Тема урока: Применение производной к исследованию функции.

Тема урока: Применение производной к исследованию функции.

Цели урока:

Сформировать умения находить промежутки возрастания и убывания функции с помощью производной; сформировать понятие экстремума функции, стационарной точки, научить применять полученные знания для нахождения точек минимума и максимума функции; рассмотреть схему исследования функций; формирование начальных умений в применении методов дифференциального исчисления к решению практических задач.

Ход урока.

1.                  Орг. момент. Мотивация урока.

Проверка готовности к уроку. Математика изучает математические модели. Одной из главнейших математических моделей является функция. Сегодня с вами мы рассмотрим применение производной к исследованию функции.

2.                  Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

«Знай и устно отвечай»

Прежде чем находить экстремумы функции, необходимо знать таблицу производных

(4х)´, (х⁴)´, (х⁶)´, (4х³)´, (4)´, ()´, ()´, (sinx)´, (5cosx)´, (-3tgx)´, ()´, ()´.

Математический диктант. Найти производную функции.

1)  y = 5         y^' = 0         Л

y^' = 5x                            Н

y^' = 1                              Б

2) y = -x         y^' = 1         В

y^' = -1                             А

y^' = x²                                        И

3)  y = 2x+3      y^' = 3    У

y^' = x                                   И

y^' = 2                                    Г

4)  y =- 12    y^' =        Р

y^' = 1                                Т

y^' = -12                             Г

5)  y=x⁴           y^' =   П

y^' = 4x³                              А

y^' = x³                                С

6) y=-5x³       y^' = -15x²    Н

y^' = -5x²                              О

y^'  = 5x²                               Р

7) y=x-x³       y^' = 1-x²          Д

y^' = 1-3x²                            Ж

y^' = x-3x²                                          А

Итак, получили фамилию ученого Лагранж.

 «Заметки из прошлого» Жозеф Луи Лагранж. Уже в 1755 году внес огромный вклад в разные области математики и в том числе на нахождение максимумов и минимумов функции.

Фронтальная работа 

А теперь дадим некоторые определения свойствам функции “Мозговой штурм”

1.                  Что называют функцией?

2.                  Как называется переменная Х?

3.                  Как называется переменная Y?

4.                  Что называется областью определения функции?

5.                  Что называется множеством значения функции?

6.                  Какая функция называется чётной?

7.                  Какая функция называется нечётной?

8.                  Что можно сказать о графике чётной функции?

9.                  Что можно сказать о графике нечётной функции?

10.              Какая функция называется возрастающей?

11.              Какая функция называется убывающей?

12.              Какая функция называется периодической?

3.                       Изучение нового материала

Возрастание и убывание функции

Интервалы возрастания и убывания функции называются интервалами монотонности функции.

ТЕОРЕМА 1  (необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции).  Пусть функция    дифференцируема на интервале  .  Тогда

1)  если  функция    возрастает (убывает) на  ,  то на этом интервале ее производная неотрицательна (неположительна),

т.е.     ,    (,  );

2)  если производная   на интервале    положительна (отрицательна), т.е. ,    (,  ),

то функция    на   возрастает (убывает).

 

ПРИМЕР: Найти промежутки возрастания и убывания функции y = 4x³ – 5x² + 2.

Решение. Найдем производную функции y = 4x³ – 5x² + 2: y’ = 12x² -10x. Решая неравенство , получим x(12x – 10) > 0, отсюда  x > 5/6, x < 0 -  промежутки возрастания. Решая неравенство  , получим x(12x – 10) < 0, отсюда 0 < x < 5/6 -  промежуток убывания.

Экстремумы функции

Пусть функция    определена на множестве  ℝ,  ,   – внутренняя точка   (т.е. существует некоторая окрестность точки  , целиком лежащая во множестве  ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка    называется точкой максимума функции    если существует такая  -окрестность    точки  ,  что  ,  .  Значение функции в точке максимума называется максимумом функции.

Точка    называется точкой минимума функции    если существует такая  -окрестность    точки  ,  что  ,  .  Значение функции в точке минимума называется минимумом функции.

Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Замечания:

1) Понятия минимум и максимум функции близки к понятиям наименьшее и наибольшее значения функции. По сути, они отражают одно свойство функции: они показывают, в каком отношении находятся значение функции в данной точке и значения функции в других точках. Различие в области действия этих понятий. Наибольшее и наименьшее значения – понятия глобального характера («»), максимум и минимум – понятия локального характера  («»).  Чтобы подчеркнуть эту взаимосвязь понятий, в некоторой литературе употребляют термины «глобальный максимум (минимум)» вместо наибольшего (наименьшего) значения функции  и  «локальный максимум (минимум)» – вместо максимум (минимум) функции.

2) В силу локального характера понятий максимума и минимума, функция может иметь в своей области определения несколько точек максимума и минимума. Причем, некоторые минимумы функции могут быть больше ее максимумов  (см. рис. 1).

Для функции, дифференцируемой в точке  ,  справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2 (необходимое условие экстремума, теорема Ферма).  Если   – точка экстремума функции    и   – дифференцируема в точке  ,  то ее производная в этой точке равна нулю.

Алгоритм исследования непрерывной функции у=f(х) на монотонность и экстремумы:

1.                  Найти производную функции;

2.                  Найти стационарные и критические точки: f´(х)=0

3.                  Отметить стационарные точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках. Сделать вывод о монотонности функции и точках экстремума.

Пример: Найдите точки экстремума функции: у=3х⁴-16х³+24х²-14.

Решение: 1. f '(х) = 12х³-48х²+48х;

                 2. f '(х) = 0, 12х³-48х²+48х = 0;

                                     12х(х²-4х+4)=0;

                                     12х=0 или х²-4х+4=0;

                                       х₁=0,          х₂=2.

                3. f (-1) = 3·(-1)⁴-16·(-1)³+24·(-1)²-11=3+16+24-14= + 29,

                   f (1) = 3·1⁴-16·1³+24·1²-14=3-16+24-14=-3,

                   f (3) = 3·3⁴-16·3³+24·3²-14= 243-384+216-14= + 51,

Исследование функции с помощью производной.

Схема исследования функции.

1.                  Найти область определения функции.

2.                  Точки пересечения с осями координат.

3.                  Проверить на четность (нечетность). Четная функция симметрична относительно оси ординат, нечетная – относительно начала координат.

4.                  Производную.

5.                  Стационарные точки.

6.                  Промежутки возрастания и убывания.

7.                  Точки экстремума и значения функции в этих точках.

8.                  Результаты исследования занести в таблицу.

ПРИМЕР. Построить график функции y = 1 + 2x² – x⁴.

1.                    Область определения:

2.                    x = 0, y = 1: A( 0, 1); 

3.                    y(-x) = 1 + 2(-x)² – (-x)⁴ = 1 + 2x² – x⁴ – функция четная.

4.                    y’ = 4x – 4x³ = 4x(1 – x²) = 4x(1 – x)(1 + x)

5.                    y’ = 4x(1 – x²) = 0; x₁ = 0, y₁ = 1; x₂ = 1, y₂ = 2; x₃ = - 1, y₃ = 2

6.                   

4x(1 – x)(1 + x) = 0

Возрастает при y’ > 0, т.е. x < -1, 0 < x < 1

Убывает при y’ < 0, т.е. – 1 < x < 0, x > 1

7.                    Точки ( -1, 2) и (1, 2) точки max; (0, 1) – min.

8.                    Заполняем таблицу:

x	x < -1	- 1	– 1 < x < 0	0	0 < x < 1	1	x > 1	2
f ‘(x)	+	0	-	0	+	0	-
f(x)		2		1		2		- 7

 

 

 

3

4.                  Логическая пауза. Кроссворд.

5.                  Закрепление нового материала.

Решить у доски №  706, 708, 711, 713, 716, 744, 747.

Зарядка для глаз

6.                  Самостоятельная работа в парах.

«Найди ошибки»

1. Изображён график производной.  Точки х=-1, х=1, х=2 являются точками максимума.

2. Производная функции в точке хо равна 0, значит хо - критическая точка. Верно ли?

3. Производная функции не существует в точке хо, значит хо - критическая точка. Верно ли?

4. Критическая точка является точкой экстремума. Верно ли?

5. Точка экстремума является критической точкой. Верно ли?

6. Функция y(x) непрерывна в точке x=4, причем y' (x)>0 на (1;4) и y'(x)<0 на (4;7). Точка x=4 является точкой минимума?

7. Рефлексия. Итоги урока. Д/з.

Выучить п.18, 19. Решить № 707, 709(а), 712(а,  в), 717, 745(а, б), 748.

·  сегодня я узнал… ·  было интересно… ·  было трудно… ·  я понял, что…

Добились ли мы своей цели? Что ещё не получается?

   Творческое задание. Указание: отыщите функцию в таблице, исходя из её «автобиографии». Найдите область определения, корень, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.

Я – функция сложная, это известно,
Ещё расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.

И завершается урок  словами:

К высотам познанья! За кручей обрыв!

Дороги орлам незнакомы. Пройдет человек лишь,

Но прежде открыв природы и чисел законы.

Искателей истин судьба нелегка,

Но тень их достанет в веках облака.

Завершая урок, я надеюсь, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук.

Урок завершен. Всего вам доброго. До свидания.