Теорема Безу и следствие из неё

Урок алгебры по теме:

«Теорема Безу и следствие из неё»

(профильный уровень)

/11 класс/

Цели урока:  

Дидактические: - развитие навыков использования схемы Горнера

                             - доказательство теоремы Безу и следствия из неё при 

                               решении проблемной ситуации: можно ли разложить

                               многочлен третьей степени на множители;

                             - использование теорему Безу для решения уравнений высших

                               степеней;

                             - закрепление применения данной теоремы и следствия из неё

                               в ходе решения задач.

Развивающие:    - продолжение развития логического мышления и

                               мировоззрения учащихся.

Воспитательные: - воспитание творческого мышления, познавательной

                                   активности, смелости своих суждений, культуры речи;

 

Тип урока:  урок открытия «нового знания» (использование технологии проблемно-диалогового обучения)

 

Оборудование:  мультимедийная установка.

 

Ход урока:   1. Организационный момент.

                      2. Актуализация знаний.

                      3. Изучение нового.

                      4. Историческая справка.

                      5. Закрепление.

                      6. Итог урока.

 

Ход урока

 

1. Организационный момент

 

     Здравствуйте ребята.

Слайд 1 «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели»

(Г. Лейбниц) Именно эти слова будут лежать в основе нашего сегодняшнего урока.

     И сегодня мы продолжим разговор об одном из важнейшем понятии математики -  уравнении. На протяжении веков выдающиеся математики развивали теорию решения алгебраических уравнений.

Слайд 2 Среднеазиатский математик ал-Хорезми в IX веке установил, что решение уравнений первой степени сводится к двум операциям. Каким?

(к переносу отдельных членов  его из одной части равенства в другую и приведение подобных членов)

     Уравнения второй степени умели решать еще вавилоняне во втором тысячелетии до нашей эры.

     Для уравнений третьей и четвертой степени есть формулы корней (формулы Кордано и Феррари), выведенные итальянскими математиками в 1545 году, но в силу своей громоздкости эти формулы не используют в школьной программе. После того, как были выведены формулы корней для уравнений третьей и четвёртой степени, на протяжении почти 300 лет, учёные-математики пытались вывести формулы для нахождения корней уравнений пятой степени и выше, но труды их оказались безуспешными.

Слайд 3 В 1826 году норвежский математик Абель доказал, что нельзя вывести формулы для решения уравнений пятой степени и выше.

- Что же делать? Неужели уравнения степени выше 2 невозможно решить? Конечно же можно.

 

2. Актуализация знаний

 

     И какие методы для решения уравнений высших степеней мы знаем?

Слайд 4(метод разложения на множители, замена переменной, функционально-графический метод)

 

3. Изучение нового

 

Слайд 5

- Решить уравнение x³ + 2x² - 7x – 12 = 0. Можно ли известными методами разложить на множители левую часть уравнения.(Проблема!) Мы понимаем, что было бы удобно представить левую часть равенства в виде произведения, т.е. разложить на множители.

- Какие методы разложения на множители вы можете назвать?(вынесение общего множителя за скобок, способ группировки, ФСУ)

 Нужно разложить многочлен 3 степени на множители. Но как?...

- Сегодня мы рассмотрим ещё один из методов разложения на множители и сформулируем алгоритм решения уравнений такого вида, а тему урока сформулируем в ходе урока.

Слайд 6

- Как разложить на множители квадратный трёхчлен ах² + bх + с? (найти корни и воспользоваться формулой)

- А нам как раз необходимо разложить на множители многочлен Р(х) = x³ + 2x² - 7x – 12. Для этого нужно найти его корни. Что называется корнем многочлена? (Число а называется корнем многочлена f, если f(а)=0).

- Сформулируйте теорему о нахождении целых корней многочлена( Пусть все коэффициенты многочлена Р(х) – целые числа. Если целое число а является корнем многочлена Р(х), то а – делить свободного члена многочлена Р(х))

- Найдите делители свободного члена (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12)

- Какое число является корнем многочлена? (х = -3 – корень многочлена)

- Значит один из множителей будет (х + 3). Как найти другие множители? (выполнить деление многочлена на двучлен (х + 3) по схеме Горнера). (1 ученик у доски)

- Обратите внимание, что х = -3 является корнем многочлена и при делении на (х + 3) получился остаток 0, т.е. чему равно значение многочлена при х = -3? (0)

Слайд 7

- Число х = 2 является корнем данного многочлена? (нет) Выполните деление многочлена на двучлен (х – 2). Получается деление с остатком, остаток равен  -10. Найдите значение многочлена при х = 2. (1 ученик работает у доски) Значение многочлена равно -10. Отметим, что x=2- не является корнем многочлена и остаток от деления многочлена на (х-2) равен значению многочлена при х=2.

Аналогичная работа для х = 1; х = -2 (самостоятельно)

- Замечаете ли вы ту же закономерность (речь идет о значении остатка и значении многочлена при различных значениях х)?

- Сформулируйте гипотезу. (Обучающиеся формулируют гипотезы)

- Запишем её в общем виде.

Слайд 8   

Пусть Р(х) - многочлен, а - некоторое число.

Докажем следующие утверждения:

1. Остаток от деления Р(х)  на (x - а) равен Р(а).

2. Р(х) делится на двучлен (x - а) тогда и только тогда, когда число а является его корнем.

     Доказательство (доказательство гипотезы): 1. по теореме о делении с остатком следует, что Р(х) = (х – а)Q(х) + г, где q(х) многочлен степени на 1 меньше чем Р(х), r – остаток (число). Подставим вместо х значение а, получим Р(а) = (а – а)q(х) + r = r. Ч.т.д.

- Эту теорему называют теоремой Безу в честь французского математика Этьена Безу.

- Итак сформулируйте теорему Безу.( Остаток отделения многочлена Р(х) ненулевой степени на двучлен х – а равен Р(а) (т.е. значению многочлена Р(х) при х = а)

     Доказательство: 2. Если а – является корнем многочлена, то Р(а) = 0, следовательно г = 0 и многочлен примет вид Р(а) = (х – а)Q(х). Это значит, что многочлен Р(а) делится на (х – а).Ч.т.д

- Мы получили следствие из теоремы Безу. Сформулируйте его. (Если число а является корнем многочлена Р(х), то Р(х) делится на двучлен х  - а.

 

4. Историческая справка  

 

     Этьен Безу- французский математик, член Парижской Академии Наук.

     Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры - ТЕОРЕМА БЕЗУ. Теорема Безу, несмотря на внешнюю простоту и очевидность, является одной из фундаментальных теорем теории многочленов. В этой теореме алгебраические свойства многочленов (которые позволяют работать с многочленами как с целыми числами) связываются с их функциональными

свойствами (которые позволяют рассматривать многочлены как функции).

Слайд 9

     Вернёмся к нашему уравнению. Воспользуемся следствием из теоремы Безу и разложим левую часть уравнения на множители. (1 ученик у доски)

x³ + 2x² - 7x – 12 = 0

(х + 3)(x² – x - 4) = 0.

Ответ: 3; .

Слайд 10

Сформулируйте алгоритм решения уравнений с помощью теоремы Безу:

 

5. Закрепление

 

Слайд 11 Подумай и реши:

 

1) Найти остаток от деления многочлена x³ - 3x² + 6x – 5 на двучлен (x - 2).

Решение:

r = P(2) = 2³ - 3∙2² + 6∙2 - 5 = 3 .

 

2) При  каком  значении  a  многочлен x⁴ + ax³ + 3x² – 4x – 4 делится  без  остатка  на  двучлен  x – 2?

Решение:

По теореме Безу

                   r = P(2) = 16 + 8a + 12 – 8 – 4 = 8a +16.

Но  по  условию r = 0, значит 8a + 16 = 0, отсюда a = -2 .

 

3) Разложите на множители х⁴ + 324.

Решение: данный многочлен разложить на множители не возможно, т.к. он не имеет корней.

 

 

6. Итог урока

     Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики - решении уравнений. Существует несколько следствий из теоремы, которые помогают при решении практических задач. Из рассмотренных примеров можно сделать вывод, что теорема Безу находит применение при решении задач, связанных с делимостью многочленов, например, нахождение остатка при делении многочленов. Также, теорема работает при разложении многочленов на множители.

     Теорема Безу позволяет ответить и на важный теоретический вопрос - Сколько корней может иметь многочлен?

Слайд 12

Дома: Докажите утверждение: «Многочлен степени n имеет не более n корней».

           (Воспользуйтесь методом от противного)