существование модели для непротиворечивой теории

существование модели для непротиворечивой теории Непротиворечивость, совместимость, свойство дедуктивной теории (или  системы аксиом, посредством которых теория задаётся), состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие, т. е. какие­либо два предложения А и Ø А, каждое из  которых является отрицанием другого. Для широкого класса формальных теорий,  включающих аксиому А & Ø А É В («из противоречия следует любое  утверждение»), Непротиворечивость равносильна существованию в данной теории хотя бы  одного недоказуемого предложения.   Непротиворечивость, необходимая для того чтобы система могла рассматриваться как  описание некоторой «содержательной ситуации», отнюдь не гарантирует существования  такой ситуации. Впрочем, для любой непротиворечивой системы аксиом в каждом случае  могут быть указаны абстрактные модели; поэтому для представителей «классических»  направлений в основаниях математики и логики (и тем более для представителей моделей  теории) Непротиворечивость служит если и не обоснованием «существования»  описываемых аксиомами совокупностей абстрактных объектов, то, по крайней мере,  достаточным основанием для содержательного рассмотрения и изучения таких объектов.  Поскольку описываемая теорией «ситуация» лежит вне самой теории, данное выше  понятие Непротиворечивость, которое можно назвать «внутренней» (иначе  ­синтаксической, или логической)Непротиворечивость, тесно связано с так называемой  «внешней» (семантической) Непротиворечивость, заключающейся в недоказуемости в  данной теории никакого предложения, противоречащего (в обычном содержательном  смысле) фактам описываемой ею «действительности». Несмотря на эту связь,  синтаксическая и семантическаяНепротиворечивость равносильны лишь для таких  «бедных» логических теорий, как, например, исчисление высказываний (см. Логика  высказываний); вообще же говоря, внутренняя Непротиворечивость сильнее внешней. Роль отображаемой какой­либо конкретной теорией «действительности» может играть и  некоторая другая дедуктивная теория, так что внешнююНепротиворечивость исходной  теории можно понимать как её относительную Непротиворечивость, а указание системы  соответствующих семантических правил перевода понятий, выражений и утверждений из  второй теории в первую, дающееинтерпретацию (модель) исходной теории, оказывается  для неё доказательством относительной Непротиворечивость   В классической математике источником построения моделей для таких доказательств  служит в конечном счёте множеств теория. Однако обнаружение в теории  множеств парадоксов (антиномий) обусловило потребность поиска новых, принципиальноотличных от метода интерпретаций, методов доказательства Непротиворечивость, ­ в  некотором смысле «абсолютных». (Такая потребность возникает и в силу несовпадения  понятий внутренней и внешней Непротиворечивость) Можно избрать и промежуточный  путь, требуя абсолютное доказательство Непротиворечивость только  дляаксиоматической теории множеств (к которой уже можно было бы сводить  проблемы Непротиворечивость конкретных математических теорий чисто теоретико­ модельными средствами) или даже хотя бы для такого относительно простого её  фрагмента, как формализованная арифметика натуральных чисел, так как средствами  последней строится теоретико­множественный «универсум» (предметная область)  основных разделов классической математики. Такой путь и избрал  Д.Гильберт, предложивший широкую программу, в ходе выполнения которой  обосновываемые теории, прежде всего, подвергались бы формализации, а  полученные формальные системы (исчисления) исследовались бы на предмет их  синтаксической Непротиворечивость так называемыми финитными (т. е. содержательными, но не использующими сомнительных теоретико­множественных абстракций) средствами.  Такие абсолютные доказательства Непротиворечивостьсоставили основное содержание  развиваемой школой Гильберта метаматематики (теории доказательства). Но уже в 1931 К.Гёдель доказал принципиальную невыполнимость гильбертовой программы, а тем самым и ограниченность аксиоматического метода, в рамках которого для достаточно богатых  формальных теорий требования Непротиворечивость и полнотыоказываются  несовместимыми (подробнее см. Аксиоматический метод). Что же касается  содержательных дедуктивных теорий (в том числе и математических), по отношению к  которым требование полноты теряет смысл, то для нихНепротиворечивость по­прежнему  остаётся важнейшим необходимым критерием осмысленности и практической  приложимости.   Непротиворечивость         совместимость, свойство дедуктивной теории (или системы аксиом (См. Аксиома), по средством которыхтеория задаётся), состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоре чие, т. е. какие­либо двапредложения А и ¬ А, каждое из которых является отрицанием дру гого. Для широкого класса формальныхтеорий, включающих аксиому А &  ¬ А ⊃ В («из противоречия следует любое утверждение»), Н. равносильнасуществованию в  данной теории хотя бы одного недоказуемого предложения.Н., необходимая для того чтобы система могла рассматриваться как описание некото рой«содержательной ситуации», отнюдь не гарантирует существования такой ситуации. Вп рочем, для любойнепротиворечивой системы аксиом в каждом случае могут быть указаны а бстрактные модели; поэтому дляпредставителей «классических» направлений в основания х математики и логики (и тем более дляпредставителей моделей теории (См. Моделей     теор ия)) Н. служит если и не обоснованием «существования»описываемых аксиомами совокупн остей абстрактных объектов, то, по крайней мере, достаточным основаниемдля содержател ьного рассмотрения и изучения таких объектов. Поскольку описываемая теорией «ситуаци я»лежит вне самой теории, данное выше понятие Н., которое можно назвать «внутренней»  (иначе —синтаксической, или логической) Н., тесно связано с так называемой «внешней»  (семантической) Н.,заключающейся в недоказуемости в данной теории никакого предложен ия, противоречащего (в обычномсодержательном смысле) фактам описываемой ею «действ ительности». Несмотря на эту связь,синтаксическая и семантическая Н. равносильны лишь  для таких «бедных» логических теорий, как, например,исчисление высказываний (см. Логи ка      высказываний); вообще же говоря, внутренняя Н. сильнее внешней.Роль отображаемой к акой­либо конкретной теорией «действительности» может играть и некоторая другаядедук тивная теория, так что внешнюю Н. исходной теории можно понимать как её относительну ю Н., ауказание системы соответствующих семантических правил перевода понятий, выраж ений и утверждений извторой теории в первую, дающее интерпретацию (См. Интерпретаци я) (модель) исходной теории,оказывается для неё доказательством относительной Н.       теория              В классической математике источником построения моделей для таких доказательств  служит в конечномсчёте Множеств     теория. Однако обнаружение в теории множеств Парад оксов (антиномий) обусловилопотребность поиска новых, принципиально отличных от мет ода интерпретаций, методов доказательства Н., —в некотором смысле «абсолютных».  (Такая потребность возникает и в силу несовпадения понятий внутреннейи внешней Н.) Мо жно избрать и промежуточный путь, требуя абсолютное доказательство Н. только дляаксио матической теории множеств (См. Аксиоматическая (к которой уже можно было бысводить проблемы Н. конкретных математических теорий ч исто теоретико­модельными средствами) или дажехотя бы для такого относительно просто го её фрагмента, как формализованная арифметика натуральныхчисел, так как средствами  последней строится теоретико­множественный «универсум»  (предметная область)основных разделов классической математики. Такой путь и избрал Д.  Гильберт, предложивший широкуюпрограмму, в ходе выполнения которой обосновываемые  теории, прежде всего, подвергались быформализации (См. Формализация), а полученные ф ормальные системы (исчисления)  (См. Формальнаясистема) исследовались бы на предмет их синтаксической Н. так называем ыми финитными (т. е.содержательными, но не использующими сомнительных теоретико­     множеств)множественных абстракций) средствами.Такие абсолютные доказательства Н. составили ос новное содержание развиваемой школой Гильбертаметаматематики (См. Метаматематика)  (теории доказательства). Но уже в 1931 К. Гёдель доказалпринципиальную невыполнимость  гильбертовой программы, а тем самым и ограниченность аксиоматическогометода, в рамка х которого для достаточно богатых формальных теорий требования Н. и полноты (См.Пол нота) оказываются несовместимыми (подробнее см. Аксиоматический     метод). Что же касае тсясодержательных дедуктивных теорий (в том числе и математических), по отношению к  которым требованиеполноты теряет смысл, то для них Н. по­прежнему остаётся важнейши м необходимым критериемосмысленности и практической приложимости.   МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ – раздел математической логики, изучающий модели формальных  теорий, соотношения между моделями и теориями и преобразования моделей.  Предшественниками теории моделей были Б.Больцано и Э.Шрёдер, осознавшие понятие  выполнимости формулы на интерпретации. В настоящий момент теория моделей делится  на следующие разделы: Классическая теория моделей (КМТ), изучающая теоретико­множественные модели  классических теорий. Алгебраическая теория моделей (ATM), изучающая прежде всего модели неклассических  логик, базирующиеся на обобщенной семантике истинностных значений. Теория моделей  Крипке (СВМ), изучающая модели неклассических логик, базирующиеся на возможных  миров семантике. Интерпретации реализуемости (ИР), моделирующие логики и теории как исчисления задач. КМТ берет начало от работ Лёвенгейма (1915) и Скулема (1920), установивших  существование моделей любой бесконечной мощности для любой непротиворечивой  теории, имеющей бесконечную модель. Этот результат вначале рассматривался как  парадоксальный, потому что из него следовало существование счетных моделей несчетных  множеств, а мощность множества в те времена содержательно интерпретировали как число элементов, по аналогии с конечными множествами, а не как сложность его задания, как  сейчас делается по аналогии с теорией алгоритмов. Фундаментальным результатом КМТ  явилась теорема Гёделя о полноте классической логики предикатов (первого порядка), из которой следует существование моделей у любых (основанных на этой логике)  непротиворечивых теорий. В 70­е гг. выяснилось, что теорема Гёделя о полноте  эквивалентна аксиоме выбора множеств теории.ζ , сопоставляющая каждой константе – элемент универсума, Если задана некоторая сигнатура (перечисление констант, функциональных символов и  предикатов вместе с числом аргументов у них), то (классической) интерпретацией данной  сигнатуры является непустое множество объектов – универсум интерпретации, и функция   n­ вычисления значения  местной функции f   – функционал Un U→ , n­местному предикату Ρ – функционал Un  {0,1}. В интерпретации естественно определяется понятие значения любого терма и любой  формулы теории (точное определение истинности формулы в интерпретации было впервые даноА.Тарским). Интерпретация называется моделью теории, если в ней истинны все  аксиомы теории. Еще одной формулировкой теоремы полноты Гёделя является совпадение множества теорем с множеством формул, истинных в любой модели теории.  → По теореме Мальцева о компактности, теория имеет модель тогда, и только тогда, когда  любое конечное число ее аксиом имеет модель. Эта теорема послужила основой для  построения нестандартных моделей традиционных математических объектов, таких, как  действительные и натуральные числа. ω В самом деле, взяв в качестве теории все истинные на стандартной модели формулы и  добавив новое число   >n, мы получаем, что любая конечная совокупность новых аксиом удовлетворяется на стандартной модели.  Значит, есть и модель, где они все выполнены. Она сохраняет все выразимые на языке  логики предикатов свойства стандартной модели, но пополнена новыми элементами.  и бесконечную совокупность аксиом  >0,  >1,  ω ω ω Позитивно использовал существование нестандартных моделей А.Робинсон (1960). Он  показал, что в нестандартной модели анализа можно на строгой основе возродить методы  математиков 17–18 вв., использовавших бесконечно малые и бесконечно большие  величины. Основополагающим явился здесь результат, что любое конечное нестандартное  число однозначно разлагается в сумму стандартного и бесконечно малого. Далее,  сохранение всех выразимых свойств используется для установления принципов переноса,  которые позволяют отбрасывать бесконечно малые либо доказывать общее утверждение о  стандартных числах на основе рассмотрения одной бесконечно малой либо бесконечно  большой величины. Но здесь приходится строго разделять формулы стандартного языка и  формулы метаязыка, говорящего о нестандартной модели. В частности, утверждения, явно  включающие предикат «быть (не)стандартным», уже могут нарушать все свойства  стандартной модели. Дальнейшее развитие нестандартного анализа привело к теории  полумножеств Г.Хаека и к альтернативной теории множеств С.Вопенки, где конечные  нестандартные совокупности могут включать бесконечные подклассы. Современная КМТ развивается во многих направлениях, большинство из которых в данный момент имеют дело со сложнейшими идеальными математическими понятиями(абстрактными объектами) без выхода на общенаучные либо методологические  результаты. Правда, приятным исключением является совокупность теорем,  характеризующих теории частного вида через их модели. ∀­теория – это теория, все  аксиомы которой имеют вид ∀ А( кванторов. Теорема Лося. Теория представима как ∀­теория тогда, и только тогда, когда каждая  подсистема ее модели также является ее моделью. ), где x – совокупность переменных, и А не содержит  Эта теорема при внешней простоте формулировки требует использования абстрактных и  сложных конструкций КМТ. Таковы же и другие теоремы характеризации. В частности,  совокупность систем называется многообразием, если она является множеством моделей  теории с аксиомами вида ∀ P(t( модели которых сохраняются при гомоморфизмах. Теоремы характеризации используются  в современной информатике для описания абстрактных типов данных. )), где Р – предикат. Многообразия – это ∀­теории,  ATM началась с предложенной Линденбаумом и Тарским концепции, согласно которой  любая теория может рассматриваться как алгебра, операциями которой являются  логические связки, а объектами – классы формул, для которых доказуема эквивалентность. Такая алгебра называется алгеброй Линденбаума­Тарского (ЛТ­алгеброй) теории. ЛТ­ алгебра классической теории – булева алгебра. ЛТ­алгебра интуиционистской –  псевдобулева, теории в модальной логике S4 – булева алгебра с замыканиями. Данный  подход был вторым основанием и инструментом для построения альтернативной теории  множеств. Для неклассических логик он математически эквивалентен СВМ и поэтому в  последнее время употребляется менее интенсивно. Трудностью в ATM является  интерпретация кванторов. Для данной цели была развита теория цилиндрических алгебр. Семантика возможных миров (СВМ) предлагалась уже Аристотелем, который  рассматривал теорию модальных суждений. Ее предшественником можно считать  Г.Лейбница, который явно ввел понятие возможного мира. В современном виде она  впервые была предложена для частного случая интуиционистской логикиЭ.Бетом (1954)  и последовательно развита для целого ряда логик С.Крипке, имя которого она и получила. При СВМ интерпретациях имеется некоторая алгебраическая система классических (либо,  в более тонких случаях, алгебраических) моделей, называемых мирами, связанных  отношениями и порою функциями. Для модальных логик СВМ интерпретации обычно  используют единственное бинарное отношение достижимости.Логика L называется шкальной, если любая интерпретация с той же системой миров, что у  модели L, также является моделью L. Т.о., шкальные логики накладывают ограничения не  на отдельные миры, а на их внешние взаимосвязи. Один из интереснейших результатов современной СВМ – перечисление всех  суперинтуиционистских и модальных пропозициональных логик, обладающих  интерполяционным свойством Крейга: для любой доказуемой импликации А ⇒ В найдется  формула С, содержащая лишь термины, общие для А и В, такая, что доказуемы А ⇒ С и С  ⇒ В. В работах Л.Л.Максимовой показано, что логик, обладающих свойством Крейга,  конечное число. Математическая структура вынуждения, использованная П.Дж.Коэном как  промежуточный шаг для построения нестандартных классических моделей теоретико­ множественных систем, позднее получила название моделей Крипке  для интуиционистской логики. С их помощью решена проблема Гильберта: доказана  независимость аксиомы выбора и континуум­гипотезы. Далее, теми же методами  установлена невозможность явного построения, в частности, неизмеримого множества  действительных чисел и нестандартной модели анализа. Исторически это было одно из  первых использований СВМ. Последний класс моделей – ИР Колмогоровская  интерпретация допускает значительную гибкость в классе используемых функционалов,  поэтому в ИР используются и алгоритмы, и топологические пространства с непрерывными  преобразованиями, и категории, и формальные выводы, и комбинации данных объектов. Наиболее значительные в методологических аспектах результаты, полученные при помощи  ИР за последнее время, следующие. Доказана совместимость с интуиционистской  математикой моделей брарровских концепций творящего субъекта и беззаконных  последовательностей (см. Интуиционизм) и построены модели вычислимости,  основанные на данных концепциях. Т.о., обосновано, что содержательный вычислительный  метод может быть представлен как композицияалгоритма, творческого процесса и  физических измерений. Доказано, что для многих аксиоматических систем добавление  аксиомы выбора к конструктивному анализу и к теории множеств с интуиционистской  логикой не нарушает эффективности доказательств. Т.о., аксиома выбора на самом деле не приводит сама по себе к чистым теоремам существования; в данном смысле она  концептуально противоречит исключенного третьего закону, который с необходимостью приводит к таким теоремам. Литература:1.  Кейслер Г., Чэн Ч.Ч.Теория моделей. М., 1977; 2.  Максимова Л.Л. Интерполяционные свойства суперинтуиционистских, модальных и  позитивных логик. – В кн.: Модальные и интенсиональные логики и их применение к  проблемам методологии науки. М., Наука, 1984. Н.Н.Непейвода