Сценарий урока

по «Вероятности и статистике»

по теме «Комбинаторное правило умножения.

Перестановки и факториал»

10 класс

                                                                                 Редькина О.С.

                                                                                 учитель математики

                                                                                 ГБОУ «Раздольненская школа

                                                                                 Старобешевского

                                                                                 муниципального округа»  

___________________________________________________________________

Цель:

сформировать представления о комбинаторных задачах, переборе всех возможных вариантов, дереве возможных вариантов как о геометрической модели рассматриваемой ситуации, записи произведения первых п натуральных чисел в виде факториала, о решении комбинаторных задач с помощью перебора возможных вариантов и правила умножения.

Задачи:

·       Образовательная задача: дать специальное название одному из видов комбинаций — перестановке, рассмотреть формулу для вычисления числа перестановок, ввести понятие факториала. 

·       Развивающая задача: способствовать формированию логического мышления учащихся при решении задач и развитию монологической речи обучающихся с использованием новых терминов. 

·       Воспитательная задача: приучать школьников к доброжелательному общению в паре. 

Тип урока: изучение нового материала (лекция)

1. Организационный момент.
2. Ознакомление с новым материалом.
3. Разбор примеров.
4. Закрепление.
5. Итоги урока. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный момент. Приветствие. Уточнение отсутствующих. Проверка и анализ домашнего задания.

2, 3. Изучение нового материала (лекция), разбор примеров.

     При большом числе комбинаций для их подсчёта используют специальные комбинаторные правила, главным из которых является правило умножения. Сформулируем его сначала для двух элементов:

      Вернёмся к примерам, в которых мы перечисляли различные комбинации, и попробуем найти их количество без перечисления, пользуясь сформулированным правилом.   

Пример 1.

 Сколько двузначных чисел можно составить, если использовать только цифры 0, 1, 2?

Подсчитаем количество комбинаций по правилу умножения: первую цифру для такого числа можно выбрать двумя способами (это 1 или 2); после этого вторую цифру можно выбрать тремя способами (0, 1 или 2). Всего таких комбинаций будет 2 · 3 = 6. Правило умножения распространяется и на общий случай, когда количество элементов в комбинации больше двух.

Пример 2.

Сколько трёхбуквенных слов можно составить, используя только буквы А и Б?

Первую букву такого слова можно выбрать двумя способами, вторую — также двумя способами и третью — тоже двумя. Всего таких комбинаций будет 2 · 2 · 2 = 23 = 8.

Пример 3.

Сколько слов можно составить из букв А, Г, Л, Р, переставляя их между собой? Первую букву можно выбрать четырьмя способами, после этого вторую — тремя способами (первую выбрать уже нельзя), третью — двумя способами и, наконец, четвёртую — только одним. Всего таких комбинаций будет 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Преимущества такого подсчёта становятся особенно очевидными при большом числе комбинаций.

Пример 4.

Сколько существует шестизначных чисел, в которых все цифры разные?

Первую цифру шестизначного числа можно выбрать 9 способами, так как нельзя выбирать 0. После этого вторую цифру — тоже 9 способами, поскольку нельзя использовать ту цифру, что была выбрана первой. Следующую цифру — 8 способами, затем — 7 способами и т. д. Всего таких чисел будет 9 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 = 136 080.

Пример 5. В компьютере каждый символ (буква, цифра, специальный знак) кодируется последовательностью из восьми цифр 0 и 1, например,

01000110 — код буквы F;

00110010 — код цифры «2» и т. д.

Сколько различных символов можно закодировать таким образом?

Другими словами, сколько существует двоичных кодов длины 8?

Первую цифру кода можно выбрать двумя способами, после чего вторую цифру — тоже двумя способами и т. д. Всего получаем 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 256 различных двоичных кодов. Именно столько различных символов содержит таблица ASCII, которая использовалась для компьютерного кодирования символов ещё с 60-х годов прошлого века.

С появлением современных средств коммуникации и необходимостью обмениваться текстами на разных языках недостатки такой таблицы стали очевидны: 256 двоичных кодов не хватало для кодирования всех используемых в мире национальных алфавитов. Поэтому в 1991 г. вступил в действие новый стандарт кодирования символов, получивший название Unicode. Длина двоичного кода была увеличена всего вдвое — с 8 до 16 цифр. Но количество различных комбинаций увеличилось при этом в 256 раз и стало равняться 65 536. Этот результат легко получить по тому же правилу умножения.

      Рассмотрим один курьёзный пример использования правила умножения, связанный на этот раз с литературой.

      В 1961 г. французский поэт Раймон Кено выпустил книгу «Сто тысяч миллиардов стихотворений». Это был сборник, содержащий всего 10 сонетов. Откуда же взялось столь необычное название? Дело в том, что каждый из этих сонетов был разрезан на строчки. Произвольно выбрав по одной строчке из каждого сонета, можно было каждый раз получать новое стихотворение. Форма сонета, как известно, подразумевает 14 строк. Для каждой из этих строк есть 10 вариантов выбора. По правилу умножения получаем 10¹⁴ = 100 000 000 000 000 различных стихотворений. Кено назвал своё произведение «машиной для производства стихов».

     Итак, подытожим:

1.     Сформулируйте комбинаторное правило умножения.

2.     Сколько двоичных кодов длины 5?

      Некоторые типы комбинаций играют в математике настолько важную роль и встречаются так часто, что для них введены специальные названия и выведены формулы для подсчёта. Начнём с комбинаций, которые называются перестановками.

       Таким образом, перестановки из одного и того же набора элементов различаются между собой не составом (он у них одинаковый), а порядком следования элементов в комбинации.

       Элементами, которые участвуют в перестановке, могут быть числа, буквы, шары и вообще любые объекты. Выпишем для примера все перестановки из чисел 1, 2, 3:

123, 132, 213, 231, 312, 321.

       Рассмотрим все перестановки из трёх букв a, b, c: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

       Конечно, во всех этих случаях количество перестановок будет одинаковым, ведь оно зависит только от того, сколько элементов участвует в перестановке. Мы видим, что из трёх элементов можно составить 6 разных перестановок. Понятно, что из двух элементов перестановок будет 2.

        Выведем общую формулу для количества перестановок из N элементов. Будем использовать для этого правило умножения. Первый элемент перестановки можно выбрать N способами; после этого второй элемент — N – 1 способами (поскольку один элемент уже выбран); третий — N – 2 способами и т. д. до последнего элемента, который можно будет выбрать только одним способом (это единственный элемент, который ещё не был выбран). По правилу умножения общее количество комбинаций будет равно произведению N ∙ (N – 1) ∙ (N – 2) ∙ … ∙ 1.

      Мы получили, что количество всех перестановок из N элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до N. Это произведение называется в математике факториалом числа N (от латинского factorialis — «умножающий») и обозначается N!:

      Отметим также, что значение 0! полагается равным 1.

      Количество перестановок из N элементов обозначается P_N (буква P берётся от французского слова permutation — «перестановка»). Если использовать это обозначение, то мы доказали первую комбинаторную формулу:

P_N = N!

      Полученное значение P_N даёт нам число способов, которым можно упорядочить N заданных элементов. Приведём несколько примеров использования этой формулы.

Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участников финального забега на 8 беговых дорожках?

Каждый такой способ — это перестановка из 8 элементов. Всего таких перестановок будет  P₈ = 8! = 40 320.

Пример 2. Полное собрание сочинений братьев Стругацких включает в себя 33 тома. Сколькими способами это собрание можно расставить на полке?

Каждый способ — это перестановка из 33 элементов. Всего таких перестановок будет

P₃₃ = 33! = 8 683 317 618 811 886 495 518 194 401 280 000 000,

т. е. чуть меньше, чем 10³⁷.

Закрепление:

1.     Что такое факториал? Как он обозначается?

2.     Найдите 10!/8!

3.     Чему равно число перестановок из N элементов? Как оно обозначается?

4.     Почему для больших значений N в конце числа N! так много нулей?

Подведение итогов урока.

____________________________________________________________________

Д/з изучить §11 (п.2,3), решить № 200, 204, 205

(Математика. Вероятность и статистика: 10-й класс: базовый и углублённый уровни: учебное пособие / Е. А. Бунимович, В. А. Булычев. — Москва: Просвещение, 2023. — 223, [1] с.: ил. ISBN 978-5-09-110022-8.)