( c ∙ d + a ∙ b )=2( c ∙ d ∙ a 2 + c ∙ d ∙ b 2 +…

Решение : 1)Из ∆FBD по теореме косинусов имеем:

Решение : 1)Из ∆FBD по теореме косинусов имеем:

По теореме косинусов имеем:

По теореме косинусов имеем:
Материалы на данной страницы взяты из открытых истончиков либо размещены пользователем в соответствии с договором-офертой сайта. Вы можете сообщить о нарушении.