Теоретические основы решения линейных и квадратных уравнений, содержащих параметр.

Учитель математики, гимназия № 35 и частная гимназия Alliance school, Исин Ельдар Коксегенович, г. Алматы, Казахстан. Теоретические основы решения линейных и квадратных уранвений, содержащих параметр С некоторых пор основным связующим звеном всего курса математики стала идея функциональной зависимости. Благодаря этому устанавливается тесная   связь   между   всеми   разделами   курса   математики   и   появляется возможность подходить к решению уравнений и задач с более общей точки зрения   в   смысле   полноты   их   решения.   В   связи   с   этим   уместно   привести высказывание   В.   М.   Брадиса:   «Представляется   совершенно   необходимым, чтобы   учащиеся   проводили   исследование   (то   есть   ставили   вопрос   о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представляться) при решении каждой задачи, особенно такой, какая ставится в общем виде (содержит параметры)». При решении математических задач учащиеся встречаются с различными методами исследования, применяемыми в математике, так как решение задач «заставляет   учащихся   сравнивать,   разъединять,   абстрагировать,   соединять, индуцировать, дедуцировать, конкретизировать и обобщать». Математическая   задача   состоит   из   данных   и   искомых   величин   и   из условия, содержащего зависимость между данными и искомыми величинами. Примерами задач с параметрами являются задачи такого типа: «Определить площадь   правильного   треугольника   со   стороной   а   см.».   данная   задача является задачей с одним параметром. Задача: «Периметры двух квадратов составляют в сумме а см., а сумма их площадей равна  b  кв.см. Определить стороны квадратов» является задачей с двумя параметрами. Задача, которая не содержит в явном виде параметра, то есть в которой известная величина не обозначена   буквой,   но   в   то   же   время   не   выражена   конкретным   числовым значением, является тоже задачей с параметрическими данными. Например, задача «Тело брошено вертикально вверх с известной начальной скоростью. Когда оно будет на высоте 100 м?» является задачей с одним параметром, так как   начальная   скорость   является   известной   величиной,   не   имеющей определённого числового значения. При решении задач с параметрическими данными составлением уравнения получаем уравнение с параметрическими данными, то  есть  уравнение, коэффициенты  которого содержат параметры или функции от параметров. Обычно   в   школьной   практике   при   решении   задач   и   уравнений   с параметрическими данными ограничиваются выражением искомых величин в виде   функции   от   параметров,   оставляя   открытым   вопрос   о   годности найденного выражения как решения при тех или иных допустимых значениях 1 параметров. Но в то же время этот вопрос является составной частью полного и   исчерпывающего   решения   задачи   или   уравнения.   В   связи   с   широким внедрением идеи функциональной зависимости  в преподавание математики исследование   решений   становится   посильным   уже   для   учащихся   младших классов. Впервые знакомство с задачами, содержащими параметрические данные, можно   организовать   в   7   классе   в   теме   «Линейные   уравнения   с   одним неизвестным».   К   этому   времени   учащиеся   должны   иметь   первоначальные навыки: в составлении и решении линейных уравнений с одним неизвестным с целочисленными коэффициентами в простейших случаях.   в   решении   задач   с   параметрическими   данными   арифметическим способом.  в   установлении   множества   допустимых   значений   букв   в аналитическом выражении и величин в задаче. Работа в этом направлении ведётся систематически, начиная с 6 класса. Если такой работы не проводилось в 6 классе, то необходимо провести её в 7 классе. Для   ознакомления   учащихся   с   понятием   уравнения   и   задачи   с параметрическими данными можно использовать имеющиеся у них знания о существовании   корней   линейного   уравнения.   На   предыдущем   уроке   перед рассмотрением уравнений и задач с параметрическими данными даётся в виде домашнего задания задача: «Сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого, равна 95. Найти эти числа». На   следующем   уроке   разбирается   подробно   выполненное   домашнее задание примерно по следующему плану. В данной задаче мы нашли, какие будут два натуральных числа, удовлетворяющие условиям задачи. Поставим вопрос: каким числом будет сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого? Знаем, что сумма будет обязательно натуральным числом. Но может ли этой суммой быть любое натуральное число, мы пока не сумеем ответить. Рассмотрим некоторые примеры, располагая их в таблице 1: Таблица 1 Сумма натуральных чисел Первое натуральное  число 1 2 3 4 5 6 Второе натуральное число 4 8 12 16 20 24 Сумма этих  натуральных чисел 5 10 15 20 25 30 2 На основе данных таблицы делается вывод, что суммой искомых чисел будет   натуральное   число,   кратное   5.   Для   проверки   правильности   вывода решаем данную задачу в общем виде в следующей формулировке: «Сумма двух натуральных чисел, из которых одно в 4 раза больше другого, равна а. Найти эти числа». Решение:   одно   число   больше   другого   в   4   раза.   Если   меньшее   число . По обозначить через х, то большее число будет   . Их сумма будет   х4 х 4 х условию задачи  х  4 х  откуда  а 5, х  а х  а 5 . Если меньшее число равно   , то большее число равно   . По условию 4а 5 а 5 задачи   искомые   числа   должны   быть   натуральными.   Следовательно,   чтобы  были натуральными, параметр а должен быть натуральным выражения   и  а 5 4а 5 числом, кратным 5. Отсюда вывод: если а делится на 5, то найденные выражения являются решениями задачи. Проверить, если а=90, 135, 242, 1022. Если мы решаем задачу с параметрическими данными, то мы получим уравнение, которое содержит кроме буквы, обозначающей неизвестное, ещё и параметры,   то   есть   уравнение   с   параметрическими   данными.   Например,   в нашей задаче уравнение   является уравнением с одним параметром а. х  4 а х Решение   уравнения   с   параметрическими   данными,   как   мы   видели,   вообще говоря, производится так же, как и решение уравнения с числовыми данными. Дальше следует раскрыть смысл задачи и уравнения с параметрическими данными. Задачи с параметрическими  данными  мы решали уже в 6 классе арифметическим способом, составляя по тексту задачи формулу решения и исследуя полученное выражение по условиям задачи. При этом мы получили возможность решить одновременно бесконечное множество однотипных задач с   числовыми   данными.   Такое   свойство   имеется   и   у   уравнения   с параметрическими   данными.   Решая   предыдущую   задачу,   мы   получили   и   установили,   что   параметр   а   должен   иметь   только уравнение   х  4 а х натуральные   значения,   кратные   5,   что   составляет   множество   допустимых значений   параметра   а.   заменяя   в   полученном   уравнении   параметр   а   его значениями   из   множества   допустимых   значений,   получим   следующие 3 уравнения с числовыми данными: при  при  при  при  а  5 х а  10 х а  15 х  5 4 х  4 х 10  4 х 15 а  20 х  4 х 20 Из   этого   вытекает,   что   уравнение   с   параметрическими   данными представляет   бесконечное   число   однотипных   уравнений   с   числовыми данными. Решая каждое из этих уравнений, мы получим решение задачи с числовыми данными. Для домашнего задания можно дать подобную задачу. При этом даются дополнительно вопросы:  Определить по полученным формулам, при каких значениях параметра задача имеет решение.  Вычислить   по   полученным   формулам   некоторые   величины,   если значение параметра дано.  Проверить   соответствуют   ли   полученные   значения   при   некотором значении параметра тем значениям, которые мы получили, решая задачу как задачу с числовыми данными. В   дальнейшем   в   течение   изучения   данной   темы   и   после   этого предлагаются   систематически   параллельно   с   уравнениями   и   задачами   с числовыми данными и уравнения с параметрическими данными. При этом мы ограничиваемся в основном уравнениями и задачами с одним параметром и притом   самым   простейшим.   Основная   цель   их­   устранить   разрыв   между решением   уравнений   и   задач   с   числовыми   данными   и   параметрическими данными и исследованием решений [2]. Рассмотрим уравнение F( x,y, ...,  z,  β ,α  ,  ...,   γ      (1) с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами  . При всякой допустимой  ...,     , , системе   значений   параметров  α0,  β0,   ...,  γ0  уравнение   (1)   обращается   в уравнение 4 F( x,y, ...,  z,  β ,α  ,  ...,  γ       (10) с неизвестными  х, у,...,  z, не содержащих параметров. Уравнение (10) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений. Аналогично   рассматриваются   неравенства   и   системы,   содержащие параметры.   Допустимыми   системами   значений   параметров   считаются системы, допустимые для каждого уравнения в отдельности. Определение. Решить уравнение, содержащее параметры, это значит, для каждой   допустимой   системы   значений   параметров   найти   множество   всех решений данного уравнения. Понятие   эквивалентности   применительно   к   уравнениям,   содержащие параметр, устанавливается следующим образом. Определение. Два уравнения F(х, у, ..., z;  ) =0   ...,     , , Ф (х, у, ..., z;  ) =0   ...,     , , (1), (2) с   неизвестным   х,   у,...,   z   и   с   параметрами   называются    ,   ..., , эквивалентными, если для обоих уравнений  множество допустимых систем значений   параметров   одно   и   то   же   и   при   всякой   допустимой   системе значений, параметров оба уравнения эквивалентны. Итак,  эквивалентные   уравнения   при   всякой   допустимой   системе значений параметров имеют одно и то же множество решений. Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений   параметров,   приводит   к   уравнению,   не   эквивалентному   данному уравнению. Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении F(x, у, z;  )=0  ...,     , ,  (1) задано в виде некоторой функции от параметров: х=х( );  ...,     , , 5 у=у( );  ...,     , , z=z( ).  ...,     , , (3) Говорят, что система функций (3), заданных совместно, удовлетворяет уравнению (1), если при подстановке этих функций вместо неизвестных  х, у,..., z в уравнение (1) левая его часть обращается в нуль тождественно при всех допустимых значениях параметров: ),…,z ( )) 0.≡ F (x( ), y(  ...,     , ,  ...,     , ,  ...,     , , При всякой допустимой системе численных значений параметров = α0,   соответствующие значения функций (3) образуют решение , ..., 0 0 уравнения [3]. Линейные   и   квадратные   уравнения,   содержащие   параметр,   можно объединить в одну группу – группу уравнений с параметром не выше второй степени.  Уравнения   с   параметром   не   выше   второй   степени   являются   самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид   определяется   многочленом   .   Для   таких xaF ),(  xaf )( 2  )( xag  ah )( уравнений всякое частное уравнение не выше второй степени принадлежит одному из следующих типов: 1. 2. 3. 4. 5. )( af  )( ag   0)( ah , тогда  x   ; , )( af  ag  0)(  и  0)( ah , тогда решений нет,  и  0)( af 0)( ag , тогда  x  , )( ah )( ag , тогда  , x  )( ag )(2 af ,  ,  0)( af 0)( af agD  0)()(4)(2 ahaf   , тогда решений нет, 0D 6 6. 0)( af ,  0D , тогда  . D  x   )( ag )(2 af Контрольные  значения  параметра  определяются  уравнением   .  На 0D выделенных   контрольными   значениями   промежутках   допустимых   значений параметра дискриминант имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов. Тогда   решением   всякого   уравнения   с   параметром   не   выше   второй степени осуществляется по следующим этапам: 1. На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены. 2. На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи   равносильных   преобразований   приводится   к   виду ),( xaF  )( xaf 2  )( xag  )( ah . 3. Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых . 0)( af Если   уравнение   0)( af   имеет   конечное   множество   решений,   то   для каждого   найденного   контрольного   значения   параметра   соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам [4]. На   бесконечном   множестве   решений   уравнения     проводится 0)( af решение уравнения  0)( ag , выделяются типы бесконечных и пустых особых частных уравнений. Множеству значений параметра, для которых     и 0)( af , соответствует третий тип не особых частных уравнений. 0)( ag 4. Выделяются   контрольные   значения   параметра,   для   которых дискриминант   обращается   в   нуль.   Соответствующие   не   особые   частные уравнения имеют двукратный корень  . )( ag )(2 af x  7 5. Найденные   контрольные   значения   параметра   разбивают   область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта. Множеству   значений   параметра,   для   которых   0)( af   и   , 0D соответствует тип не особых частных уравнений, не имеющих решений, для значений параметра из множества, где   , частные уравнения   и   0)( af 0D имеют два различных действительных корня. Пример 1. Решить уравнение  аа 2   2 х  а 2  (2) Решение.   Здесь   контрольными   будут   те   значения   параметра,   при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются . При этих значениях параметра а, невозможно деление обеих  и  0а 2а частей   уравнения   на   коэффициент   при  х.  В   то   же   время   при   значениях параметра   деление возможно. Таким образом, целесообразно  и  0а 2а множество   всех   действительных   значений   параметра   разбить   на подмножества    ,0 А 1 А 2    2 Аи 3   а ,0  2 а и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1)  ; 2)  ; 3)  ,  . 0а 2а 0а 2а Рассмотрим эти случаи. 1) При   0а   уравнение (2) принимает вид   . Это уравнение не 0 х 2 имеет корней. 2)   При   2а   уравнение   (2)   принимает   вид   .   Корнем   этого 0 х 0 уравнения является любое действительное число. 8 3)   При   ,  0а 2а     уравнение   соответствует   третьему   типу   откуда х   a aa (2 2   )2 1 а 2 Ответ: 1) если  0а , то корней нет;  2) если  2а , то х — любое действительное число; 3) если  ,  2а  , то  0а . х 1 a 2 Пример 2. Решить уравнение  а   1 2 х   22 а  1 х    4 а  3  0 (3) Решение. В данном случае контрольным значением параметра a является  уравнение (3) является линейным, а при единица. Дело в том, что при  1а а≠1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра: 1) a=1; 2) а≠1. Рассмотрим эти случаи. 1)  При     уравнение  (3)   примет   вид   1а .  Из  этого   уравнения 6 х 7 0 находим  .  7х 6 2)   Из   множества   значений   параметра     выделим   те   значения,   при 1а которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.   при   Дело в том, что если дискриминант   0D ,  то при переходе a  0a значения  D  через точку  0a  дискриминант может изменить знак (например, при   a  0a 0D , а при     0D a  0a . Вместе с этим при переходе через точку   0a меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем 9 примере при   a  0a   корней нет, так как   , а при   0D a  0a 0D   уравнение имеет   два   корня).   Значит,   можно   говорить   о   качественном   изменении уравнения.   Поэтому   значения   параметра,   при   которых   обращается   в   0 дискриминант   квадратного   уравнения,   также   относят   к   контрольным значениям [5]. Составим дискриминант уравнения (3):  . 2  1   a   41 a 3    a 2 D 4 После упрощений получаем  . D 4  a 5 4 Из   уравнения     находим   D 4 0 4a 5   —  второе   контрольное   значение параметра а.  При этом если  , то  0D ; если  4a 5 4a 5 , то  0D ; и  . 1a Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда  случае, когда   и  . 1a 4a 5 , то уравнение (3) не имеет действительных корней; Если  4a 5 и в 4a 5 если же  4a 5  и  1a , то находим   2( a x 2,1  если  4a 5 , то  0D  и тогда  . 1x 3 10 ; 5 a  4  1 )1 a  Ответ: 1) если  4a 5 , то корней нет;  2) если  1a а = 1, то  ; 7x 6 3) если  4a 5 , то  ; 1x 3 4) если  , то   2( a x 2,1      4  ­a 5  a 1 . 5 a  4  1 )1 a  Задачи на использование теоремы Виета Пример   3.   При   каких   значениях   параметра   а   уравнение  имеет корни, сумма которых равна нулю?  ах 0 2 х   2 а 2  а  Решение.  2 2 2   Это   уравнение   квадратное, 4 a  3 a a  2 4     aD a 4 Сумма корней уравнения равна ­ 8 a 2 a  3   его   дискриминант  и по условию задачи она равна 2 a  a 2 нулю,   то   есть   необходимо   осуществить   контроль   неотрицательности   дискриминанта   при этих значениях   положителен, тогда ,   что   возможно   при    дискриминант   0  a .   Теперь . при   1  a 1 ,2 a 2 a 2 2 a 2a D 8240 как при  1a  дискриминант  D 40 4  оказывается отрицательным. Ответ.  . 2a Пример   4.  2  05 ах  1 а    При   каких   значениях   параметра   а   уравнение  имеет хотя бы один положительный корень? 2 х  Решение.   Данное   уравнение   квадратное,   значит   имеет   корни   при 11 неотрицательном дискриминанте.    a 2  1   a D 4  a 5    1 a  4 То есть при   a    1; ;4  . Значение большего (или единственного, в случае нулевого дискриминанта) корня   x 1   a  1   a  1  a  4   должно быть положительным:    a  1  a   4  a 1 ,   что   равносильно   (при  D≥0)   следующей совокупности условий:           a a  a  01  01    1  a  4 a  2  1            1 a  a 1  a 5 То есть  . 1a С учетом того, что  Ответ.  . 1;a   при  a D 4 0    1; ;4   , получим a 1;   . Пример   5.   При   каких   значениях   параметра   а   квадратное   уравнение  1 2 x имеет корни одного знака?  ax 02  3   2 a   a  Решение.   Так   как   по   условию   задачи   рассматриваемое   уравнение­  (иначе формулировка задачи не имеет смысла). Очевидно, квадратное, то  1a условие   задачи   предполагает   также   существование   корней   квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминанта.   a 2 D 2  3   4 a   1 a  8 a 2  . 17 Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то  x 1  x 2  ,0 12 то   есть   a a   2  1 0   Решением   последнего   неравенства   является   2;  ;1  a .   С   учетом   условий     и   1a   получим D  0 a     17 8    . a    17 8  2;  ;1    Ответ:   . a    17 8  2;  ;1    Пример   6.   Сумма   квадратов   двух   различных   корней   уравнения   больше   10.   Найти   значения   параметра  а,   при   которых  x 4  3 0 2 ax выполняется данное условие. Решение.   Уравнение   имеет   два   различных   корня,   если   дискриминант положителен и  a  ,0 D  16 12 a . Сумму   квадратов   корней   данного   уравнения   выразим   через   его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом:  x 2 2  2   x 2 2 x 1  x 2 2 x 1 x 1 x 1  x 2  x 2 x 1 4 a 3 a         16 16 2 a 12 6 a  a 0  10      a 16  6 a a 4 3 10 a   2 2  0 Решаем систему:  13 16  6 a  2 10 a  0  2 10 a  6 a  16 0 2 2 9   5 a  D 16 5  a 1 3 a 160  8 0  169 ; a 2  2 Ответ.  .  a   4 3 0;     2;0 Пример   7.   Найти   все   значения   параметра  p,   при   каждом   из   которых   принимает   наименьшее сумма   квадратов   корней   уравнения   2 x  px  01 значение [6]. Решение. Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты   при   помощи   теоремы   Виета   следующим   образом:   принимает   наименьшее .   Выражение   2 x 1  x x 1 2 2 x 2  2   2 x 1  p x 2 2 2 22 p значение при p=0. Ответ. p=0. Пример   8.   Найти   все   значения   параметра  p,   при   каждом   из   которых  принимает значение, равное сумма квадратов корней уравнения  2 x  px  01 нулю. Решение. Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты   при   помощи   теоремы   Виета   следующим   образом: .   Поскольку   сумма   квадратов   корней   равна 2 x 1  x x 1 2 2 x 2  2   2 x 1  p x 2 2 2 нулю, то решаем уравнение  p 2 02 . Находим  . p 2.1 2 Ответ.  . p 2.1 2 14