Тема урока: Математика и научно-технический прогресс. Понятие о математическом моделировании.

Тема урока: Математика и научно­технический прогресс.                    Понятие о математическом моделировании.     Урок №  Цели урока:      1. Обучающая: Показать роль математики в развитии научно­технического прогресса, познакомить с понятием   «математическое   моделирование»,   видами   математических   моделей,   требованиями, предъявляемыми к моделям и основными этапами моделирования. .       2. Развивающая: Расширять знания обуч­ся о роли математики в н.т.п., о математическом  моделировании.         3. Воспитательная: Аккуратное ведение конспектов, самодисциплина.    : Урок изучения нового материала          Тип  урока        Вид урока: лекция        Методы:  словесные                 Оборудование: раздаточный материал по теме урока. Ход урока.  I. Оргмомент  II. Целевая установка. 1. Результаты входного контроля 2. Тема урока 3. Цель урока III. Формирование новых понятий и способов действий.  Создание   в   середине   ХХ   в.   электронно­вычислительных   машин   (ЭВМ)   можно   сравнить   по   своей значимости с любым из самых выдающихся технических достижений в истории человечества. В то же время   необходимо   подчеркнуть   их   особую,   специфическую   роль.   Если   обычные   машины   расширяют физические   возможности   людей   в   процессе   трудовой   деятельности,   то   ЭВМ   являются   их интеллектуальными помощниками. Широкое применение математических методов на базе ЭВМ привело к появлению   новых   эффективных   методов   познания   законов   реального   мира   и   их   использованию   в практической   деятельности.   Вычислительные   машины   открыли   новые   возможности   увеличения производительности труда, дальнейшего развития производства, совершенствования управления. Процесс математизации   науки,   техники,   экономики   потребовал   подготовки   высококвалифицированных специалистов,   в   совершенстве   владеющих   технологией   применения   ЭВМ,   способных   реализовать   их огромные   и   пока   ещё   далеко   не   исчерпанные   возможности.   ЭВМ   не   работает   без   направляющего воздействия человека. Их использование связано с построением математических моделей и созданием вычислительных   алгоритмов.   Машины   также   должны   пройти   соответствующее   ”обучение”,   то   есть получить программное обеспечение, как общего, так и проблемно­ориентированного характера. Весь этот широкий комплекс проблем является полем деятельности специалистов по прикладной математике, для подготовки которых во многих университетах и институтах  страны были созданы новые факультеты, отделения, кафедры. В развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и оказывает   существенное   влияние.   Ее   роль   складывалась   исторически   и   зависела   от   двух   факторов: степени развития математических понятий и математического аппарата, а также степени зрелости знания об изучаемом объекте. Математические понятия в процессе своего возникновения как бы впитывают в себя существенные свойства предметов и явлений и их отношений в виде существующих математических законов   и   структур.   Современное   развитие   науки   характеризуется   потребностью   сложного   изучения сложных всевозможных процессов и явлений – физических, химических, биологических, экономических, социальных   и   других.   Происходит   значительное   увеличение   темпов   математизации   и   расширение   ее области действия. Теории математики широко применяются в других науках, казалось бы, совершенно от нее далеких  –  лингвистике,  юриспруденции.  Это вызвано  естественным  процессом  развития  научного знания,   который   потребовал   привлечения   нового   и   более   совершенного   математического   аппарата, проявлением новых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так далее, что значительно увеличило возможности ее применения. Более точное математическое описание процессов и явлений,   вызванное   потребностями   современной   науки,   приводит   к   появлению   сложных   систем интегральных, дифференциальных, интегральных, трансцендентных уравнений и неравенств, которые неудается решить аналитическими методами в явном виде. Для решения таких задач приходится прибегать к вычислительным алгоритмам, использовать какие­либо бесконечные процессы, сходящиеся к конечному результату.   Приближенное   решение   задачи   получается   при   выполнении   определенного   числа   шагов. Развитие   ЭВМ   стимулировало   более   интенсивное   развитие   вычислительных   методов,   создало предпосылки  решения  сложных  задач  науки,  техники,  экономики.  Широкое  применение  при решении таких задач получили методы прикладной математики. Модель  в широком смысле ­ это любой образ, аналог мысленный или установленный изображение, описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его   заменителя   или   представителя.   Сам   объект,   процесс   или   явление   называется   оригиналом   данной модели. Моделирование  ­ это исследование какого либо объекта или системы объектов путем построения и изучения   их   моделей.   Это   использование   моделей   для   определения   или   уточнения   характеристик   и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов. На идее моделирования базируется любой метод научного исследования, при этом, в теоретических методах   используются   различного   рода   знаковые,   абстрактные   модели,   в   экспериментальных   ­ предметные модели. Особую роль в науке играют математические модели, строительный материал и инструменты этих моделей ­ математические понятия. Они накапливались и совершенствовались в течении тысячелетий. Современная   математика   дает   исключительно   мощные   и   универсальные   средства   исследования. Практически каждое понятие в математике, каждый математический объект, начиная от понятия числа, является математической моделью. При построении математической модели, изучаемого объекта или явления выделяют те его особенности, черты и детали, которые с одной стороны содержат более или менее   полную   информацию   об   объекте,   а   с   другой   допускают   математическую   формализацию. Математическая   формализация   означает,   что   особенностям   и   деталям   объекта   можно   поставить   в соответствие подходящие адекватные математические понятия: числа, функции, матрицы и так далее. Тогда связи и отношения, обнаруженные и предполагаемые в изучаемом объекте между отдельными его деталями   и   составными   частями   можно   записать   с   помощью   математических   отношений:   равенств, неравенств,   уравнений.   В   результате   получается   математическое   описание   изучаемого   процесса   или явление, то есть его математическая модель. Классификация математических моделей Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими. Детерменированные модели­ это модели, в которых установлено взаимно­однозначное соответствие между переменными описывающими объект или явления. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма может оказаться очень трудоемкой и   длинной   во   времени.   В   этом   случае   поступают   следующим   образом:   на   оригинале   проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта   с   помощью   методов   математической   статистики   и   теории   вероятности,   устанавливают   связи между   переменными,   описывающими   объект.   В   этом   случае   получают  стахостическую   модель.   В стахостической   модели   связь   между   переменными   носит   случайный   характер,   иногда   это   бывает принципиально.   Воздействие   огромного   количества   факторов,   их   сочетание   приводит   к   случайному набору переменных описывающих объект или явление.  По характеру режимов модели бывают статистическими и динамическими. Статистическая   модель  включает   описание   связей   между   основными   переменными   моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров во времени.  В  динамической модели  описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому. Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа.  В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают изолированные значения. Линейные модели­ все функции и отношения, описывающие модель линейно зависят от переменных и не линейные в противном случае. Требования, предъявляемые к моделям:  Универсальность   ­   характеризует   полноту   отображения   моделью   изучаемых   свойств   реального объекта.   Адекватность ­ способность отражать нужные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Точность ­ оценивается степенью совпадения значений характеристик реального объекта и значения этих характеристик полученных с помощью моделей.   Экономичность   ­   определяется   затратами   ресурсов   ЭВМ   памяти   и   времени   на   ее   реализацию   и эксплуатацию.  Основные этапы моделирования 1. Постановка задачи. Определение цели анализа и пути ее достижения и выработки общего подхода к исследуемой проблеме. На   этом   этапе   требуется   глубокое   понимание   существа   поставленной   задачи.   Иногда,   правильно поставить задачу не менее сложно чем ее решить. Постановка ­ процесс не формальный, общих правил нет. 2. Изучение теоретических основ и сбор информации об объекте оригинала. На этом этапе подбирается или разрабатывается подходящая теория. Если ее нет, устанавливаются причинно ­ следственные связи между переменными описывающими объект. Определяются входные и выходные данные, принимаются упрощающие предположения. 3. Формализация. Заключается в выборе системы условных обозначений и с их помощью записывать отношения между составляющими объекта в виде математических выражений. Устанавливается  класс задач, к которым может быть отнесена полученная математическая модель объекта. Значения некоторых параметров на этом этапе еще могут быть не конкретизированы. 4. Выбор метода решения. На   этом   этапе   устанавливаются   окончательные   параметры   моделей   с   учетом   условия функционирования   объекта.   Для   полученной   математической   задачи   выбирается   какой­   либо   метод решения или разрабатывается специальный метод. При выборе метода учитываются знания пользователя, его предпочтения, а также предпочтения разработчика. 5. Реализация модели. Разработав алгоритм, пишется программа, которая отлаживается, тестируется и получается решение нужной задачи. 6. Анализ полученной информации. Сопоставляется   полученное   и   предполагаемое   решение,   проводится   контроль   погрешности моделирования. 7. Проверка адекватности реальному объекту. Результаты, полученные по модели сопоставляются либо с имеющейся об объекте информацией или проводится эксперимент и его результаты сопоставляются с расчётными. Процесс моделирования является итеративным. В случае неудовлетворительных результатов этапов 6. или 7. осуществляется возврат к одному из ранних этапов, который мог привести к разработке неудачной модели. Этот этап и все последующие уточняются и такое уточнение модели происходит до тех пор, пока не будут получены приемлемые результаты. IV.  Формирование навыков умственного труда             Устный опрос: 1. Что такое моделирование? 2. Назовите виды математических моделей 3. Какие требования предъявляются к моделям? 4. Перечислите этапы моделирования. V. Итог  урока.             Оценки за урок VI. Домашнее задание:                Конспект.